天文中的三角學 活動內容版權屬香港青年協會擁有©2015 TheCarnil (16 Dezember 2006) European Space Agency & NASA (28 February 2006) 活動內容版權屬香港青年協會擁有©2015

熱身活動：這是甚麼物件？ Menchi (30 January 2005

Stan Zurek (16 July 2006)

Wouterhagens(6 February 2012)

Evan-Amos (25 August 2010)

為何需要量度? 量化比較 用作複製

單位 (Unit) 人類定義出來以形容或計算物理量的大小 (Magnitude) 增加精確度以避免混淆 E.g. 長度 (米) – Length (Meter or m) 重量 (公斤) – Mass (Kilogram or Kg)　

國際基本單位 溫度(開爾文, K) 電流(安培) 時間(秒) 物質量(摩爾) 長度(米) 質量(公斤) 光強度(坎德拉) Dono (16 February 2010)

長度 (length) 闊度 (Width) 高度 (Height) 深度 (Depth) 厚度 (Thickness) 距離 (Distance) 圓周 (Circumference) …

兩件木樁的總高度 __________ (m/cm/mm) 課室兩邊的距離 __________ (m/cm/mm) 活動1：量度長度挑戰 兩件木樁的總高度 __________ (m/cm/mm) 課室兩邊的距離 __________ (m/cm/mm) 課室樓底的高度 __________ (m/cm/mm) 膠杯口外圍的圓周 __________ (m/cm/mm) 乒乓球的直徑 __________ (m/cm/mm) 一張咭紙的厚度 __________ (m/cm/mm)

所有東西都可以直接量度得到嗎？

三角學對天文有甚麼作用？ L.m.k (30 September 2006) 計算得到天體的大小及距離

數學概念 日常應用 天文學的應用 量度巨型的物件高度 三角學 地球的直徑 角度、弧與 ↓ 圓周的關係 地月距離 二元一次方程式 地日距離 數學概念 日常應用 天文學的應用 地球的直徑 ↓ 地月距離 地日距離 月球大小 太陽大小 其他恆星的距離 三角學 角度、弧與 圓周的關係 二元一次方程式 相似三角形 量度巨型的物件高度 量度遠處物件的距離 量度遠處物件的大小

數學概念重温： 三角學 Magister Mathematicae (23 March 2004)

角度、圓形、方程式 School genius (13 October 2011) Jim.belk (14 November 2010) Feuerfluss (8 February 2013)

二元一次方程式的計算 4x-2y = 3 方程式 1 x+3y =16.5 方程式 2 由方程式 2 x =16.5 - 3y 方程式 3 把方程式 3代入方程式 1 4(16.5 - 3y) -2y = 3 66 - 12y -2y = 3 - 14y = - 63 y = 4.5 所以 x = 16.5 – 3 (4.5) 方程式 3 x = 3

三角學 斜邊 (Hypotenuse) 對邊 (Opposite) θ 鄰邊 (Adjacent)

斜邊 θ Sin θ = 對邊 斜邊 對邊 θ 斜邊 Cos θ = 鄰邊 斜邊 鄰邊 θ Tan θ = 對邊 鄰邊 對邊 鄰邊

x c z a y b a c z y b c x y a b z x α θ Sin θ = Sin α = Cos θ = Tan θ = a b Tan α = z x

間接的量度方法 - 三角學 θ 高度 Tan θ = 距離 e.g. 高度 距離 Tan 80o = 高度 25 m 高度 x 25 m = 141.78 m

分度器 / 量角器 (Protractor) 活動２：量角器製作 Cdang (26 September 2011) Voxymoron (28 July 2009) Radomil (29 June 2005) 活動２：量角器製作

活動２：量角器製作

活動3：量度巨型物件的高度 　利用量角器觀察大型物件的最頂部，並記錄其仰角 　再量度觀察者與物件的距離，最後計算其高度 θ θ

如何尋找地球的直徑？ Ultimate Roadgeek (7 December 2011)

圓周 (Circumference) 2πr 扇形(sector) 弧 (arc) 半徑 (radius) 尋找地球的直徑 提示：應用角度、弧與圓周的關係 30o 220o 圓周 (Circumference) 2πr 扇形(sector) 弧 (arc) 半徑 (radius) = 圓周 360o 弧 角度

地球的直徑 = 12,742 km θ r θ  = 圓周 360o 弧 角度   於正午(Local noon)，當陽光直照B地時， 計算出θ 地球的直徑 = 12,742 km θ A r θ B  = 圓周 360o 弧 角度  

如何利用量角器量度與遠處物件的距離？

Parallax 視差法 右眼 左眼

利用兩個量角器量度遠處物件的距離 y  θ  α m 

y θ α m m-x x Tan θ = y m-x Tan α = x y Tan α y = x Tan θ y = (m-x)

