第七章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 第七章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 7.1 市场经济中的蛛网模型 供大于求 价格下降 减少产量 现 象 数量与价格在振荡 供不应求 增加产量 价格上涨 描述商品数量与价格的变化规律 问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 蛛 网 模 型 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 消费者的需求关系 需求函数 减函数 生产者的供应关系 供应函数 增函数 f x y g f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 x0 y0 P0 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

  蛛 网 模 型 设x1偏离x0 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 曲线斜率 x y f g y0 x0 P0 x y y0 x0 f g y0 x0 P0 x y y0 x0 P0 f g P3 曲线斜率 P4 y2 P3 P4 x3 y3 P1 P2 x2 P2 y1 P1 x1

方 程 模 型 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方程模型与蛛网模型的一致

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 结果解释 结果解释 考察 ,  的含义 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格  ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度  ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量  ~ 消费者对需求的敏感程度 小, 有利于经济稳定  ~ 生产者对价格的敏感程度  小, 有利于经济稳定 经济稳定

结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使  尽量小，如 =0 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 x y y0 g f 1. 使  尽量小，如 =0 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 x y x0 g f 2. 使  尽量小，如  =0 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变

模型的推广 生产者管理水平提高 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件

模型的推广 方程通解 (c1, c2由初始条件确定) 1, 2~特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k, xkx0的条件: 1, 2~特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k, xkx0的条件: 平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了

7.2 减肥计划——节食与运动 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~正常； BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. 背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少

模型假设 1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。

减肥计划 某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。

基本模型 w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量 ~ 代谢消耗系数(因人而异) 1）不运动情况的两阶段减肥计划 确定某甲的代谢消耗系数 每周吸收20000千卡 w=100千克不变 即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡

1）不运动情况的两阶段减肥计划 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡 第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克 吸收热量为

1）不运动情况的两阶段减肥计划 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 基本模型

第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 减少至75千克。

2）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量  (千卡): 跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 基本模型 t~每周运动时间(小时) 运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。

3）达到目标体重75千克后维持不变的方案 每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变 不运动 运动(内容同前)

7.3 差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型) x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) 7.3 差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型) x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关) yk ~某种群第k代的数量(人口) 离散形式 若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N y*=N 是平衡点 讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 变量代换 一阶(非线性)差分方程 (2)的平衡点 (1)的平衡点y*=N 讨论 x* 的稳定性

补充知识 一阶非线性差分方程 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 (1)的近似线性方程 稳定性判断

的平衡点及其稳定性 另一平衡点为 x=0 平衡点 稳定性 不稳定 x* 稳定 x* 不稳定 1

的平衡点及其稳定性 1/2 1 1

数值计算结果 初值 x0=0.2 b <3, x b=3.3, x两个极限点 b=3.45, x4个极限点 0.4118 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91  0.3796 3 0.3366 2 0.2720 1 0.2000 b=1.7 k 0.6154  0.6049 0.6317 0.4160 0.2000 b=2.6 0.8236 0.4794  0.4820 0.8224 0.5280 0.2000 b=3.3 0.8469 0.4327 0.8530 0.4474  0.4322 0.8532 0.5520 0.2000 b=3.45 0.8127 0.3548 0.8874 0.5060 0.8278 0.3703 0.8817 0.5405  0.3987 0.8711 0.5680 0.2000 b=3.55 数值计算结果 初值 x0=0.2 b <3, x b=3.3, x两个极限点 b=3.45, x4个极限点 b=3.55, x8个极限点

倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论 单周期不收敛 2倍周期收敛 (*)的平衡点 x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性

倍周期收敛 的稳定性 x1* x2* x* b=3.4 y=f(2)(x) y=x x0

倍周期收敛的进一步讨论 x1*, x2* (及x*)不稳定 出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 平衡点及其稳定性需研究 时有4个稳定平衡点 4倍周期收敛 2n倍周期收敛, n=1,2,… bn~ 2n倍周期收敛的上界 b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … n, bn3.57 b>3.57, 不存在任何收敛子序列 混沌现象

的收敛、分岔及混沌现象 b

7.4 按年龄分组的种群增长 假设与建模 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 以雌性个体数量为对象 7.4 按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 以雌性个体数量为对象 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律 假设与建模 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di

假设 与 建模 xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量 (设至少1个bi>0) ~按年龄组的分布向量 预测任意时段种群按年龄组的分布 ~Leslie矩阵(L矩阵) ~按年龄组的分布向量 预测任意时段种群按年龄组的分布

稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特征根1， 特征向量 若L矩阵存在bi, bi+1>0, 则 , c是由bi, si, x(0)决定的常数 且 解释 L对角化 P的第1列是x*

稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布 ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。 ~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率 与基本模型 比较 3）=1时 ~ 各年龄组种群数量不变

稳态分析 3）=1时 ~ 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1 ~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比 （与si 的定义 比较）