机电类 《自动检测技术及应用》 多媒体课件 （共13章，第一章） 统一书号：ISBN 978-7-111-34300-4 课程配套网站 www.sensor-measurement.net 或www.liangsen.net 2012年7月版

第一章 检测技术的基本概念 本章介绍测量的基本概念、测量方法、引用误差、准确度等级及计算、粗大误差、系统误差、随机误差的数据处理、动态误差、误差合成，传感器分类、传感器特性：灵敏度、分辨力、线性度、迟滞误差、稳定性、可靠性等基本特性，是检测技术的理论基础。

1.1 测量的基本概念及方法 1.2 测量误差及数据处理 1.3 传感器及其基本特性 第一章 检测技术的基本概念 目录 1.1 测量的基本概念及方法 1.2 测量误差及数据处理 1.3 传感器及其基本特性 进入 进入 进入

第一节 检测技术的基本概念及方法 测量是借助专门的技术和仪表设备,采用一定的方法取得某一客观事物定量数据资料的过程。 所谓“定量”，就是使用一定准确度等级的测量仪器、仪表，比较准确地测得被测量的数值。 测量过程实质上是一个比较的过程，即将被测量与一个同性质的、作为测量单位的标准量进行比较，从而确定被测量是标准量的若干倍或几分之几的比较过程。 测量结果可以表现为一定的数字，也可表现为一条曲线，或者显示成某种图形等，测量结果包含数值（大小和符号）以及单位。有时还要给出误差范围。

测量分类 对于测量方法，从不同的角度出发，有不同的分类方法。根据被测量是否随时间变化，可分为静态测量和动态测量 。 根据测量的手段不同，可分为直接测量、间接测量和组合测量。 根据测量结果的显示方式，可分为模拟式测量和数字式测量。 根据测量时是否与被测对象接触，可分为接触式测量和非接触式测量。 为了监视生产过程，或在生产流水线上监测产品质量的测量称为在线测量，反之，则称为离线测量。 根据测量的具体手段来分，又可分为偏位式测量、零位式测量和微差式测量。

静态测量 静态测量是相对于动态测量而言的

在检测技术中，对缓慢变化的对象所进行的测量，亦属于静态测量。工程中，有时可认为几十赫兹以上的测量称为动态测量。 最高、最低 温度计

动态测量 地震测量 振动波形

便携式仪表显示 动态波形 .

直接测量 电子卡尺

间接测量 （测量皇冠比重的联想） 在多个直接测量值的基础上，根据已知的函数关系，计算出被测量的量值。

接触式测量

非接触式测量 例：雷达测速 车载电子警察

离线测量 产品质量的 手工检验

离线测量 产品质量检验

电路板焊接质量检验 .

在线测量 防护罩内为测量行程的传感器 在流水线上，边加工，边检测，可提高产品的一致性和加工准确度。 例：安装有直线光栅的数控机床，一边加工一边测量直径和螺纹,到达设定值时自动退刀。 防护罩内为测量行程的传感器

偏位式测量 直接以仪表的偏移量表示被测量的测量方式称为偏位式测量 。

零位式测量例1：天平 已知标准量 被测量 当测量系统达到平衡（天平指针处于中间零位）时，用已知标准量的值决定被测量的值。准确度高，决定于标准量，但平衡比较费时。

零位式测量例2：平衡电桥（惠斯通电桥） 是一种可以精确测量电阻的仪器。被测电阻R1接到红黑两个接线柱，与电桥盒内的另外3个电阻 R2 、 R3、 R4构成电桥的四个臂，可以用数字电流表G作为检流计，用以检查“检流计所在的支路”有无电流。当G无电流通过时，称电桥达到平衡。可以将电桥盒表面的可调电阻进行乘法和加法计算，得到被测电阻值。 .

