第一講 總說

電路學 Circuit Theory

𝑎 2 d 2 𝑥 𝑡 d 𝑡 2 + 𝑎 1 d𝑥 𝑡 d𝑡 + 𝑎 0 𝑥 𝑡 =𝑓 𝑡 independent source dependent source voltage source, dc or ac current source, dc or ac voltage-control current-control ideal source actual source 電源 source (active) 開關 switch 元件 device (passive) 電阻 resistor, 𝑅 電容 capacitor, 𝐶 電感 inductor, 𝐿 電流 current, 𝑖 𝑡 電壓 voltage, 𝑣 𝑡 未知量 unknown 方程式 equation 電流方程式 Kirchhoff’s current law (KCL) 電壓方程式 Kirchhoff’s voltage law (KVL) 𝑎 2 d 2 𝑥 𝑡 d 𝑡 2 + 𝑎 1 d𝑥 𝑡 d𝑡 + 𝑎 0 𝑥 𝑡 =𝑓 𝑡

Source (active) §1.2 Load (passive) §1.3 Devices §1.2 Quantities §1.1 Circuit Current Voltage Power

Circuit 由 （two-terminal）elements 組成 battery (source), bulb (load, resistor), switch, wire 基本量：電流 current、電壓 voltage 相關量：電荷 charge、 能量 energy、功率 power

電荷 名稱 charge 記號 𝑞 單位 coulombs (C) 極性 polarity 正 (positive)、負(negative) 基本電荷 elementary charge 𝑞 e =−1.60× 10 −19 C

電路學中電流 𝑖 是重要的基本量，與電荷的關係： 𝑖 𝑡 = d𝑞 d𝑡 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑞 ∆𝑡 其單位為 ampere (A), amp, 1 A=1 C s

電機電子工程習慣：小寫表示時變訊號，大寫表示直流常數。

電流須標明方向，電壓須標明極性。離

Polarity Convention 電壓極性與電流流向約定

電路學的約定習慣 (convention)： 電流是正電荷的流向。 在物理裡的電磁學，電勢 (electric potential) 是重要的概念；電路學裡的對應概念是電壓 (voltage)。 本書 Eq. (1.6) 定義電壓如下： 𝑋 點與 𝑌 點之間的電壓是每單位電荷由 𝑋 點到 𝑌 點所釋出的能量。 電路學的定義與電磁學不同的理由，以電阻的特性說明，最能顯示其差別。

圖 1.10 (a) 是以電阻表示燈泡。 電荷流經燈泡，能量消耗在燈泡的電阻，使燈泡發熱發光。 電荷 d𝑞 消耗能量 d𝑤，每單位電荷釋出給燈泡的能量等於 𝑣= d𝑤 d𝑞 這就是電路學裡電壓的定義，而且也同時規定電流流向與電壓極性；因為電阻是損耗能量的被動元件 (passive element) ，所以稱為被動元件極性約定 (passive polarity sign convention)： 流經被動元件的電流由高電壓流入，由低電壓流出。

電壓的單位是伏特 (volt) ，以 V 表示；一伏特等於一焦耳 J 除以一庫倫 C。

被動元件 (passive element) 吸收(損耗)能量，電流由高電壓流入，由低電壓流出。

電源是產生能量的元件，稱為主動元件 (active element)；電流由正極流出，如圖 1.7 (b) 所示。 但是電路問題裡的未知數，主要是被動元件的電壓與電流，所以重要常用的是被動元件極性約定。

電功率

常用基本單位 電流 current I 安培 ampere 毫安 mlliampere A mA 電壓 voltage V 伏特 volt 仟伏 kilovolt kV 電阻 resistance R 歐姆 ohm 仟歐姆 kiloohm Ω kΩ 電導 conductance G siemens millisiemens S mS 電功率 electric power P 瓦 watt 仟瓦 kilowatt W kW

量級詞頭 SI magnitude prefixes Abbreviation Magnitude tera T giga G mega M kilo k milli m micro nano n pico p femto f

Prefixes 量級詞頭 尧 泽 艾 拍 太 吉 兆 千 百 十 一 分 厘 毫 微 纳 皮 飞 阿 仄 么 中華民國 中共 佑 皆 艾 百萬 千 百 十 一 分 厘 毫 微 奈 皮 飛 阿 介 攸 中共 尧 泽 艾 拍 太 吉 兆 千 百 十 一 分 厘 毫 微 纳 皮 飞 阿 仄 么

已知： 輸出電壓 12 V 儲存能量 5× 10 6 J 車燈電流 4 A 要求： 輸出能量 輸出電荷 使用時間 輸出功率 𝑝=4A×12V=48 W 每分鐘消耗能量 𝑤 T =48W×60s=2880 J 每分鐘輸送電量：𝑣= 𝑤 T 𝑞 𝑞 T = 𝑤 T 𝑣 = 2882 12 =240 C 電量單位：1 Ah=3600 C 總電量： 𝑤 𝑣 = 5× 10 6 J 12V =4.7× 10 5 C=116 Ah 使用時間： 116 Ah 4A =29 h

額定 此題要練習量級詞頭 已知： 額定功率 20 W 額定電壓 50 kV 欲求：額定電流 1 k −1 = 10 −3 =1000 𝜇 𝑖 max = 𝑝 max 𝑣 max = 20 W 50 𝑘V =0.4 k −1 A=0.4×1000 𝜇A=400 𝜇A

