Chapter 2 陣列結構 資料結構導論 - C語言實作

2.1 前言 「陣列」(Array)結構具有以下重要特徵： 一個陣列可以包含許多個陣列元素，陣列元素之個數又稱為陣列之大小。 同一個陣列裡的元素都具備相同的資料型態(Data Type)。 為方便資料的存取，可將陣列設計成一維(Dimension)、二維、三維，...，甚至更多維的陣列。 資料結構導論 - C語言實作

2.1 前言 宣告一個陣列時，作業系統會在記憶體空間指定一個起始位置給該陣列，並且根據陣列的資料型態和大小來配予一組連續的記憶體位置。 陣列元素在記憶體中的位置是連續且相鄰的，因此只要透過一套簡單的陣列元素位址計算公式，便能得知某陣列元素所在之記憶體位置。 經由陣列索引(Index)，可以迅速且直接地存取陣列中的元素資料。 資料結構導論 - C語言實作

2.2 宣告陣列 宣告陣列時須定義下列幾項屬性： 陣列的資料型態。 陣列的名稱。 陣列的維度，即中括號([ ])的個數。 陣列每一維度的元素個數，亦即陣列大小。 陣列元素的初值，此項可以省略。 資料結構導論 - C語言實作

2.2 宣告陣列 以C語言為例，宣告陣列的語法如下： 資料結構導論 - C語言實作

2.2.1 一維陣列 【例1】宣告一個可以用來存放6次考試成績的整數陣列。 int grades[6] = {83, 75, 92, 74, 88, 93}; 資料結構導論 - C語言實作

2.2.2 二維陣列 【例2】宣告二維陣列。 資料結構導論 - C語言實作

2.2.2 二維陣列 【例3】宣告grades[50][6]為一個可以用來儲存50位同學之5次資料結構考試成績之二維陣列。 int grades[50][6] ; 資料結構導論 - C語言實作

2.3 陣列的表示法 一維陣列的表示法 二維陣列的表示法 三維陣列的表示法 多維度陣列的表示法 上三角矩陣 下三角矩陣 我們將「陣列」與「矩陣」視為同義詞 資料結構導論 - C語言實作