零位式测量例3：自动平衡电桥 1－滑线电阻 2－电刷 3－指针 4－刻度尺 5－丝杆螺母传动 6－检零放大器 7－伺服电动机

零位式测量例4： 自动平衡电位差计式记录仪表 零位式测量例4： 自动平衡电位差计式记录仪表 平衡时间： 小于1s 匀速走纸

微差式测量 微差式测量法是综合了偏位式测量法速度快和零位式测量法准确度高的优点的一种测量方法。这种方法预先使被测量与测量装置内部的标准量取得平衡。当被测量有微小变化时，测量装置失去平衡。用偏位式仪表指示出其变化部分的数值。 例如，用天平（零位式仪表）测量化学药品，当天平平衡之后，又增添了少许药品，天平将再次失去平衡。这时我们即使用最小的砝码也称不出这一微小的差值。但是我们可以从天平指针在标尺上移动的格数来读出这一微小差值。

微差式测量 1－被测钢板 2－轧辊 3－γ射线源 4－铅盒 5－γ射线 6－γ射线探测器 7－差动放大器 8－指示仪表a 9－指示仪表b

微差式测量 在线测量钢板厚度前，先将标准厚度的钢板放置于γ射线源和射线探测器之间，调节电位器RP，使差动放大器的输出Uo1为零，测量系统达到平衡。若被测钢板的厚度不等于标准厚度，Ui将大于或小于UR，其差值经差动放大器放大后，由指示仪表a指示出厚度的偏差值。微差式测量的分辨力较高，但量程较小。

第二节 测量误差及分类 回目录 绝对误差：被测量值Ax与真值A0之间总是存在着一个差值，这种差值称为绝对误差，用Δ表示： Δ=Ax－Ａ0 第二节 测量误差及分类 回目录 绝对误差：被测量值Ax与真值A0之间总是存在着一个差值，这种差值称为绝对误差，用Δ表示： Δ=Ax－Ａ0 真值有理论真值、约定真值、相对真值之分。准确度高2级以上的仪表的误差与准确度低的仪表的误差相比，则高一级仪表的测量值可以认为是相对真值。 某采购员分别在三家商店购买100kg大米、10kg苹果、1kg巧克力，发现均缺少约0.5kg（绝对误差相同），但该采购员对卖巧克力的商店意见最大，是何原因？

相对误差及准确度等级 示值相对误差： 引用误差γm（也称满度相对误差）： 准确度等级S 我国的工业模拟仪表有下列常用的7种等级： 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。

例 某压力表准确度为2.5级,量程为0～1.5MPa，求: 3）测量结果显示为0.70MPa时，可能出现的最大示值相对误差γx。 解: 1）可能出现的最大满度相对误差可以从准确度等级直接得到，即γm＝±25%。 2）Δm＝γmAm＝±25％1.5MPa ＝±0.0375MPa＝±37.5kPa 3）

例：用同一台磅秤测量三个不同重量物体的示值相对误差的比较（动画），请得出结论！ γ x100kg =0.5% γ x10kg =5% γ x1kg =50%

仪表的准确度等级和基本误差 例：某指针式电压表的准确度为2.5级，用它来测量电压时可能产生的最大满度相对误差为2.5%。 某公司生产测量温度的仪表，满度误差均在1.1~1.6％之间，该系列产品属于哪一级温度表？ 某车间希望测量温度的仪表满度相对误差控制在1.1~1.6％之间，应购买哪一级温度表？

例：某指针式万用表的面板如图所示，问： 用它来测量直流、交流（~）电压时，可能产生的满度相对误差分别为多少？

例：用指针式万用表的10V量程测量一只1.5V干电池的电压，示值如图所示， 问：选择该量程合理吗？

用2.5V量程测量同一只1.5V干电池的电压，与上图比较，与10V量程相比，示值相对误差哪一个大？

测量误差的分类 1.粗大误差 超出在规定条件下预计的误差，或明显偏离真值的误差称为粗大误差，也叫过失误差、疏忽误差或粗差。粗大误差主要是由于测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强大的干扰所引起的。如测错、读错、记错、外界过电压尖峰干扰等造成的误差。就数值大小而言，粗大误差明显超过正常条件下的误差。当发现粗大误差时，应予以剔除。

产生粗大误差的一个例子：电磁干扰

产生粗大误差的一个例子： 高压放电造成ECG系统的干扰

2.系统误差： 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，称为系统误差。 凡误差的数值固定或按一定规律变化者，多属于系统误差。 系统误差是有规律性的,因此可以通过实验的方法或引入修正值的方法计算修正,也可以重新调整测量仪表的有关部件予以消除。 夏天摆钟变慢的 原因是什么？

