管 理 会 计 学 第三章 本－量－利分析 孙茂竹 中国人民大学商学院

本－量－利分析的基本假设

本－量－利分析的基本假设是本－量－利分析的基础，但它实际上是在一定程度上为简化研究而提出来的，实践中往往很难完全满足这些基本假设。

相关范围假设 该假设包括“期间假设”和“业务量假设”两层意思。注意理解“期间假设”和“业务量假设” 各自的含义以及它们之间的相互依存关系。

期间假设与业务量假设之间是一种相互依存的关系。这种“依存性”表现为在一定期间内业 务量往往不变或者变化不大，而一定的业务量又是从属于特定的期间。换句话说，不同期间 的业务量往往发生了较大变化，特别是不同期间相距较大时更是如此，而当业务量发生很大 变化时，出于成本性态分析的需要，不同的期间也就由此划分了。

模型线性假设 （1） 固定成本不变假设； （2） 变动成本与业务量呈完全线性关系假设； （3）  销售收入与销售数量呈完全线性关系假设。

产销平衡假设 本—量—利分析的核心是分析收入与成本之间的对比关系 。但如第二章和前条假设中所指出的，产量这一业务量的变动无论是对固定成本，还是对变 动成本都可能产生影响，这种影响当然也会影响到收入与成本之间的对比关系。所以当站在 销售数量的角度进行本—量—利分析时，就必须假设产销关系平衡。

品种结构不变假设 本假设是指在一个多品种生产和销售的企业中，各种产品的销售收入在总收入中所占的比重 不会发生变化。由于多品种条件下各种产品的获利能力一般不尽相同，如企业产销的品种结 构发生较大变动，势必导致预计利润与实际利润之间出现较大的“非预计”性出入, 对于本－量－利分析的四个基本假设不但应牢固掌握其各自的含义，还应该深入理解其相互之间的联系。

本－量－利分析

盈亏临界点分析 盈亏临界点是指企业的经营规模（销售量）刚好使企业达到不盈不亏的状态。盈亏临界点分析就是根据成本、销售收入、利润等因素之间的函数关系，预测企业在怎样的情况下达到不盈不亏的状态。

盈亏临界点的基本计算模型、盈亏临界图以及相关因素变动对盈亏临界点的影响。 具体而言，盈亏临界点分析主要包括三个方面的内容： 盈亏临界点的基本计算模型、盈亏临界图以及相关因素变动对盈亏临界点的影响。

盈亏临界点的基本计算模型 要求掌握按实物量计算和按金额计算这两种计算盈亏临界点的方法以及盈亏临界点作业率的概念，理解安全边际的概念并且能够在给定条件下计算安全边际以及安全边际率。

通用模型： 利润 ＝销售量×（销售价格-单位变动成本） -固定成本 （作用在于举一反三）

按实物量计算盈亏临界点的基本模型： 盈亏临界点 销售量 ＝

按金额计算盈亏临界点的基本模型： 盈亏临界点 销售额 ＝

盈亏临界点作用率是指盈亏临界点的销售量占企业正常销售量的百分比，计算公式为： 盈亏临界点作用率＝ ×100％

安全边际是指正常销售量或者现有销售量超过盈亏临界点销售量的差额，它也可以用相对数来表示，即安全边际率： 安全边际率＝ ×100％

盈亏临界图 盈亏临界图就是将盈亏临界点分析反映在直角坐标系中。盈亏临界图依据数据的特征和目的的不同，可以有多种形式，对于传统式、贡献毛益式、利量式和单位式必须掌握其绘制方法以及各自的特点，并且能够运用图形进行分析。

固定成本 销售收入 成本总额 销售量 金额 盈亏临界点 亏损区间 盈利区间

相关因素变动对盈亏临界点的影响 要求在固定成本、单位变动成本、销售单价以及品种结构等因素发生单一变化时能够计算新的盈亏临界点，并理解上述各因素变动方向与盈亏临界点变动方向的关系：

固定成本的增加会导致盈亏临界点的升高，固定成本的减少会导致盈亏临界点的降低； 单位变动成本的增加会导致盈亏临界点的升高，单位变动成本的减少会导致盈亏临界点的降低；

销售价格的上升会导致盈亏临界点的降低，销售价格的下降会导致盈亏临界点的升高； 当产品品种结构发生变化时，盈亏临界点的变动方向取决于以各种产品的销售收入比例为权数的加权平均贡献毛益率的变化情况。当加权平均贡献毛益率提高时，盈亏临界点会相应降低，反之，当加权平均贡献毛益率降低时，盈亏临界点会相应升高。

实现目标利润分析 实现目标利润分析实际上是盈亏临界点分析的延伸和扩展，其基本模型为：

实现目标利润的销售量＝ 实现目标利润的销售额＝

实现税后目标利润的模型 由于 税后利润=利润×（1-所得税税率） 因此 利润=税后利润/ （1-所得税税率） 代入实现目标利润的计算公式，得：

实现目标利润的销售量＝ 实现目标利润的销售额＝

对相关因素变动对实现目标利润的影响，需掌握单因素变动对实现目标利润的影响以及多因素同时变动对实现目标利润的影响。

本－量－利关系中的敏感性分析 本－量－利关系中的敏感性分析主要研究两个方面的问题：一是有关因素发生多大变化时会使企业由盈利变为亏损；二是有关因素变化对利润变化的影响程度。因此需要掌握以下两方面的内容：