2.3.1 一維陣列的表示法 A[n] = {A[0]，A[1]，…，A[n-1]} 假設 則： 一維陣列A在記憶體的起始位置為α。 每個陣列元素所需的儲存空間是z個位元組(Byte) 。 陣列元素A[i]的記憶體位址為Loc(A[i]) 。 則： Loc(A[i]) = A的起始位址 + A[i]相對於陣列起始位置之位移 = α + i  z。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.1 一維陣列的表示法 【例1】設陣列A是一個大小為10的一維陣列，且陣列A在記憶體之起始位置為1000，且每個元素都需要2個位元組的儲存空間。則 A[7]的記憶體位置為何？ 【解答】 Loc(A[7]) = A的起始位址 + A[7]相對於陣列起始位置之位移 = 1000 + 7  2 = 1014。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.1 一維陣列的表示法 【例2】設d[100] 為一個實數陣列，每一個元素佔4個位元組。若d[10]的位址為2000，則d[88]的位址為何？ 【解答】 Loc(d[88]) = d[10]的位址 + d[88]相對於d[10]之位移 = 2000 + (88-10)  4 = 2312。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.1 一維陣列的表示法 A[f:t] = {A[f] ，A[f-1] ，... ， A[0] ， A[1] ， ... ，A[t] } 。 假設 一維陣列A[f]在記憶體的起始位置為α。 每個陣列元素所需的儲存空間是z個位元組(Byte) 。 陣列元素A[i]的記憶體位址為Loc(A[i])。 則： Loc(A[i]) = A的起始位址 + A[i]相對於陣列起始位置之位移 = α + (i-f)  z。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.1 一維陣列的表示法 【例3】設A[-15:25]在記憶體的起始位置為123，且每一元素佔4個位元組，則A[3]的位址為何？ 【解答】 Loc(A[3]) = A[-15:25]的起始位址 + A[3]相對於A[-15:25]之位移 = 123 + (3-(-15))  4 = 195。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 B[m][n] = {B[0][0]，B[0][1]，…， B[m-1][n-1] } 。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 將二維的陣列元素轉換成一維排列的方式有下列兩種： 以列為主(Row Major) 。 以行為主(Column Major) 。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 以列為主(Row Major)的表示法： 假設 則： 假設二維陣列B在記憶體的起始位置為α 。 陣列之個別元素所需的記憶體空間大小為z 。 陣列元素B[i][j]的記憶體位址為Loc(B[i][j]) 。 則： LocRM(B[i][j]) = B的起始位址 + B[i][j]相對於陣列起始位置之位移 = α + (i  n + j)  z 。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 以行為主(Column Major)的表示法： 假設 則： 假設二維陣列B在記憶體的起始位置為α 。 陣列之個別元素所需的記憶體空間大小為z 。 陣列元素B[i][j]的記憶體位址為Loc(B[i][j]) 。 則： LocCM(B[i][j]) = B的起始位址 + B[i][j]相對於陣列起始位置之位移 = α + (j  m + i)  z 。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 【例1】已知A[1][2]之記憶體位置為22，且A[2][4]和A[4][2] 之記憶體位置分別為30和40，則A[5][5]之位置為何？ 【解答】 因為A[2][4]的記憶體位置30小於A[4][2] 的記憶體位置40，可見該陣列是採「以列為主」排列。因此： LocRM(A[i][j]) = A的起始位址 + A[i][j]相對於陣列起始位置之位移 = α + (i  n + j)  z。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 LocRM(A[2][4]) = A[1][2]的位址 + A[2][4]相對於A[1][2]之位移 = 22 + ((2-1)  n + (4-2))  z = 22 + (n + 2)  z = 30。 所以，nz + 2z = 8 …………(1) LocRM(A[4][2]) = A[1][2]的位址 + A[4][2]相對於A[1][2]之位移 = 22 + ((4-1)  n + (2-2))  z = 22 + (3n + 0)  z = 40。 所以，3nz = 18 ，nz = 6 …………(2) ，將(2)代入(1)得到 6 + 2z = 8，z = 1，代入(2) 得到 n = 6 ，因此 資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 LocRM(A[5][5]) = A[1][2]的位址 + A[5][5]相對於A[1][2]之位移 = 22 + ((5-1)  n + (5-2))  z = 22 + (4  6 + 3)  1 = 49。   資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 【例2】設A[f1:t1][f2:t2] 為一個二維陣列宣告，其記憶體起始位置為α，每個元素所佔的記憶體空間為z。則陣列元素A[i][j]之位置為何？ 【解答】 已知A[f1][f2]在記憶體之起始位置為α，且每個元素所佔的記憶體空間為 z。 設二維陣列A共有m列n行，則 m = t1-f1+1， n = t2-f2+1。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.2 二維陣列的表示法 以列為主 LocRM(A[i][j]) = A[f1][f2]的起始位址 + A[i][j]相對於A[f1][f2]之位移 = α + ((i-f1)  n + (j-f2))  z 以行為主 LocCM(A[i][j]) = A[f1][f2]的起始位址 + A[i][j]相對於A[f1][f2]之位移 = α + ((j-f2)  m + (i-f1))  z 資料結構導論 - C語言實作

2.3.3 三維陣列的表示法 int cubic[3][2][3] = { {1,2,3,4,5,6}, {7,8,9,1,2,3}, {4,5,6,7,8,9}}; 它包括3個平面，每個平面有2列及3行。 平面 列 行 資料結構導論 - C語言實作

2.3.3 三維陣列的表示法 假設我們宣告了一個三維陣列C[l][m][n] 假設 l 代表第一個維度的大小。 m 代表第二個維度的大小。 陣列之個別元素所需的記憶體空間大小為z 。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.3 三維陣列的表示法 以列為主(Row Major)的表示法： 以行為主(Column Major)的表示法： 共計有 l 個平面，每個平面有 m 列與 n 行。 LocRM(C[i][j][k]) = α + (imn + jn + k)  z 以行為主(Column Major)的表示法： 共計有 n 個平面，每個平面有 l 列與 m 行。 LocCM(C[i][j][k]) = α + (klm + jl + i)  z 資料結構導論 - C語言實作