系统误差的另一种表达 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次重复测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，即： 系统误差=(无限次测量的平均值)－真值 系统误差可分为恒值误差和变值误差两大类。恒值误差在整个测量过程中，其数值和符号都保持不变。例如，由于刻度盘分度差错或刻度盘移动而使仪表刻度产生的误差等。 引起系统误差的因素：环境温度及湿度波动、电源电压下降、电子元件老化、机械零件变形移位、仪表零点漂移等。又如，用零点未调整好的天平称量物体，称量结果会产生偏高或偏低。 由于系统误差、产生的原因以及真值不能完全知晓，因此通过修正和调整只能有限程度地对系统误差进行补偿，系统误差会比修正前的要小，但不可能为零。

3.随机误差 测量结果与在重复条件下,对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差称为随机误差。也可以采用如下的表达：在同一条件下，多次测量同一被测量，有时会发现测量值时大时小，误差的绝对值及正、负以不可预见的方式变化，该误差称为随机误差。 存在随机误差的测量结果中，虽然单个测量值误差的出现是随机的，既不能用实验的方法消除，也不能修正，但是就误差的整体而言，多数随机误差都服从正态分布规律。 测量值的随机误差=测量结果－算术平均值 =测量结果－(真值＋系统误差)

每一个测量值的随机误差，等于自身的数值减去算术平均值。 系统误差 瞬时 测量值 真值 正态分布 差值可能是正的或负的,大小每次均不相同。 具有随机误差的测量值的分布呈正态分布。

测量列和直方图 瞬时 测量值 真值 均值 系 统误差 正态分布 如果保持测量条件不变，对同一被测量对象进行多次重复测量，可以得到一系列包含了随机误差的读数：x1、x2、x3，…，xn ，它们称为测量列。将测得的数据xi为横坐标，出现的次数n（或概率密度f）为纵坐标，可以得到直方图。 若真值是可知的或者可以用高几级的仪表来测量(称为相对真值)，就可以尽量调整仪表的有关元件，使均值向真值逐步靠拢，可以减小系统误差。

随机事件与随机误差有区别，随机事件不具备正态分布规律。 随机事件——彩票摇奖 大多数无法计算规律

随机误差的正态分布示意图 次数统计 直方图 在同一条件下，对同一个工件的直径进行测量，相对于基准量之差的多次测量结果统计符合正态分布（高斯分布）

随机误差与系统误差的关系 （直径的多次测量统计） 次数统计 随机 测量值 随机测量值 多个测量值的算术平均值x与真值x0 之间的误差为系统误差

例：预先用一台“激光干涉测长仪”测量一部机床导轨的长度,得到导轨的两个标志位置之间的长度为2 例：预先用一台“激光干涉测长仪”测量一部机床导轨的长度,得到导轨的两个标志位置之间的长度为2.2004m。再用第十一章介绍的磁栅传感器重复6次测量上述两个标志位置之间的长度，得到6个不同的测量值，如下表所示。求：系统误差及处理。 n xi / m 1 2.2000 2 2.2001 3 2.2002 4 2.1999 5 2.1998 6 2.9000 解：6个测量值中，2.90m明显是“坏值”，给予剔除，将剩下5个带有随机误差的测量值求算术平均值x=2.2000m 。 可以认为激光干涉测长仪的测量值为相对真值A0=2.204m。 则算术平均值与真值x0之间的误差为系统误差,为负的0.004m。因此必须在上述校验后,将该磁栅的基准向左调整,然后再次用激光校验,直到系统误差为最小值为止。

随机误差的正态分布规律分析 1）集中性： 大量的测量值集中分布于算术平均值附近（并非真值）。 2）对称性：测量值大致对称地分布于两侧。 ３）有界性：在一定的条件下，测量值有一定的分布范围，超过这个范围的可能性非常小，即出现绝对误差很大的情况很少 。含有粗大误差的测量值应予以剔除。

例：用核辐射式测厚仪对钢板的厚度进行6次等精度测量，所得数据如下表（单位为mm），请指出哪几个数值为粗大误差？在剔除粗大误差后，用算术平均值公式计算钢板厚度。 n xi / mm 1 8.04 2 8.02 3 7.96 4 5.99 5 9.33 6 7.98

