第 9 章 估　計

第一節 點估計 點估計的定義 點估計的定義為： 詳細解釋上述的定義為：從欲估計的母體中隨機抽取樣本數為n 的一組樣本，應用樣本統計量（如 ） 第一節　點估計 點估計的定義 點估計的定義為： 詳細解釋上述的定義為：從欲估計的母體中隨機抽取樣本數為n 的一組樣本，應用樣本統計量（如　　） 計算獲得樣本統計量值（如平均數　），以此作為母體參數(μ) 的估計值。

第一節 點估計 點估計包含兩個要點： (1)是為隨機抽樣。 (2)透過樣本統計量（即統計函數公式）獲得樣本統計量值。 第一節　點估計 點估計包含兩個要點： (1)是為隨機抽樣。 (2)透過樣本統計量（即統計函數公式）獲得樣本統計量值。 樣本統計量，係指統計函數公式，由於它被用於估計的 用途，稱為估計量(estimator)，又稱點估計量。把樣本資 料代入估計量而計算得到的樣本估計量值，稱為估計值 (estimate)，又稱點估計值。而估計值就是用來估計母體 參數（即母數）的數值。

第一節 點估計 良好點估計量的條件 判斷點估計量的條件有四種： (1)不偏性(unbiasedness)。 第一節　點估計 良好點估計量的條件 判斷點估計量的條件有四種： (1)不偏性(unbiasedness)。 (2)有效性(efficiency)。 (3)一致性(consistency)。 (4)充分性(sufficiency)。

第一節 點估計 不偏性 判斷點估計量具有不偏性的條件如下： 例如： (1)E( )= μ， 是母數μ的不偏估計值。 第一節　點估計 不偏性 判斷點估計量具有不偏性的條件如下： 例如： (1)E( )= μ， 是母數μ的不偏估計值。 (2)E( )= p ， 是母數p的不偏估計值。

第一節 點估計 請參單元9-11， 和 兩者都適合作為樣本的變異數。但是 要作為母體的點估計值，則 優於 。 第一節　點估計 請參單元9-11， 和 兩者都適合作為樣本的變異數。但是 要作為母體的點估計值，則 優於 。 比較由 和 兩者計算出的數值，如果樣本個數n夠大 (n≥30)，和計算出的數值相差很微小，因此兩者可相互替用。 反之，n<30，一定要用 來做點估計值。 樣本數30是決定它是否夠大的臨界點，請讀者留意之。

第一節　點估計 有效性 若一母體參數 有兩種不偏估計量 和 ， 將許多組的隨機 樣本資料，分別帶入 和 兩種點估計量，計算出許多的 和 ，求兩者變異數，然後比較兩者大小，變異數值較小者， 較具備有效性，判斷點估計量具備有效性的條件如下：

第一節　點估計 一致性 樣本統計量 ，若樣本個數n增大，且逐漸接近於無限大時， 其點估計值會因而趨近於或等於母體參數 ，則稱此點估計 量具有一致性，判斷點估計量具備一致性的條件如下： 充分性 若計算樣本點估計量 時，能利用到樣本的資料訊息愈多， 則稱其充分性愈高。

第二節　區間估計 區間估計的形成概念 在單元8-9中曾介紹，隨機抽樣所產生的抽樣誤差（母數和統計量值 的差）是不可避免的，所以大部分情形，點估計量是不可能那麼巧 合地準確猜中參數的。 區間估計不像點估計，僅以一個點（即一個數值）來估計母體參數， 而是估計出一段能包含母體參數的上下界限之區間，並說明該區間 包含母體參數的可靠程度。 「可靠程度」是表示能正確猜中母體參數的機率大小。統計學家又 稱它為信賴度(confidence degree)、信賴水準(confidence level)、信賴係 數(confidence coefficient)或稱信心水準。

第二節 區間估計 區間估計的定義 (1)1-α，稱為信賴水準、信賴度、信心水準或信賴係數。 α 代表出現錯誤的機率。 第二節　區間估計 區間估計的定義 (1)1-α，稱為信賴水準、信賴度、信心水準或信賴係數。 α 代表出現錯誤的機率。 (2)L至U線段，稱為信賴區間(confidence interval)。信賴區間 是由樣本統計量及抽樣誤差所構成上下界限的區間。 (3)L稱為信賴下限(lower limit of confidence)。 (4)U稱為信賴上限(upper limit of confidence)。

第二節 區間估計 區間估計公式的推導過程，一般有下列三步驟： (1)選擇樣本統計量作為點估計量。 第二節　區間估計 區間估計公式的推導過程，一般有下列三步驟： (1)選擇樣本統計量作為點估計量。 (2)應用樣本統計量的抽樣分配原理，如Z常態分配，t分配 或 分配等。 (3)在1-α信賴水準下，求出信賴區間[L, U]。並使在界限內 可包含母體參數。 常見的母體參數有平均數、比率、變異數等多種，以下將 分別介紹這些參數的區間估計之形成及涵義。

第三節 母體平均數在大樣本下的區間估計 母體平均數μ的推導過程 (1)以樣本平均數 作為點估計量。 第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 母體平均數μ的推導過程 (1)以樣本平均數 作為點估計量。 (2)在n≥30的大樣本下，依據中央極限定理，不論母體的分配型態 為何，其樣本平均數將服從常態分配，亦即 ～N(μ, )，再經標準化後，可得標準常態分配：