2.3.4 多維度陣列的表示法 假設 n 維度陣列D[s1][s2][s3]…[sn]在記憶體中的起始位置為α。 其中s1，s2，…，sn分別為D陣列的第1維、第2維，…，第n維的元素個數。 每個陣列元素所須要的記憶體儲存空間為z。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.4 多維度陣列的表示法 以列為主(Row Major)的表示法： LocRM(D[i1][i2]…[in]) = α + (i1s2s3…sn-1sn + i2s3s4…sn-1sn + i3s4s5…sn-1sn + … + in-3sn-2sn-1sn + in-2sn-1sn + in-1sn + in)  z 。   資料結構導論 - C語言實作

2.3.4 多維度陣列的表示法 以行為主(Column Major)的表示法： LocCM(D[i1][i2]…[in]) = α + (ins1s2…sn-2sn-1 + in-1s1s2…sn-3sn-2 + in-2s1s2…sn-4sn-3 + … + i3s1s2 + i2s1 + i1)  z 。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.5 對角線矩陣的表示法 對角線矩陣(Diagonal Matrix) 是一個「方陣」 。 除了對角線的元素值可能不為0外，其餘元素值均為0。 亦即，矩陣元素vi,j = 0，i ≠ j。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.5 對角線矩陣的表示法 對角線矩陣(Diagonal Matrix) 對角線矩陣DM[m][m]共有m個非0元素。 我們可以直接用一個一維陣列X[m]來表示對角線矩陣。 亦即X[i]= DM[i][i]。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.6 下三角矩陣的表示法 下三角矩陣(Lower Triangular Matrix) 它是一個「方陣」。 對角線以上(不含對角線)的元素值均為 0。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.6 下三角矩陣的表示法 假設 採「以列為主」的儲存策略，則 下三角矩陣式的陣列X在記憶體之起始位置為α。 且每個陣列元素所需的記憶體空間為z。 採「以列為主」的儲存策略，則 LocRM(Xi,j)=  + ((i(i+1))/2 + j)  z 。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.6 下三角矩陣的表示法 【例1】設X[n][n]為一個下三角矩陣，若要用一個一維陣列Y[m]來表示X，則m的最小值應該宣告為何？ 【解答】 m = 1+2+3+...+n = n(n+1)/2。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.7 上三角矩陣的表示法 上三角矩陣(Upper Triangular Matrix) 它是一個「方陣」。 對角線以下 (不含對角線)的元素值均為 0。 資料結構導論 - C語言實作

2.3.7 上三角矩陣的表示法 假設 採「以行為主」的儲存策略，則 下三角矩陣式的陣列X在記憶體之起始位置為α。 且每個陣列元素所需的記憶體空間為z。 採「以行為主」的儲存策略，則 LocCM(Xi,j)=  + ((j(j+1))/2 + i)  z 。 資料結構導論 - C語言實作

2.4 一維陣列的應用 2.4.1 計數器(Counter) 2.4.2 暫存(Temporary Store) 2.4.3 取代(Substitution) 2.4.4 索引(Indexing) 2.4.5 搜尋(Searching) 2.4.6 排序(Sorting) 資料結構導論 - C語言實作

2.4.1 計數器(Counter) i = i + 1; (或 i++; ) 。 int count[n]; //宣告 ... count[i] = count[i] + 1; //計數器 + 1 或 count[i]++ ; //計數器 + 1 資料結構導論 - C語言實作

2_dice_toss.c (p.2-26) #include <stdio.h> #include <math.h> void dicetoss(int *count, int n); void main(void) { int count[6] = {0}; int i, n; clrscr(); printf("請輸入擲骰子的次數 : "); scanf("%d",&n); dicetoss(count, n); 資料結構導論 - C語言實作

printf("\n\n---------------------------"); printf("\n 共計投擲 %2d 次，其中",n); for(i = 0; i < 6; i++) printf("\n %d 點出現 %2d 次",i+1,count[i]); printf("\n---------------------------\n"); } /********************************************/ /* 利用一個亂數產生函數(式)來模擬骰子的投擲 */ void dicetoss(int *count, int n) { int i, point; for(i = 0; i < n; i++) point = rand() % 6 ; count[point] = count[point] + 1; 資料結構導論 - C語言實作