Tan α y = x Tan θ y = (m-x) Tan θ (m-x) Tan α x = θ = 60o α = 30o m = 50cm Tan 60o (50 - x) Tan 30o x = Tan 30o 50 - x = Tan 60o x Tan α y = x 0.33x 50 = + x Tan 30o y = 37.59 x = 50 0.33 37.59cm y = 21.7cm

活動4：量度遠處物件的距離

　兩位同學各自透過量角器觀察物件 　並記錄其角度 　再量度兩位觀察者之間的距離 　最後計算與物件的距離   

Irangilaneh(18 September 2013) 如何計算月球的距離？

地月距離 利用視差法可求得 需要兩地的仰角和直線距離(弦) 但我們只知道兩地的地面距離 弧(Surface arc) B A

弧與弦 (arc and chord) sin = x r = 圓周 360o 弧 θ 2 θ x 半徑 (r) θ 圓心

地月距離 = 384,399 km

如何計算太陽的距離？ NASA/SDO (19 August 2010)

地日距離 = 1.496 x 108 km 在半月時 d θ x cos θ = x d

相似三角形 Similar Triangle B C X Y Z 相似三角形 Similar Triangle ABC ~ XYZ x y a b c z A = X B = Y C = Z a x b y c z =

相似三角形 Similar Triangle Y ABC ~ XYZ β - 邊長的比率相同 B 6 cm 5.4 cm β _____ 4 cm 3.6 cm θ α θ α A C X Z 3 cm _____ 4.5 cm

月球直徑 =1,737 km 相似三角形 Similar triangle x a b y   = a x b y 

= 橙色物件 的真實大小 活動5：量度遠處物件的大小 把長間尺穿入比例尺中 8 mm 在比例尺中的Ｖ型狹縫觀察目標 直至其闊度剛好接觸到Ｖ型狹縫 8 mm = 眼睛與比例尺的距離 眼睛與目標距離 比例尺讀數 目標直徑 橙色物件 的真實大小 比例尺 （附助工具二）

8 mm = Ruler Reading 6 m 8 mm y  橙色物件 的真實大小

太陽大小 在日全蝕時 Dawulee(27 August 2008)

太陽大小 x a y b = a x b y X = 1.39 x 106 km = 1 AU (Astronomical Unit)

如何計算其他恆星的距離？

Parallax 視差法 右眼 左眼 http://blog.allanbishop.com/parallax-scrolling/

其他恆星的距離 Parallax （視差法） Parallax angle (θ) 1 AU d Tan θ = 1 AU d

比較遙遠的恆星 Parallax （視差法） 1 AU d = Tan θ 1 AU Parallax angle (α)

Photo References Cdang (26 September 2011), Rapporteur 180deg, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rapporteur_180deg.svg Dawulee (27 August 2008), Corona, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Corona.jpg Dono (16 February 2010), SI base unit, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:SI_base_unit.svg European Space Agency & NASA (28 February 2006), M101 hires STScI-PRC2006-10a, retrieved from 26, August, 2014, From Wekipedia http://en.wikipedia.org/wiki/File:M101_hires_STScI-PRC2006-10a.jpg Evan-Amos (25 August 2010), Measuring-tape, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Measuring-tape.jpg Feuerfluss (8 February 2013), Cuerda-flecha, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cuerda-flecha.svg Irangilaneh (18 September 2013), Moon-watching-night-100916-02, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Moon-watching-night-100916-02.jpg Jim.belk (14 November 2010), Linear Function Graph, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Linear_Function_Graph.svg L.m.k (30 September 2006), Solar system, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Solar_system.jpg Magister Mathematicae (23 March 2004), Triángulos semejantes Tales, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tri%C3%A1ngulos_semejantes_Tales.svg

Photo References Menchi (30 January 2005), Clinical thermometer, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Clinical_thermometer_38.7.JPG NASA/SDO (19 August 2010), The Sun by the Atmospheric Imaging Assembly of NASA's Solar Dynamics Observatory - 20100819, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Sun_by_the_Atmospheric_Imaging_Assembly_of_NASA%27s_Solar_Dynamics_Observatory_-_20100819.jpg Radomil (29 June 2005), Protractor katomierz, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Protractor_katomierz.jpg School genius (13 October 2011), Theorem 11, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Theorem_11.svg Stan Zurek (16 July 2006), Waga elektroniczna, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Waga_elektroniczna.jpg TheCarnil (16 Dezember 2006), Winkelfunktionen Einheitskreis, retrieved from 26, August, 2014, From Wikipedia http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Winkelfunktionen_Einheitskreis.svg Ultimate Roadgeek (7 December 2011), The Blue Marble, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Blue_Marble.jpg Voxymoron (28 July 2009), Medizinischer Goniometer, retrieved from 26, August, 2014, From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Medizinischer_Goniometer.jpg Wouterhagens(6 February 2012), stop watch, retrieved from 26, August, 2014,From Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stopwatch_A.jpg