Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 兩個向量的內積 The Dot Product of Two Vectors 11.3 Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

目的 運用兩向量內積的性質 用內積找出兩向量的夾角 找出空間向量的方向餘弦 找出一向量在另一向量上的投影

內積 (或點積) The Dot Product 又稱 inner product 或 scalar product。

內積 你先前已經學到了向量的兩種運算—向量相加以及常數乘上向量。在這個小節你會學到第三種運算方式，稱做內積。 這個運算結果會產生一個純量，而非向量。 內積的定義: 給定兩向量 、 ， 則它們的內積為: 給定兩向量 、 ， 則內積為: 。

內積 定理11.4 各種內積的性質 令u、v、w為空間或平面的向量， c為常數

例題1 – 求內積 以下有三個向量，分別為: , 。 求 解:

例題1– 解法 cont’d 注意:只有(b)運算出來的結果是向量，其餘的都是純量。

Angle Between Two Vectors 兩向量的夾角 Angle Between Two Vectors

兩向量的夾角 θ 是兩個非零向量之間的夾角， 0 ≤ θ ≤ π，如圖11.24。在下個理論中將會告訴你，如何用內積求出向量夾角 。 Figure 11.24

兩向量的夾角 定理11.5 兩向量的夾角 θ是兩個非零向量u和v之間的夾角，則 如果已知兩向量的夾角, 就可以改寫定理11.5 裡的式子 定理11.5 兩向量的夾角 θ是兩個非零向量u和v之間的夾角，則 如果已知兩向量的夾角, 就可以改寫定理11.5 裡的式子 變成: 這也提供了另一種計算內積的方法。

兩向量的夾角 你會發現 和 永遠都是正的，且u . v 和 cos θ 永遠都會有相同的正負號。 圖11.25 表示著兩向量和不同θ的關係。 Figure11.25

兩向量的夾角 從定理11.5觀察出，兩個非零向量夾90度若且唯若內積是零。此時這兩個向量垂直(orthogonal)。 垂直向量的定義: 給定兩向量u、v，如果 ， 則兩向量垂直。

例題2 –求兩向量的夾角 有 u = 3, –1, 2 、v = –4, 0, 2 、w = 1, –1, –2 、 z = 2, 0, –1 ， 找出下列向量的夾角。 a. u 跟 v b. u 跟 w c. v 跟 z 解: 因為 u . v < 0,

例題 2 – 解 因為u . w = 0，所以u 跟 w 是垂直 ， θ = π /2。 θ = π，所以兩向量是反方向，v = –2z。 cont’d 因為u . w = 0，所以u 跟 w 是垂直 ， θ = π /2。 θ = π，所以兩向量是反方向，v = –2z。

方向餘弦 Direction Cosines

方向餘弦 在空間中，可以很方便的測量非零向量v和三軸上單位向量i 、 j 、 k所夾的角度， 如圖11.26。 Figure 11.26

方向餘弦 角度α , β and γ 是向量 v的方向角度，而cosα、 cosβ、和 cosγ 是 v 的方向餘弦。 因為 且 由上面兩式得 cosα = v1/|| v ||.

方向餘弦 用相同的做法用在j 和 k，你會得到: 是v和i的夾角 是v和j的夾角 是v和k的夾角

方向餘弦 所以一非零向量 v ，在空間中可以被標準化成: 而因為，v/ || v || 是單位向量，所以可以得到:

例題 3 – 求方向角度 求出v = 2i + 3j + 4k的方向角度與餘弦 ，並證明cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1。 解: 因為 所以你可以寫出下列式子:

例題 3 – 解 然而， 各個餘弦值的平方合為: 如圖11.27。 Figure 11.27

Projections and Vector Components 投影和向量分量 Projections and Vector Components

投影和向量分量 你在先前已經學到兩個向量相加成為合成量 。 一般在解物理或是工程學上的問題，都會把一個給定的向量分解成兩個向量分量的和來解題。 在接下來的題目中，你會發現這是一個有用的方法。

投影和向量分量 想像一台遊艇在斜坡上，如圖 11.28. 重力 F可以分解成平行於斜面的分力以及垂直斜面的正向力。這兩力分別用 w1、 w2 表示，它們彼此垂直，所以它們又稱做重力 F的向量分量。 Figure 11.28

投影和向量的分量 力w1 and w2 可以幫助我們了解中力對遊艇的影響。 例如 w1 表示我們可以施多少力避免它滑下去，然而 w2表示輪胎要施多少力才能支撐遊艇。

投影和向量分量 投影和向量分量的定義: 假設u和v為兩非零向量。使 ， 和v平行， 和v垂直，如下圖。 稱做u在v上的投影，或稱做u在v方向的向量分量。以 來表示。 2. 稱做垂直於v的向量分量

例題 4 求出一垂直於向量v的向量分量u 給定向量 、 。找出u垂直於向量v的向量分量。 已知 解法: 因為 u = w1 + w2 ，而 w1 平行於 v, 所以 w2 就是垂直於 v 的向量分量。

例題 4 – 解 cont’d 檢查w2 垂直於 v，如圖Figure 11.30。 Figure 11.30

投影和向量的分量 定理11.6: 用內積的方式來表示投影 如果u和v是兩個非零向量，則u在v上的投影會表示成 u在v上的投影，可以被改寫成一個常數乘上v的單位向量。 常數k被稱做u在向量v方向上的分量。

例題 5 將一個向量分解成向量分量 給定向量 、 。找出u於向量v的投影與垂直於v的向量分量。 解法: u於向量v的投影是 例題 5 將一個向量分解成向量分量 給定向量 、 。找出u於向量v的投影與垂直於v的向量分量。 解法: u於向量v的投影是 垂直於 v的向量分量是