2.4.2 暫存(Temporary Store) 「質數」：大於1的數，除了1與本身以外沒有任何一個數能夠整除它時，該數稱為質數。 2是最小的質數。 3、5、7均是質數。 4、6不是質數，因為4可以被2整除，6可以被2、3整除 。 資料結構導論 - C語言實作

2.4.2 暫存(Temporary Store) 如何找出小於等於100的所有質數呢？ 第一種方法： 根據質數的定義，判斷5是否為質數時，須將5除以2、3、4，只要能被其中一個數整除，那麼5就非質數，否則5就是質數。 依此類推，判斷x是否為質數時，須將x除以2、3、4...、x-1，只要能被其中一個數整除，那麼x就非質數，否則x就是質數。 資料結構導論 - C語言實作

2_prime1.c (p.2-30) #include <stdio.h> void main(void) { int n, count = 0; int i, j; enum boolean isprime; enum boolean {false,true}; clrscr(); printf("請輸入大於 1 的整數 : "); scanf("%d",&n); printf("\n不大於 %d 的質數有...\n\n",n); 資料結構導論 - C語言實作

/* 質數的定義：一個正整數，除了 1 和本身以外沒有別的因數：一個正整數，除了 1 和本身以外不能被其他的數所整除 */ /* 質數的定義：一個正整數，除了 1 和本身以外沒有別的因數：一個正整數，除了 1 和本身以外不能被其他的數所整除 */ for(i = 1; i <= n; i++) { isprime = true; switch(i) { case 1 : /* 1 非質數 */ isprime = false; break; case 2 : /* 2 是最小的質數 */ default : for(j = 2; j < i; j++) { if((i % j) == 0) { /* i 可被 j 整除，非質數 */ } else; 資料結構導論 - C語言實作

if(count % 15 == 0) /* 每印滿15個質數就跳下一行 */ printf("\n\n"); else; } if(isprime == true) { /* 印出質數 */ count ++; printf("%3d ",i); if(count % 15 == 0) /* 每印滿15個質數就跳下一行 */ printf("\n\n"); else; } printf("\n\n==> 不大於 %d 的質數共有 %d 個",n,count); 資料結構導論 - C語言實作

2.4.2 暫存(Temporary Store) 第二種方法： 將第1個找到的質數暫存於prime[0]，將第2個找到的質數暫存於prime[1]，將第3個找到的質數暫存於prime[2]，依此類推。 要判斷一個整數x是否為質數時，我們只須取出prime陣列裡已經找到的質數來當做除數，將x除以這些質數，如果都不能被這些質數整除，即可斷定x為質數。 因此，要判斷6是否為質數時，只須分別判斷6是否能被2、3、5整除即可，只要能被其中一個質數整除，6就非質數。因6能被2整除，非質數，不須再判斷能否被3、5整除了。 資料結構導論 - C語言實作

2_prime2.c (p.2-33) #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 120 int find_prime(int *prime, int n); void main(void) { int i, n, count = 0; int prime[N] = {0}; clrscr(); printf("請輸入大於 1 的整數 : "); scanf("%d",&n); printf("\n不大於 %d 的質數有...\n\n",n); /*找出不大於 n 的所有質數 */ count = find_prime(prime, n); 資料結構導論 - C語言實作

for(i = 0; i <= count; i++) { printf("%d ",prime[i]); if((i+1) % 15 == 0) /* 每印滿 15 個質數就跳下一行 */ printf("\n\n"); } printf("\n\n小於等於 %d 的質數共有 %d 個",n,count+1); /* 找出 <= n 的所有質數，採用以下定義 */ /* 質數的定義：一個正整數，不能被小於本身的所有質數所整除 */ /* 被找到的質數站存在陣列prime[]之中 */ /*-----------------------------------------------------------*/ int find_prime(int *prime, int n) enum boolean isprime; enum boolean {false,true}; int i, j, count = -1; 資料結構導論 - C語言實作

for(i = 2; i <= n; i++) { isprime = true; switch(i) { case 2 : /* 2 是最小的質數 */ prime[++count] = i; break; default : for(j = 0; prime[j] != 0 && prime[j] <= sqrt(i) && isprime == true; j++) if((i % prime[j]) == 0) /* 非質數 */ isprime = false; else; } if(isprime == true) return count; 資料結構導論 - C語言實作