粗大误差的剔除举例 5.99以及9.33为粗大误差（坏值），予以剔除，剩余4个测量值计算算术平均值： n xi / mm 1 8.04 2 8.02 3 7.96 4 5.99 5 9.33 6 7.98 5.99以及9.33为粗大误差（坏值），予以剔除，剩余4个测量值计算算术平均值： 测量结果的数据处理

动态误差 当被测量随时间迅速变化时，系统的输出量在时间上不能与被测量的变化精确吻合，这种误差称为动态误差。 由心电图仪放大器带宽不够引起的动态误差

对用于动态测量、带有机械结构的仪表而言，应尽量减小机械惯性，提高机械结构的谐振频率，才能尽可能真实地反映被测量的迅速变化。 一般静态测量要求仪器的带宽0～10Hz左右，而动态测量要求带宽上限较高（例如要求大于10kHz）。这就要求采用高速运算放大器，并尽量减小电路的时间常数。

测量系统静态误差的合成 （1）绝对值合成法 （2）方均根合成法

例：用核辐射钢板测厚仪测钢板厚度，已知PIN型γ射线二极管的测量误差为±5%，微电流放大器误差为±2%，指针表误差为±1%，求测量的合成误差γm。解： 结论：测量系统中的γ射线二极管的测量误差最大，应提高其准确度等级。

不确定度 测量结果仅仅是被测量的一个估计值，因此测量结果必然带有不确定性。不确定性越大，测量结果的质量就越差。“测量不确定度”的含义： 由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度，也表明该结果的可信赖的程度。它是测量结果质量的指标。不确定度愈小，所述结果与被测量的真值愈接近高。 在报告测量结果时，必须给出相应的不确定度，便于使用该测量结果的人评定其可靠性。测量不确定度包含A类评定和B类评定。在完成不确定度的分析和评定后，应给出不确定度报告。

第三节 传感器及基本特性 传感器的定义（参考GB7665-87）： 第三节 传感器及基本特性 传感器的定义（参考GB7665-87）： 传感器是一种检测装置，能感受规定的被测量，并能将检测感受到的信息，按一定规律变换成为电信号或其他所需形式的信息输出，以满足信息的传输、处理、存储、显示、记录和控制等要求，它是实现自动检测和自动控制的首要环节，有时也可以称为换能器、检测器、探头等。 回目录

传感器的组成 大部分传感器由敏感元件、传感元件及测量转换电路三部分组成。 例：测量压力的电位器式压力传感器 1－弹簧管（敏感元件） 2－电位器（传感元件、测量转换电路） 3－电刷 4－传动机构（齿轮-齿条）

电位器式压力传感器原理框图 当被测压力p增大时，弹簧管撑直，通过齿条带动齿轮转动，从而带动电位器的电刷产生角位移。电位器电阻的变化量反映了被测压力p值的变化。在这个传感器中，弹簧管为敏感元件，它将压力转换成角位移α。电位器为传感元件，它将角位移转换为电参量——电阻的变化ΔR。当电位器的两端加上电源后，电位器就组成分压比电路，它的输出量是与压力成一定关系的电压Uo。在这个例子中，电位器又属于分压比式测量转换电路。

弹性敏感元件（弹簧管） 敏感元件在传感器中直接感受被测量，并转换成与被测量有确定关系、更易于转换的非电量。

弹性敏感元件（弹簧管） 在下图中，弹簧管将压力转换为角位移α α

弹簧管放大图 当被测压力p增大时，弹簧管撑直，通过齿条带动齿轮转动，从而带动电位器的电刷产生角位移。

其他各种弹性敏感元件 上图中的各种弹性元件也能将压力转换为角位移或直线位移。

机械式压力传感器的外形及内部结构

被测量通过敏感元件转换后，再经传感元件转换成电参量 在右图中， 电位器为传感元件，它将角位移转换为电参量——电阻的变化（ΔR）

360度圆盘形电位器传感器(测量角位移) 右图所示的360度圆盘形电位器的中间焊片为滑动片，右边焊片接地，左边焊片接电源。 电源端 滑动臂

测量转换电路的作用是将传感元件输出的电参量转换成易于处理的电压、电流或频率量。 在左图中，当电位器的两端加上电源后，电位器就组成分压比电路，它的输出量是与压力成一定关系的电压Uo 。