第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 (3)在標準常態分配下，如圖所示，其中央1-α機率的Z分布為： 圖9-1 兩端相等之常態分配圖

第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 不等式兩側先乘以 ，再移項便獲得： 此式涵義：μ落在 至 區間的機率為1-α。

第三節 母體平均數在大樣本下的區間估計 μ的區間公式：在大樣本下、σx已知 第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 μ的區間公式：在大樣本下、σx已知 意即：在大樣本且σx已知的情況下，我們有(1-α)100%的信心推論母體 平均數μ會落在區間：

第三節 母體平均數在大樣本下的區間估計 μ的區間公式：在大樣本下、σx未知 第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 μ的區間公式：在大樣本下、σx未知 意即：在大樣本但σx未知的情況下，我們有(1-α)100%的信心 推論母體平均數μ會落在區間：

第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 結論

第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計

第四節 母體平均數在小樣本下的區間估計 單元9-35流程圖的①、②、③三條路徑，分析如下： (1)路徑①： 第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 單元9-35流程圖的①、②、③三條路徑，分析如下： (1)路徑①： 小樣本，母體為非常態分配下， 的抽樣分配無法推導。 (2)路徑②： 小樣本，母體為常態分配， 已知等條件下， 抽樣分 配為常態分配 。μ的(1-α)100%信賴區間為： (3)路徑③： 小樣本，母體為常態分配，未知（以取代）等條件下的 轉化結果為：

第四節 母體平均數在小樣本下的區間估計 應用t分配，推導μ的區間估計公式。 (1)以樣本統計量 作為點估計量。 第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 應用t分配，推導μ的區間估計公式。 (1)以樣本統計量 作為點估計量。 (2)在小樣本、母體常態分配及變異數 未知下，得到： (3)在t 分配下，其中央1-α機率的 t 分配為： 此式的涵義為：母體μ落在 至 區間的機率為1-α。

第四節 母體平均數在小樣本下的區間估計 μ的區間公式：在小樣本下、σx已知 第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 μ的區間公式：在小樣本下、σx已知 小樣本，母體為常態分配， σx已知等條件下，抽樣分配為常 態分配，並可轉化成標準常態分配，獲得μ的區間估計公式為：

第四節 母體平均數在小樣本下的區間估計 μ的區間公式：在小樣本下、σx未知 第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 μ的區間公式：在小樣本下、σx未知 意即：在小樣本且σX未知的情況下，我們有(1-α)100%的信心推 論母體平均數μ會落在區間：

第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 比較由Z分配和t分配所推導出母體μ的(1-α)100%信賴區間公式：

第五節　母體比率的區間估計 母體比率p的區間估計公式為： 意即：我們有(1-α)100%信心推論，母體比率p落在區間：

第六節　母體變異數的區間估計 母體變異數 的區間估計公式為： 意即：我們有(1-α)100%信心推論，母體變異數落在區間：

第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 例8 解 從某校隨機抽取10名學生，測其身高和體重，結果如下表。 試求該校學生身高平均的95%信賴區間。 解 1.SPSS操作步驟 STEP1 (1)開啟SPSS，進入「變數檢視」工作表（圖9-3）。然後 定義各「變數」的所有屬性。 表9-3　男女身高體重

第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 (2)性別變數：在「名稱」格輸入「sex」；在「標記」格輸入 性別；在「數值」格輸入「1」為「男生」，「2」為「女 生」。 身高變數：在「名稱」格輸入「height」；在「標記」格輸入 「身高」。 體重變數：在「名稱」格輸入「weight」；在「標記」格輸入 「體重」。 未經設定的屬性，則採用系統「內定值」。 (3)按左下角切換標籤（圖9-3），轉換叫出「資料檢視」工 作表（圖9-4）。

第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 圖9-3　界定變數屬性

第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP2：輸入資料 (1)依表9-3資料，分別輸入資料到「資料檢視」工作表的儲 存格內（圖9-4）。 (2)在第一縱欄「sex」格輸入「1」時，會出現「男生」， 輸入「2」時，會出現「女生」。

第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 圖9-4　輸入數值資料

第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP3：單一樣本T檢定 在功能表列（圖9-5），按「分析」→「比較平均數法」→ 「單一樣本T檢定」，開啟主對話盒：「單一樣本T檢定」 （圖9-6）。

第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 圖9-5　選擇分析法：單一樣本T檢定

第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP4： (2)在「檢定值」框內，輸入「0」。 (3)點選「選項」鈕（圖9-6），開啟次對話盒：「單一樣 本T檢定：選項」（圖9-7）。 圖9-6　主對話盒：單一樣本T檢定

第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP5： (2)點選「依分析排除觀察值」。 (3)按「繼續」鈕，回到主對話盒（圖9-6）。 圖9-7　次對話盒：選項

第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP6 (1)在主對話盒（圖9-6）核對完所有操作之後，按 「確定」 鈕（圖9-6）。 2.解釋報表 (1)由圖9-8獲得學生身高平均數為147.60，標準差為5.481。 (2)由圖9-9，得到全校學生身高（母體）平均數的95%信賴 區間為[143.68, 151.52]。

第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 圖9-8　單一樣本統計量 圖9-9　單一樣本檢定