2.4.3 取代(Substitution) 要印出 則可用陣列來儲存花色和點數以取代之 資料結構導論 - C語言實作

2_cards.c (p.2-36) #include <stdio.h> char cf[4] = {6, 5, 4, 3}; /* 黑桃,梅花,方塊,紅心 */ char cp[13][2] = {"A ", "2 ", "3 ", "4 ", "5 ", "6 ", "7 ", "8 ", "9 ", "10", "J ", "Q ", "K "}; void main(void) { int i, j; clrscr(); for(i = 0; i <= 3; i++) { for(j = 0; j <= 12; j++) { printf("%c%c%c ",cf[i],cp[j][0],cp[j][1]); } printf("\n"); 資料結構導論 - C語言實作

2.4.4 索引(Indexing) 「索引」：利用某一個陣列的元素值來當做另一個陣列的索引值。 尋找出眾數及其出現頻率 一維陣列x[15]是一個含有15個元素的整數陣列，且陣列中的元素值均介於0與5之間。我們稱陣列x中出現次數最多的數為「眾數」。 宣告一個整數陣列count[6]，然後用count[i]來記錄x陣列中 i 的出現次數。 亦即 count[x[i]] = count[x[i]]++ ; 資料結構導論 - C語言實作

2_freq.c (p.2-38) #include <stdio.h> #define N 15 /* 輸入 15 個整數 */ #define NUMBER 6 /* 輸入的整數必須介於 0 至 5 之間 */ int frequency(int *count); void main(void) { int i,n; int x[N] = {0}; int count[NUMBER] = {0}; clrscr(); printf("請輸入15個整數 i ，0 <= i <= 5 :\n"); 資料結構導論 - C語言實作

count[x[i]] = count[x[i]] + 1; } n = frequency(count); for(i = 0; i < N; i++) { scanf("%d",&x[i]); count[x[i]] = count[x[i]] + 1; } n = frequency(count); printf("\n眾數為 %d ，共出現 %d 次\n",n,count[n]); 資料結構導論 - C語言實作

/* 尋找眾數(當同時有好幾個最大者時，以輸入值較小者為眾數) */ int frequency(int *count) { int i; /* 尋找眾數(當同時有好幾個最大者時，以輸入值較小者為眾數) */ int frequency(int *count) { int i; int most_freq_no = count[0]; int n = 0; /* 眾數 */ printf("\ncount陣列之內容為 : "); printf("\n----------------------------------"); for(i = 0; i <= NUMBER-1 ; i++) { printf("\n ==> count[%d] = %d",i,count[i]); printf(" (%d 出現 %d 次)",i,count[i]); if(count[i] > most_freq_no) most_freq_no = count[i]; n = i; } return n; 資料結構導論 - C語言實作

2.4.5 搜尋(Searching) 搜尋(Search)：從一群資料中找出滿足特定條件的資料之動作稱之。 搜尋條件通常有： 大於、等於、小於、大於或等於、不等於、小於或等於等多種組合。 資料結構導論 - C語言實作

2.4.5.1 循序搜尋法(Sequential Search) 【例1】找出鍵值大於70的資料？ 必須從d[0]開始逐筆加以比對，直到比完d[7]為止(共計比較8次) 結果找到d[2]、d[4]、d[5]、d[7]等4筆資料 資料結構導論 - C語言實作

2.4.5.2 二元搜尋法(Binary Search) 二元搜尋法的特徵如下： 資料須事先經過排序。 每次都從可能有符合條件的一組資料中，拿第中間筆資料(假設d[i])出來跟鍵值k相比。 每次比較完之後，大約可以捨去一半的資料，所以搜尋的速度很快。 資料結構導論 - C語言實作