特性曲線（characteristic）

電路學裡的未知數，主要就是每個元件的電壓與電流；每個元件的特性在於其電壓與電流的關係。 我們最熟悉的電阻的歐姆律 (Ohm’s law) 𝑉=𝑅𝐼 就是電阻的特性，是電阻的電壓與電流的關係式，稱為特性曲線 (characteristic)，也稱為 𝑖-𝑣 曲線 (𝑖-𝑣 curve)。因為元件的兩個變數只有一個是獨立變數，其特性可以寫成函數關係 𝑣=𝑣 𝑖 或 𝑖=𝑖 𝑣 電容、電感、電流源、電壓源的皆有各自的特性曲線，電子電路的電晶體也有其特性曲線或 𝑖-𝑣 曲線。

電阻

以歐姆律表示電阻 𝑅 的電壓電流關係： 𝑣=𝑅𝑖 這就是電阻的電流電壓特性 (𝑖-𝑣 characteristic)。 若以電流為橫坐標、電壓為縱座標，則電阻 𝑅 的 𝑖-𝑣 特性曲線是斜率為 𝑅 的直線。 𝑣 𝑅 𝑖 𝑂

依照被動元件（電流流向與電壓極性）約定，電流由正極流入、由負極流出。 （所謂正負是相對而言，比較好的說法是高電壓極與低電壓極。） 如果不照此約定標定電阻的電壓電流，則歐姆律需寫為 𝑣=−𝑅𝑖

開關 Switch

電源

理想電壓源：提供固定電壓 理想電流源：提供固定電流 固定電壓並非電壓是不變常數，而是不隨輸出 電流改變。 固定電流並非電流是不變常數，而是不隨輸出 電壓改變。 理想電源之「理想」特性應該用 𝑖-𝑣 特性曲線

理想電壓源電壓並不一定是不隨時間的常數

理想電壓源輸出的電壓固定等於 𝑣 s ，與輸出電流無關，其 𝑖-𝑣 特性曲線為直線： Actual voltage source Ideal voltage source 理想電壓源輸出的電壓固定等於 𝑣 s ，與輸出電流無關，其 𝑖-𝑣 特性曲線為直線： Actual voltage source 實際上，電壓源的電壓總是會隨輸出電流而有改變，其 𝑖-𝑣 特性曲線為傾斜的直線： 其斜率為 − 𝑅 s ； 𝑅 s 稱為內電阻 (internal resistance) 𝑣 𝑣 Slope − 𝑅 s 𝑣 s 𝑣 s 𝑖 𝑖

求電阻電壓 𝑣 及功率 𝑝。

此題目的在熟悉單位及量級詞頭。 以後計算數值的時候，只要所用的單位前後一致，往往可以省略 (consistent set of units)： 如果電流都用 A，電壓都用 V，則電阻都用 Ω，功率都用 W，只要在最後結果再寫單位即可。 如果電流都用 mA，電壓都用 V，則電阻都用 kΩ，功率都用 mW。 已知： 𝑖=4， 𝑅=5； 𝑣=𝑅𝑖=20=20 V 𝑝=𝑣𝑖=4×20=80=80 mW=0.08 W

Electric Circuit as Mechanical Analog

在力學裡，最基本的方程式是牛頓運動第二律： 𝐹=𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 其中速度與位移的關係為 𝑣= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 如果結合第一律，則第二律的意義是：運動物體與靜止物體一樣都有慣性，要改變其運動速度必須施力 𝐹。 在電磁學裡，電流線圈有類似性質。線圈電流產生磁 場，要改變磁場或電流必須施電動勢 𝑉=𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 其中電流 𝐼 與電荷 𝑞 的關係為 𝐼= 𝑑𝑞 𝑑𝑡

𝐹=𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 ， 𝑣= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 對照這兩組方程式： 𝐹=𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 ， 𝑣= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑉=𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 ， 𝐼= 𝑑𝑞 𝑑𝑡 力學與電路學基本物理量的對應關係為： 注：力學與電路學的類比（analog）不是唯一的。 力 學 位移 x 速度 𝑣 力 𝐹 質量 𝑚 電路學 電荷 𝑞 電流 𝐼 電壓 𝑉 電感 𝐿

在力學裡最基本的力有兩種：第一是彈簧的回復力： 𝐹 restoring =−𝑘𝑥 第二是與速度成正比的阻力 𝐹 resistance =−𝑐𝑣=−𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 在電磁學裡，電容電壓與彈簧的回復力類似： 𝑉= 1 𝐶 𝑞 電阻的歐姆律與線性阻力類似： 𝑉=𝑅𝐼=𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 因此電阻 𝑅 與阻尼係數 𝑐 對應，電容 𝐶 與彈性係數的倒數 1 𝑘 對應。

𝐹=𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 𝑉=𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 𝐹=𝑘𝑥 𝑉= 𝐶 −1 𝑞 力學與電磁學的類比（analog）如下： 𝐹=𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 𝐹=𝑘𝑥 𝐹=𝑐𝑣=𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑉=𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 𝑉= 𝐶 −1 𝑞 𝑉=𝑅𝐼=𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 力 𝐹 位移 𝑥 速度 𝑣 質量 𝑚 彈性係數 𝑘 阻尼 𝑐 電壓 𝑉 電荷 𝑞 電流 𝐼 電感 𝐿 電容 1 𝐶 電阻 𝑅 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 +𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝑘𝑥=𝐹 𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑞=𝑉

在電路學裡，電流比電荷常用，因此電壓與電荷的方程式為 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 +𝑅𝐼+ 1 𝐶 𝑡 𝐼 𝑑𝑡 =𝑉 𝑡 電路與力學的類比不是唯一的。 Desoer and Kuh, Basic Circuit Theory, p. 225

𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 +𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +𝑘𝑥=𝐹 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =𝐹−𝑘𝑥−𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑞=𝑉 𝐿 𝑑 2 𝑞 𝑑 𝑡 2 =𝑉− 1 𝐶 𝑞−𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