SimulationX控制系统建模 目 录 1. SimulationX中的控制系统 控制系统概述 SimulationX 中控制系统的建模 目 录 1. SimulationX中的控制系统 控制系统概述 SimulationX 中控制系统的建模 2. 连续时间控制系统 时域与频域线性系统描述 线性系统的稳定性 控制系统分析及设计 示例 3. 离散时间控制系统 时域和频域的离散线性系统描述、稳定性 A/D 和D/A 转换器 离散系统在连续时变系统的控制问题中的应用

1. SimulationX中的控制系统

理论上输出应该保持为规定值或遵循一个规定的时间函数。 控制系统—目标 为什么控制: 对规定行为强加一个设备或装置 如何控制: 通过对一些可调整数值的操作 例如 - 空间的温度（加热器中燃料的总量） - 电动机的速度（转子的电流） - 容器的压力/水平（入口阀的位置） 输出信号 有动力 输入—输出关系的 设备或装置 控制信号 理论上输出应该保持为规定值或遵循一个规定的时间函数。 控制器提供相应的控制信号。

开环控制 控制器 装置或设备 要想得到预期的行为，开环控制是一种简单的方法, 但是: 与“在控制器中”相反， I/O口行为的设定必须进行模拟 控制信号 预设信号 控制器 装置或设备 输出信号 干扰 要想得到预期的行为，开环控制是一种简单的方法, 但是: 与“在控制器中”相反， I/O口行为的设定必须进行模拟 干扰量的影响不可知（随时间变动） - 开放系统引起周围环境温度, 热量的交换 - 电动机负荷的变化 - 容器出口流动 不能考虑设备的动态变化 - 举例来说, 与温度变化有关的量  开环控制只能应用于一些简单的案例.

+ 闭环控制 - 程序或设备 控制器 测量值 有未知或变动 I/O口行为的设备 抗干扰能力强 控制结构更简单 控制信号 输出信号 控制器 预设信号 干扰 误差信号 测量值 - + 有未知或变动 I/O口行为的设备 抗干扰能力强 控制结构更简单 但是: 由于反馈结构引起系统附加的动态变化 - 振动及瞬态现象 - 不稳定性

SimulationX中控制系统的建模 被控设备是一种物理装置  使用 SimulationX中的物理库建模 控制理论使用信号模型

SimulationX 中的信号处理库 通用信号: 加法器, f(x), f(x,y) 线性信号: 积分,微分, 比例.增益, PI, PID, PD, PT1, PT2, PDT1, PIDT1, DT1, 约束, 迟滞, G(s) 信号源: 信号发生器, 脉冲发生器, 1D, 2D, 3D, 4D 特征曲线, 曲线设置, 迟滞 非线性信号: 死区, 预载, 限制,迟滞, 两点及三点函数, 范围,增量 特殊信号: 信号分析, y 在x上的积分, 重积分, dy/dx, 有限的 PT2, 事件发生器, 斜坡信号发生器, S&H,单稳态触发器, 脉冲范围, 变址浮点运算, 计数器 离散时间信号量: 单位延迟, 传递函数, S&H, 离散积分及微分, 数据过滤器, AD/DA 转换器 开关: 单路径及相关路径,分配器,转换器，桥 联合仿真: 模拟器耦合

SimulationX中控制系统的设计及分析 信号谱 振幅及相位响应 特征频率, 特征向量,偏差 优化

2. 连续时间控制系统

SimulationX对动力学系统的描述提供了以下方法 连续时间动力学系统的描述方法 实际的物理系统为连续时间系统。 连续时间动力学系统用微分系统,有时用代数方程式进行描述。 对于线性系统，在频域内使用传递函数进行描述，为其特性分析及控制系统的设计提供了有力的方法。 系统物理模型  面向对象的模型 微分方程模型  基于方程式的模型 状态空间描述 基于信号系统的模型, (线性) 传递函数描述 基于信号系统的模型, (线性) SimulationX对动力学系统的描述提供了以下方法

实例: DC 伺服电机 物理模型

实例: DC 伺服电机 微分方程模型 电路: 电—机械连接: 机械系统: 微分方程系统:

信号模型 信号模型包括: 输入信号 x 输出信号 y 状态 z 涉及到的方程: 状态方程 ( f ) 输出方程 ( g ) 信号模型: 方程系统: !! 有时状态方程和输出方程是隐含的 !!

线性系统中状态空间的描述 在线性系统中，状态方程及输出方程转化为包含状态矢量空间矩阵A,B,C,D的线性矩阵方程 信号模型: 等式系统:

实例: DC 伺服电机 状态空间模型 // 状态空间矩阵 A:={{-R/L,-kU/L},{kT/J,0}}; B:={1/L,0}; // 状态方程 der(z) = A*z + B*x; // 输出方程 y = C*z + D*x;

通过拉氏变换，信号量可被转换成频域的描述 线性系统的频域描述 通过拉氏变换，信号量可被转换成频域的描述 时域 频域 乘以一个常量 乘以一个相同的常量 两个信号量叠加 两个转换量叠加 时间微分 S 时间积分 1/S 两个信号的卷积 两个转换量的乘积  频域的描述非常适合于线性系统

I/O 特性可在频域中明确表示 (消除 Z): 线性系统的频域陈述 时域 频域 I/O 特性可在频域中明确表示 (消除 Z): 传递函数

实例: DC 伺服电机 传递函数

线性系统的稳定性 时域 A的特征值决定系统稳定性. 实部: 共轭复数: 齐次方程组的解是基础解系的叠加。  特征值实部为负数的稳定系统 (λi<0).  稳定性是一种系统特性 (决定于 I/O 分配).  系统的特征值 通过 SimulationX进行计算.