分压比电路的计算公式如下： 对圆盘式电位器来说，Uo与滑动臂的旋转角度成正比： 直滑电位器式传感器的输出电压Uo与滑动触点C的位移量x成正比：

二、传感器分类 传感器的种类繁多，分类不尽相同。常用的分类方法有： １）按被测量分类：可分为位移、力、力矩、转速、振动、加速度、温度、压力、流量、流速等传感器。 2）按测量原理分类：可分为电阻、电容、电感、光栅、热电耦、超声波、激光、红外、光导纤维等传感器。 3）按传感器输出信号的性质分类：可分为输出为开关量（“1”和“0”或“开”和“关”）的开关型传感器；输出为模拟量的模拟型传感器，输出为脉冲或代码的数字型传感器。

三、传感器基本特性 传感器的特性一般指输入、输出特性， 包括：灵敏度、分辨力、分辨率、线性度、迟滞、稳定度、电磁兼容性、可靠性等。

灵敏度 ： 灵敏度是指传感器在稳态下输出变化值与输入变化值之比，用K 来表示： 灵敏度太高，检测系统的稳定性将降低。

作图法求灵敏度过程 传感器 特性曲线 切点 y Δy x1 x xmax Δx

传感器特性曲线的灵敏度分析 对线性传感器而言，灵敏度为一常数；对非线性传感器而言，灵敏度随输入量的变化而变化。 从输出曲线看，曲线越陡，灵敏度越高。可以通过作该曲线某一点的切线的方法（作图法）求得曲线上任一点的灵敏度 由切线的斜率可以看出，上一页图中x2点的灵敏度比x1点高。

分辨力：指传感器能检出被测信号的最小变化量。当被测量的变化小于分辨力时，传感器对输入量的变化无任何反应。对数字仪表而言，如果没有其他附加说明，可以认为该表的最后一位所表示的数值就是它的分辨力。一般地说，分辨力的数值小于仪表的最大绝对误差。右表的分辨力为多少？

分辨率：将分辨力除以仪表的满量程就是仪表的分辨率，分辨率常以百分比或几分之一表示，是量纲为1的数。 右表的满量程为99.9A，问：该表的分辨力、分辨率为多少？ 解：分辨力=0.1A 分辨率=0.1A÷99.9≈0.1%

线性度： 线性度又称非线性误差，是指传感器实际特性曲线与拟合直线（有时也称理论直线）之间的最大偏差与传感器量程范围内的输出之百分比。将传感器输出起始点与满量程点连接起来的直线作为拟合直线，这条直线称为端基理论直线，按上述方法得出的线性度称为端基线性度，非线性误差越小越好 。线性度的计算公式如下：

线性误差（非线性误差） 非线性误差可以直接通过对多点误差的大小来描述。例如：0%时误差为0%，25%时误差为+0.5%，50%时误差为0%，75%时，误差为 -0.5%，100%时误差为0%。

y＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋···＋ann 理想的线性特性 人们总是希望传感器的输入与输出的关系成正比，即线性关系。这样可使显示仪表的刻度均匀，在整个测量范围内具有相同的灵敏度。但大多数传感器的输入输出特性总是具有不同程度的非线性，可以用下列多项式代数方程表示 y＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋···＋ann 上式中，y为输出量，x为输入量，a0为零点输出，a1为理论灵敏度，a2、a3、···、an为非线性项系数。各项系数决定了传感器的线性度的大小。如果a2＝a3＝···＝an＝0，则该系统为线性系统，线性误差等于零。理想的传感器输入与输出的关系特性为y＝a0＋a1x。特性曲线上任何点的斜率都相等，灵敏度K=a1。

作图法求端基线性度的演示 首先作一根理论直线——将仪表输出起始点与满量程点连接起来的直线。

y=f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋···＋ann ， 函数拟合（曲线拟合） 大多数传感器的输出多为非线性，用一次函数拟合的结果将产生较大的误差。目前多采用计算机进行曲线拟合。例如，可用MATLAB求得近似函数关系式 y=f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋···＋ann ， 使其通过或近似通过传感器所给出的有限序列的资料点（x i，y i），通过最小二乘法求取到各项系数，得到传感器的拟合目标函数和近似数学模型。

例：热敏电阻电阻值的变化规律拟合 已知热敏电阻数据： 温度t/℃ 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R/ 765 826 873 942 1032 电阻R随温度t的变化规律必须用MATLAB进行曲线拟合