2.4.5.2 二元搜尋法(Binary Search) 【例2】二元搜尋法。 找出鍵值等於120的資料？ 資料結構導論 - C語言實作

2.4.5.2 二元搜尋法(Binary Search) 【例2】二元搜尋法。 找出鍵值大於70的資料？ 資料結構導論 - C語言實作

2_b_search.c (p.2-46) #include <stdio.h> #define Size 8 #define true 1 void print_array_data(int *d, int n); int binary_search(int *d, int low_index, int high_index, int key, int *index); /* 列印陣列元素值 */ void print_array_data(int *d, int n) { int i ; printf("陣列元素 d[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] \n"); printf("------------------------------------------\n"); printf("鍵 值 ==>"); for(i = 0; i < n; i++) { printf("%3d ",d[i]); } printf("\n\n"); 資料結構導論 - C語言實作

if(d[low_index] > key || d[high_index] < key ) /* not found */ /* 二元搜尋法 */ int binary_search(int *d, int low_index, int high_index, int key, int *index) { int i, middle, count; if(d[low_index] > key || d[high_index] < key ) /* not found */ return (-1); count=-1; while(low_index <= high_index){ middle = (low_index + high_index)/2; if(key > d[middle]) low_index = middle + 1; /* 下一回合須搜尋後半部 */ else { if(key < d[middle]) high_index = middle - 1; /* 下一回合須搜尋前半部 */ else { /* key == d[middle] */ index[++count] = middle; /* 找到了 */ /* 須再比較前後筆鍵值是否相同 */ 資料結構導論 - C語言實作

while(i >= low_index && key == d[i]) /* 比較前面幾筆是否同鍵值 */ /* 須再比較前後筆鍵值是否相同 */ i = middle - 1; while(i >= low_index && key == d[i]) /* 比較前面幾筆是否同鍵值 */ index[++count] = i--; i = middle + 1; while(i <= high_index && key == d[i]) /* 比較後面幾筆是否同鍵值 */ index[++count] = i++; return (count); } return (-1); 資料結構導論 - C語言實作

int d[Size]={14, 33, 48, 50, 87, 93, 120, 121}; /* 已遞增排序 */ int key; void main(void) { int d[Size]={14, 33, 48, 50, 87, 93, 120, 121}; /* 已遞增排序 */ int key; int i, count=-1; /* 共有多少筆資料滿足搜尋條件 */ int index[Size]; /* 儲存滿足條件之鍵值之索引位值 */ clrscr( ); while(true){ print_array_data(d, Size); printf("請輸入要搜尋的鍵值(結束時輸入-1) : "); scanf("%d",&key); if(key == -1) break; else; 資料結構導論 - C語言實作

count = binary_search(d, 0, Size-1, key, index); if(count > -1){ for(i = 0; i <= count; i++) printf("\n在 d[%d] 找到了鍵值 %d！",index[i],key); printf(" ==>共找到 %d 筆！\n\n",count+1); } else printf("\n==>找不到鍵值 %d ！\n\n",key); 資料結構導論 - C語言實作

2.4.6 排序(Sorting) 排序(SORT)：乃將原始資料依照某個特定的次序加以重新排列。 排序時須指定： 用哪一個資料項來排序？ 被用來排序的資料項又稱為「鍵(Key)」 排序的順序 遞增：即由小到大。 遞減：即由大到小。 資料結構導論 - C語言實作

2.4.6.1 氣泡浮昇排序法(Bubble Sort) 假設我們已經宣告了一個整數陣列d[n]，用來存放編號為0、1、2、...、n-1的n筆資料。且 d[0] = v0、 d[1] = v1、 d[2] = v2、... d[n-2] = vn-2、 d[n-1] = vn-1。 資料結構導論 - C語言實作

2.4.6.1 氣泡浮昇排序法(Bubble Sort) 採用氣泡浮昇排序法的將一組資料依「鍵值遞增」排序之步驟說明如下： 第1回合： 從第0筆資料開始一直到第n-1筆資料，持續比較相鄰兩筆資料之大小，若vi大於vi+1，則須將兩者交換位置，亦即須將vi 儲存到d[i+1]，vi+1 儲存到d[i]。換言之，必須保持小的在前，大的在後之順序。 在第1回合處理完後，陣列中最大的數值已經被存放到d[n-1]的位置。 資料結構導論 - C語言實作

