第四节 函数展开成幂级数 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 第十二章 两类问题: 在收敛域内 求 和 和函数 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式 若函数 则在 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 : 其中 ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 .
若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: 证明: 令
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 .
二、函数展开成幂级数 直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 骤如下 : 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为 0.
例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 故得级数 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 ( 在0与x 之间) 故
例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足
对上式两边求导可推出:
例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 则 推导 运行时, 点击按钮“推导”, 可显示方程的推导过程,并自动返回. 推导
由此得 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
对应 的二项展开式分别为
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成 , 得
例5. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 域为 利用此题可得
展成 的幂级数. 例6. 将 解:
展成 x－1 的幂级数. 例7. 将 解:
内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式
当 m = –1 时
思考与练习 1. 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 提示: 后者必需证明 前者无此要求. 2. 如何求 的幂级数 ? 提示:
作业 P283 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第五节
备用题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数 解: x 1 时, 此级数条件收敛, 因此
2. 将 在x = 0处展为幂级数. 解: 因此