例：一组测量数据的曲线拟合 已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n，利用MATLAB，可以寻求到一个函数（曲线）y=f(x), 使 y=f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 + x y i (xi,yi) y=f(x) i 为点（xi,yi)与曲线 y=f(x)的距离

迟滞误差 迟滞误差又称为回差或变差，是指传感器正向特性和反向特性的不一致程度： 式中 ΔHmax——最大迟滞偏差； ymax-ymin——量程范围 迟滞会引起重复性和 分辨力变差，测量盲区。 产生迟滞现象的原因： 传感器敏感元件材料的 弹性滞后、运动部件摩擦、 传动机构的间隙、紧固件松动等。

稳定性 稳定度：仪表在所有条件都恒定不变的情况下，在规定的时间内能维持其示值不变的能力。以仪表的示值变化量和时间的长短之比来表示。 例如，某仪表输出电压值在8h内的最大变化量为1.2mV，则表示该仪表的稳定性为1.2mV/(8h)。 环境影响量：指由外界环境变化而引起的示值变化量： 1.零漂：用于描述仪表（已调零）在受外界环境影响后，输出不再等于零，而有一定的漂移。 2.温度稳定性：又称为温度漂移，指传感器在外界温度下输出量发生的变化。用温度每变化1℃引起的绝对误差或相对误差表示，又称为温度误差系数。

仪表的零漂 Iout Uin 1mV K2 ＝ K1 12mA 10mA K2 斜率不变 K1＝ 10mA/mV 1.5mA 1mV 零漂的校正方法： 测量之前，将仪表的输入端短路，调节仪表的“调零电位器”，使仪表的输出为零。

Iout 仪表的灵敏度漂移 Uin 1mV 12mA 10mA 环境温度升高，斜率变大 零输入时，调节调零电位器，使输出为零 K2＝12mA/mV K1＝10mA/mV 1mV Uin 调零之后，再次将1mV（满量程）电压接到仪表的输入端,调节仪表的“调满度电位器”，使仪表的输出恢复到10mA。静候8小时，发现输出电流又增大了。即：灵敏度又漂移了(假设零位不变)。说明仅是调节满度电位器是不够的，必须采取补偿措施（主要是温度补偿）。

可靠性 期 （浴盆曲线） 早期失效期 （偶然失效期） 反映传感器和检测系统在规定的条件下，在规定的时间内是否耐用的一种综合性的质量指标。包括： 故障平均间隔时间、平均修复时间、故障率或失效率等。 期 （浴盆曲线） 早期失效期 （偶然失效期）

初期失效期 开始阶段故障率很高，失效的可能性很大，但随着使用时间的增加而迅速降低。故障原因主要是设计或制造上有缺陷，所以应尽量在使用前期予以暴露，并消除之。有时为了加速渡过这一危险期，在检测系统通电的情况下，将之放置于高温环境→低温环境→高温环境……反复循环，称为“老化”试验。 a）小型盐雾试验箱 b）高低温循环老化室

衰老失效期 衰老失效期的故障率随时间的增加而迅速增大，经常损坏和维修。原因是元器件老化，随时都有可能损坏。因此有的使用部门规定系统超过使用寿命时，即使还未发生故障也应及时退役，以免影响整个系统的可靠性，造成更大的损失。 盐雾试验柜 测量数据处理 结束

测量结果的数据处理 回粗大误差 对测量结果的数据处理主要有两点要求：一是得到最接近被测量的近似值；二是估计出测量结果的误差，即给出测量结果的近似值范围。 在存在随机误差的测量中，如果保持测量条件不变，对同一被测量对象进行多次重复测量，可以得到一系列包含了随机误差的读数：x1、x2、x3，…，xn ，它们称为测量列。以测得的数据xi为横坐标，出现的次数n （或概率密度f）为纵坐标，可以得到直方图。如果测量次数n时，则无限多的直方图的顶部中点的连线就形成一条光滑的连续曲线，称为随机误差的概率密度分布曲线，也称高斯误差分布曲线或正态分布曲线。对正态分布曲线进行分析，可以发现有如下规律：