2.4.6.1 氣泡浮昇排序法(Bubble Sort) 第2回合： 從第0筆資料開始一直到第n-2筆資料，持續比較相鄰兩筆資料之大小，若vi大於vi+1，則須將兩者交換位置，亦即須將vi 儲存到d[i+1]，vi+1 儲存到d[i]。 在第2回合處理完後，陣列中第2大數的值已經被存放到d[n-2]的位置。 重複執行上述步驟，共計(n-1)回合，即可將陣列資料排列成由小到大的遞增順序。 資料結構導論 - C語言實作

2.4.6.1 氣泡浮昇排序法(Bubble Sort) 【例2】氣泡浮昇排序法。 資料結構導論 - C語言實作

2.4.6.1 氣泡浮昇排序法(Bubble Sort) 【例2】氣泡浮昇排序法。 資料結構導論 - C語言實作

2_b_sort.c (p.2-55) #include <stdio.h> #define Size 9 void print_org_data(const int d[], int n); void print_array_data(const int d[], int n); void swap(int *x, int *y); void bubble_sort_ascending(int d[], int n); /* 列印排序前的鍵值資料(陣列 d 共有 n 個元素) */ void print_org_data(const int d[], int n) { int i; clrscr( ); printf("陣列元素 d[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]\n"); printf("-------------------------------------------------\n"); printf("<排序前> ==> "); 資料結構導論 - C語言實作

printf("\n-------------------------------------------------\n"); for(i = 0; i < n; i++) { printf("%2d ",d[i]); } printf("\n-------------------------------------------------\n"); /* 印出陣列 d 的內容(陣列 d 共有 n 個元素) */ void print_array_data(const int d[], int n) int i; printf("\n"); 資料結構導論 - C語言實作

void swap(int *x, int *y) { int z = *x; *x = *y; *y = z; } /* 氣泡浮昇排序法(1.陣列 d 共有 n 個元素 2.遞增排序) */ void bubble_sort_ascending(int d[], int n) int i, j; for(i = 0; i < n-1; i++){ for(j = 0; j < n-1; j++){ if(d[j] > d[j+1]) swap(&d[j], &d[j+1]); printf(" 第%d回合 ==> ",i+1); print_array_data(d, n); 資料結構導論 - C語言實作

print_org_data(d, Size); /* 列印排序前之鍵值資料 */ /* 將陣列 d 裡的 Size 個鍵值遞增排序 */ void main(void) { int d[Size]={83,66,55,21,88,18,33,47,3}; print_org_data(d, Size); /* 列印排序前之鍵值資料 */ /* 將陣列 d 裡的 Size 個鍵值遞增排序 */ bubble_sort_ascending(d, Size); } 資料結構導論 - C語言實作

2.5 二維陣列的應用 2.5.1 轉置矩陣(Transpose Matrix) 2.5.2 對稱矩陣(Symmetric Matrix) 2.5.3 反射矩陣(Reflection Matrix) 2.5.4 矩陣相加(Matrix Addition) 2.5.5 矩陣相減(Matrix Subtraction) 2.5.6 矩陣乘積(Matrix Multiplication) 2.5.7 稀疏矩陣(Sparse Matrix) 資料結構導論 - C語言實作

2.5.1 轉置矩陣(Transpose Matrix) 設M是一個mn矩陣，而TM為其轉置矩陣，則： TM為一個nm矩陣。 M的第0列元素成為TM的第0行元素， M的第1列元素成為TM的第1行元素，…， M的第m-1列元素成為TM的第m-1行元素。 亦即 TM[j][i] = M[i][j]。 資料結構導論 - C語言實作

2.5.1 轉置矩陣(Transpose Matrix) 【例1】轉置矩陣。 資料結構導論 - C語言實作

2_t_matrix.c (p.2-60) #include <stdio.h> void main(void) { int M[10][10] = {0}, TM[10][10] = {0}; int i, j, m, n; /* 輸入矩陣 M 之元素值，並產生轉置矩陣 TM */ clrscr(); printf("請輸入二維矩陣 M[m][n] 之大小，即 m n 之值 : "); scanf("%d %d",&m,&n); printf("\n請按【列】之順序輸入矩陣 M 的元素值:\n"); for(i = 0; i < m; i++){ for(j = 0; j < n; j++){ scanf("%d",&M[i][j]); /* 輸入矩陣 M 的元素值 */ TM[j][i] = M[i][j]; /* TM 為矩陣 M 的轉置矩陣 */ } 資料結構導論 - C語言實作