为了系统的稳定性，极点必须位于复合平面的左半部分. 线性系统的稳定性 频域 时域: A的特征值决定系统稳定性.  A的特征值转化为频域中传递函数的极点. 为了系统的稳定性，极点必须位于复合平面的左半部分.

振幅与相位响应 频率为ω的谐波信号激励, 系统 G(s) 的响应： 信号具有相同频率ω 振幅 相位角 振幅响应 相位响应 频率响应轨迹 (Nyquist 图)

+ 频域中的线性控制系统 - 装置或设备 控制器 开环传递函数: 闭环传递函数: 基本设计目标: 1. G(s) 是稳定的. 控制信号 输出信号 控制器 预设信号 误差信号 - + 开环传递函数: 闭环传递函数: 基本设计目标: 1. G(s) 是稳定的. 2. 适当的输入频率范围内 G( jw) 1

线性控制系统的稳定性 闭环传递函数 右半平面一定不能含有极点。 G(s): 通常很复杂; 很难利用分析来发现极点的位置。 SimulationX 可用数值方法计算极点 (特征值)! 由于 G(s) 和GO(s)的关系 稳定性标准也可根据 GO(s)明确的表达。 在复平面中-1 是GO(s)的一个临界点。 1、对于 GO(s)=-1 ，G(s)有一个极点 2、振荡条件符合 GO( jω) = -1

当通过 ω = 0 到 ω  oo时，开环频率响应的根轨迹GO( jω)=GC( jω) GP( jω)在它的左部有点-1 。 线性控制系统的稳定性 尼奎斯特 标准 当通过 ω = 0 到 ω  oo时，开环频率响应的根轨迹GO( jω)=GC( jω) GP( jω)在它的左部有点-1 。 -1 不稳定 稳定 边界

线性控制系统的稳定性 振幅及相位差 -1 测量与临界点 -1的距离. -180

经验控制器选择(Ziegler Nichols 法则) 在许多案例中，通常没有关于设备的具体信息， 经验公式可适用于初步设计控制器参数。 这种规则适用于利用P控制器放大达到稳定极限的模型 。 实际上，这种设备必须能承受住稳定极限下的操作。 1. 使用 P 控制器和增益获得，直到它变为不稳态  Gcrit 2. 估计振动时间段  Tcrit P: G=0.5 Gcrit PI: G=0.45 Gcrit TI=0.85 Tcrit PID: G=0.6 Gcrit TI=0.5 Tcrit TD=0.12 Tcrit

使用 Ziegler Nichols 法则的位置控制 实例: DC 伺服电机 使用 Ziegler Nichols 法则的位置控制 练习: 为前面讨论的伺服电机选择并参数 化一个位置控制系统 (角度位置). 预设函数: 1. 估计稳定边界的阶梯函数. 2. 控制器目标角度的预设标准函数： 另外: 为什么 PI 控制器的解决方案总是不稳定的?

使用 Ziegler Nichols 法则的位置控制 实例: DC 伺服电机 使用 Ziegler Nichols 法则的位置控制 解决方案: Gcrit =100, Tcrit =0.44 s P: GP=0.5 Gcrit =50 PID: GP=0.6·Gcrit =60 TI=0.5·Tcrit =0.22 s TD=0.12·Tcrit =0.053 s P-控制器 PID-控制器

使用 Ziegler Nichols 法则的位置控制 实例: DC 伺服电机 使用 Ziegler Nichols 法则的位置控制 使用 I-控制的稳定性问题: 每个积分 产生 -90° 相位变化. U-ω 传递函数接近 -180°. 总的相位变化 < -180°，尼奎斯特准则不能适用 A D 部分(+90°) 需要补偿.

使用 Ziegler Nichols 法则的位置控制 范例: DC 伺服电机 使用 Ziegler Nichols 法则的位置控制 使用 I-控制的稳定性问题: -1 开环传递函数的根轨迹 G0虚部 G0实部

3. 离散时间控制系统

+ 数字控制系统 - 设备或装置 控制器 测量& A/D D/A 控制连续时间设备或装置 控制器的执行使用数字信号处理(离散时间采样系统) 输出信号 控制器 预设信号 干扰 测量& A/D - + D/A 数字控制 控制连续时间设备或装置 控制器的执行使用数字信号处理(离散时间采样系统) 数字系统与模拟系统接口处的A/D 和 D/A 转换

离散时间量的信号导向模型 信号模型包含: 输入信号 x 输出信号 y 状态量 z 涉及的方程: 状态方程 (f) 输出方程 (g) 信号模型: 系统的差分方程 : !! 有时状态方程和输出方程是隐含的 !!