1.正态分布的规律 （1）集中性：大量的测量值集中分布于算术平均值附近： 算术平均值不再含有随机误差分量，但并不等于真值，它与真值x0之差可以认为就是系统误差。 （2）对称性：xi大致对称地分布于算术平均值两侧。我们将xi与算术平均值之差称为剩余误差，也称残差Vi： 残差Vi基本上相互抵消： （３）有界性：在一定的条件下，x i有一定的分布范围，超过这个范围的可能性非常小，即出现绝对误差很大的情况很少。

在工程测量中，一般用下式表示存在随机误差时的测量结果： Δx表示测量值的误差范围。根据 统计学原理，常采用3 原则： 称为算术平均值的方均根误差， 过去也称为算术平均值的标准差： 当测量次数n愈大时，测得的 就越小。即测量的准确度就愈高。但是增加测量次数必须付出较多的时间，科学家贝塞尔经大量的实验证明，当n >10时， 的减小就非常缓慢，因此在一般情况下，n略大于10即可。

由于测量过程中还可能存在粗大误差，必须予以剔除。在误差理论中，还规定了一个评定单次测量结果离散性大小的标准，称为方均根误差σ（请注意它与算术平均值的方均根误差的区别）： 当测量次数n >10、且测量列xi符合正态分布时，残差Vi超过3σ的可能性只有0.3%，它的置信度为99.7%。 因此，可以用方均根误差来检查测量结果中是否存在粗大误差，通常认为残差超过3σ（极限误差）的测量值称为“坏值”，应予以剔除。 同理，残差Vi超过1σ的可能性约为 68% 。超过2σ的可能性约为 95% ，以上称为 “68-95-99.7法则”。 如果样本非常大,6σ的置信度非常高,达99.99966%。

算术平均值的方均根误差 与与方均根误差σ的关系： 算术平均值的方均根误差 与与方均根误差σ的关系： 因此测量结果x也可用下式表示： 方均根误差σ也用于确定随机 误差正态分布曲线的形状和离散度。σ值越小，正态分布曲线就越陡，意味着测量值较集中，测量准确度较高；σ值越大，曲线越平坦，离散程度就越大，误差范围也就越大。

2．测量结果的数据整理步骤 为了得到尽量准确的测量结果，对一项测量任务进行多次测量之后，需按下列规程处理： 1）将一系列等准确度测量的读数xi(i=1,2,…,n） 按先后顺序列成表格（在测量时应尽可能消除系统误差）； 2）计算测量列xi的算术平均值； 3）在每个测量读数旁，相应地列出残差Vi 4）检查条件 是否满足。 若不满足，说明计算有误，需重新计算； 5）在每个残差旁列出Vi2，然后求出方均根误差σ；

测量结果的数据整理步骤（续） 6）检查是否有Vi>3σ的读数。若有，应舍去此读数xi ，然后从第2条开始重新计算； 8）写出测量结果 并注明置信概率（99.7%）。

例：用核辐射式测厚仪对钢板的厚度进行16次等准确度测量，所得16个数据如下（单位为mm）：39. 44、39. 27、39. 94、39 解 1）按照测量读数的顺序列表。 2）计算测量列xi的算术平均值： =(633.97 /16)mm=39.623mm。 3）在测量值xi右边写出残差：Vi ，并验证 4）在每个残差的右边列出计算中间过程值Vi 2，并计算出：

钢板厚度测量结果的数据列表 . n xi /mm Vi /mm Vi2 /mm2 1 39.44 -0.183 0.033 2 39.27 -0.353 0.125 3 39.94 0.317 0.100 4 5 38.91 -0.713 0.508 6 39.69 0.067 0.004 7 39.48 -0.143 0.020 8 40.55 0.927 0.859 9 39.78 0.157 0.025 10 39.68 0.057 0.003 11 39.35 -0.273 0.075 12 39.71 0.087 0.008 13 39.46 -0.163 0.027 14 40.12 0.497 0.247 15 39.76 0.137 0.019 16 39.39 -0.233 0.054 .

钢板厚度计算处理(续) 5）计算出方均根误差： 6）计算出极限误差3σ =1.134mm。经检查，未发现Vi >3σ，故16个测量值中均无坏值。 7）计算出算术平均值的标准差： 8）写出测量钢板厚度的结果： 在上述计算过程中，由于测量列xi小数点后只有两位，因此各个中间值需在小数点后保留3位，最后结果保留小数点后两位。

结论：

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？？？ 回随机误差 2 2018/12/9

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