第一节 大数定律 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入 实例 频率的稳定性 随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数. 启示:从实践 中人们发现 大量测量值 实例 频率的稳定性 随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数. 单击图形播放/暂停 ESC键退出 启示:从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 值有稳定性.
二、基本定理 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 契比雪夫
二、基本定理 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 表达式的意义
证明 由契比雪夫不等式可得 并注意到概率不能大于1, 则
关于定理一的说明: （这个接近是概率意义下的接近） 即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数.
定理一的另一种叙述:
依概率收敛序列的性质: 证明
[证毕]
定理二（伯努利大数定理） 伯努利 证明 引入随机变量
显然 根据定理一有
关于伯努利定理的说明: 故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.
定理三（辛钦定理） 辛钦资料 关于辛钦定理的说明: (1) 与定理一相比, 不要求方差存在; (2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.
三、典型例题 例1 解 独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？
说明每一个随机变量都有数学期望, 检验是否具有有限方差？ 说明离散型随机变量有有限方差, 故满足契比雪夫定理的条件.
例2 解 由辛钦定理知
四、小结 契比雪夫定理的特殊情况 伯努利大数定理 三个大数定理 辛钦定理 频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.