线性系统的状态间隔描述 在线性系统中，状态方程及输出方程转化为包含状态矢量空间矩阵A,B,C,D的线性矩阵方程. 等式系统: 信号模型:

线性系统的频域描述 通过 z-转换，信号可转换成频域描述 :  频域描述非常适用于线性系统. 时域 频域 乘以一个常量 乘以同一个常量 两信号相加 两种转换量相加 时间变化 用z相乘 两信号卷积 两转换两相乘  频域描述非常适用于线性系统.

I/O行为 可在频域中精确的表达 (消除Z): 线性系统的频域描述 时域 频域 I/O行为 可在频域中精确的表达 (消除Z): 传递函数

线性系统的稳定性 时域 决定系统稳定性的特征值. 实部: 共轭复数: 零输入系统的解是基础解的叠加:  特征值中 abs(λi)<1的稳定系统.  稳定性是系统特性 (决定于 I/O 分配).

 A的特征值在频域中转化成为传递函数的极点. 为了系统的稳定，极点必须位于复平面的单位圆内. 线性系统的稳定性 频域 时域: 决定系统稳定性的特征值.  A的特征值在频域中转化成为传递函数的极点. 为了系统的稳定，极点必须位于复平面的单位圆内.

振幅及相位响应 频率为 Ω的谐波激励, 系统响应 G(z)为 相同频率的信号 Ω, 振幅 相位变化 振幅响应 相位响应 频率响应轨迹 (尼奎斯特图)

信号采样 (A/D) x(t) x(kT) x(k) t t k |X( jω)| |X(e jΩ)| |X( jω)| ω ω Ω 原始信号 采样信号 离散时间信号 |X( jω)| |X(e jΩ)| |X( jω)| ω ω Ω

信号采样 (A/D) |X( jω)| |X(e jΩ)| |X( jω)| ω ω Ω 混淆现象问题 采样法则: 采样频率至少是信号频率的两倍. |X( jω)| |X(e jΩ)| |X( jω)| ω ω Ω  子频谱的重叠  频谱及信号失真

信号采样 (A/D) 混淆现象问题 实例: 解决方案: 适当的采样频率 低通滤波器

采样信号修整 (D/A) x(k) x(kT) x(t) k t |X(e jΩ)| |X( jω)| |X( jω)| Ω ω ω 离散时间信号 阶梯信号 修整信号 |X(e jΩ)| |X( jω)| |X( jω)| 低通滤波 Ω ω ω

离散时间量控制器的设计 连续时间系统: 离散时间系统: 对控制器设计非常有效的理论 执行中困难 控制器设计复杂 有效的执行 解决方案: 1. 连续时间量的控制器设计 2. 离散时间量的控制器执行 方法: A) 用近似的离散时间量替代连续时间框. B)把连续时间映射到离散时间传递函数

离散时间量控制器的设计 离散时间量的近似值 连续时间量: 离散时间量:

实例: DC 伺服电机 离散时间控制器 练习: 1. 通过信号块的近似特性，将连续时间 PID 控制器转变为离散时间控制器 . 2. 选择一个使控制环稳定的采样频率. GP=60 TI=0.22 s TD=0.053 s

实例: DC 伺服电机 离散时间控制器

由于不必要的激励，在 TS=0.1 s时导致混淆现象，控制系统产生不稳定性 实例: DC 伺服电机 离散时间控制器的混淆现象 PID 输出光谱: 红色: 连续 绿色: TS=0.01 s 蓝色: TS=0.1 s 由于不必要的激励，在 TS=0.1 s时导致混淆现象，控制系统产生不稳定性

离散时间控制器的设计 极点和零点映射 叙述 复 s-平面 与复合 z-平面 的转换 如此一来， 频率响应G( jω) (沿假想轴) 与G(e jΩ) (沿单位圆) 就变得很相似.  同时还存在着具有相同目标的的更进一步的转换.

离散时间控制器的设计 极点和零点映射– 设计规则 1. 估计连续时间控制器中传递函数的极点和零点. 2.把连续时间量的极点与零点映射到离散时间系统中的极点与零点. 在 z0i=-1增加零点直到m>=n-1. 3. 选择一个增益 。在需观察的频率范围内G(e jΩ)与G( jω)相匹配 (参考零频率点或特征点)。

实例: DC 伺服电机 基于极点与零点映射的离散时间控制器 PID 控制器: GP=60, TI=0.22 s, TD=0.053 s 离散时间传递函数:

实例: DC 伺服电机 基于极点与零点映射的离散时间控制器 10 100 1000 10000 0.1 1 Amplitude Response Frequency [Hz] 振幅响应 PID 连续量. PID 离散量. -100 -50 50 100 150 200 0.1 1 10 Phase Response [°] Frequency [Hz] 相位响应 PID 连续量. PID 离散量.