printf("\n矩陣 M[%d][%d] 的元素資料如下 : \n",m,n); for(i = 0; i < m; i++) { for(j = 0; j < n; j++) { printf(" %3d",M[i][j]); } printf("\n"); /* 列印出轉置矩陣 TM */ printf("\n\n轉置矩陣 TM[%d][%d] 的元素資料如下 : \n",n,m); for(i = 0; i < n; i++) { for(j = 0; j < m; j++) { printf(" %3d",TM[i][j]); 資料結構導論 - C語言實作

2.5.2 對稱矩陣(Symmetric Matrix) 對稱矩陣為一方陣，且元素值vij = vji。 資料結構導論 - C語言實作

2.5.3 反射矩陣(Reflection Matrix) 反射矩陣(RMmxn)是將原始矩陣(Mmxn)進行水平方向的鏡射。 資料結構導論 - C語言實作

2.5.4 矩陣相加(Matrix Addition) cij=aij+bij。 【例1】矩陣相加。 資料結構導論 - C語言實作

2.5.5 矩陣相減(Matrix Subtraction) cij=aij-bij。 【例1】矩陣相減。 資料結構導論 - C語言實作

2.5.6 矩陣乘積(Matrix Multiplication)

2.5.6 矩陣乘積(Matrix Multiplication) 【例1】矩陣乘積。 資料結構導論 - C語言實作

2_m_matrix.c (p.2-71) #include <stdio.h> void main(void) { int a[10][10] = {0}, b[10][10] = {0}, c[10][10] ={0}; int i, j, k, m, n, n1, p; /* 輸入矩陣 a 之元素值 */ clrscr(); printf("請輸入二維矩陣 a[m][n] 之大小，即 m n 之值 : "); scanf("%d%d",&m,&n); printf("\n請按【列】之順序輸入矩陣 a 的元素值:\n"); for(i = 0; i < m; i++) { for(j = 0; j < n; j++) { scanf("%d",&a[i][j]); /* 輸入矩陣 a 的元素值 */ } printf("\n"); 資料結構導論 - C語言實作

while(1) { /* while(true) */ /* 輸入矩陣 b 之元素值 */ while(1) { /* while(true) */ printf("\n請輸入二維矩陣 b[n][p] 之大小，即 n 與 p 之值 : "); scanf("%d%d",&n1,&p); if(n != n1) printf("==> a 矩陣之行數必須等於 b 矩陣之列數，請重新輸入！\n"); else break; } printf("\n請按【列】之順序輸入矩陣 b 的元素值:\n"); for(i = 0; i < n; i++) { for(j = 0; j < p; j++) { scanf("%d",&b[i][j]); /* 輸入矩陣 b 的元素值 */ /* c[n][p] = a[m][n] * b[n][p] */ for(i = 0; i < m; i++) for(j = 0; j < p; j++) for(k = 0; k < n; k++) c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]; 資料結構導論 - C語言實作

/*------------------*/ /* 列印出矩陣 c */ printf("\n"); printf("a x b 之結果如下:\n"); for(i = 0; i < m; i++) { for(j = 0; j < p; j++) printf("%3d ",c[i][j]); } 資料結構導論 - C語言實作

2.5.7 稀疏矩陣(Sparse Matrix) 一個矩陣中，若大多數的元素值均為0，則稱該矩陣為「稀疏矩陣」。 這裡所謂的元素值為0在應用上包括幾種涵義： 真的為0。 為虛值(Null Value) ，亦即沒有資料值 資料結構導論 - C語言實作

2.5.7 稀疏矩陣(Sparse Matrix) 【例1】稀疏矩陣的表示法。 資料結構導論 - C語言實作

2.5.7 稀疏矩陣(Sparse Matrix) 【例2】試設計一個用以表示三維稀疏矩陣的表示法。 【解答】設三維稀疏矩陣SMmxnxo各維之大小 分別為m、n、o，且稀疏矩陣中非0元素 共計p個。 資料結構導論 - C語言實作