有关因素临界值的确定 临界值的定义 销售量临界值的含义是什么 有几种形式的临界值

销售量临界值＝ 销售单价临界值＝ 单位变动成本临界值＝销售单价－ 固定成本临界值＝ 销售量×（销售单价－单位变动成本）

有关因素敏感系数的确定 本—量— 利关系中的敏感性分析主要是研究两方面的问题：一是有关因素发生多大变化时会使企业由 盈利变为亏损；二是有关因素变化对利润变化的影响程度。 

敏感系数 =目标值变动百分比/因素值变动百分比

固定成本的敏感系数＝－ 单位变动成本的敏感系数＝－ 销售价格的敏感系数＝ 销售量的敏感系数＝

两点规律性的结论： 第一，关于敏感系数的符号。某一因素的敏感系数为负号，表明该因素的变动与利润的变 动为相向关系；为正号则表明是同向关系。 第二，关于敏感系数的大小。从上述公式中不难看出，由于各因素敏感系数的分母均为“ P”，所以其相互间的大小关系直接决定于其各自分子数值的大小，应具体分析。

我们以 单价的敏感分析为例，当与其他因素的敏感系数进行比较时会有以下结果： 1、由于V·SP＞V·(SP-VC)，所以单价的敏感系数肯定大于销售量的敏感系数； 2、通常情况下，V·SP既大于FC，又大于V·VC(V·SP大于FC与VVC之和企业才盈利) ，否则，企业可能连简单再生产都难以维持，现金支付也可能已经发生了严重困难，所以， 单价的敏感系数一般应该是最大的。也就是说涨价是企业提高盈利的最直接、最有效的手段 ，而价格下跌则是企业最大的威胁。

本－量－利分析的扩展

本－量－利分析的扩展模型所研究的是在不完全满足本－量－利分析的基本假设的复杂情况下如何运用本－量－利分析的基本原理和方法去解决诸如计算盈亏临界点和确定目标利润的问题。

不完全线性关系下 的本－量－利分析 本－量－利分析的一个基本假设就是模型线性假设，具体地说包括三个方面的内容：固定成本不变假设；变动成本与业务量呈完全线性关系假设；销售收入与销售数量呈完全线性关系假设。

而实践中情况却远非如此简单，以上三个假设都有可能无法实现，在不满足完全线性关系假设情况下的本－量－利分析变得复杂起来。为了便于分析理解，我们可以先考察一种比较简单的情况，即不完全线性关系下的本－量－利分析。

所谓不完全线性关系主要表现在以下几个方面： （1）固定成本并非在整个产量范围内都是恒定不变的，而是呈阶梯形的变化，也就是我们在分析成本形态时提到的半固定成本（如下图）。 生产能力利用率 固定成本

（2）变动成本也并非在整个产量范围内都与产量呈线性关系，在图形上不再是从原点引出的一条射线，而是一条折线。（如下图）。

变动成本 生产能力利用率

事实上，这也是比较符合实际情况的，因为在产量很低时，由于难以获取采购环节和生产环节的批量效益，所以单位变动成本会较高；当产量达到一定的水平之后，批量效益开始显现并不断提高，单位变动成本会逐渐降低；而当产量继续上升超过正常的生产能力之后，各种不经济的因素就会出现，单位变动成本又会逐渐升高，而且上升的幅度可能还会很大。

（3）销售收入与销售量的关系也不是完全的线性关系，表现在盈亏临界图中销售收入不再是由原点出发的射线，而是一条折线。实践中，企业为了扩大销售也会利用价格这一杠杆，如规定购买数量达到一定程度时可以给予一定的优惠价格（如下图，假定产销平衡）。

生产能力利用率 收入

如果将销售收入、变动成本、固定成本的图形复合在一起，则如下图所示：

a1 b1 c1

在进行此类非完全线性关系下的本－量－利分析时可以先比较a1、b1、c1几个转折点业务量的大小，那么分析时可以将整个业务量区间划分为若干等小区间，在各小区间内根据该区间内的收入函数、变动成本函数以及固定成本函数确定利润函数，从而可以按照前述完全线性关系条件下本－量－利分析的一般方法进行分析。

非线性关系下 的本－量－利分析 在不完全线性关系下的本-量-利分析中，虽然固定成本、变动成本以及收入在整个业务量范围内与业务量不是呈线性关系，但是在业务量的若干小的区间内还是线性相关的。

事实上，成本函数和收入函数在整个业务量范围内有可能与业务量呈非线性关系，这时无论如何划分业务量区间都无法按照前述不完全线性关系下本-量-利分析的方法来进行分析，但是这并不影响我们分析利润对业务量的依存关系，本-量-利分析最基本也是最重要的思想就是确定作为产量函数的利润的特性，并不受成本函数和收入函数是否为线性函数的限制。

收入函数 一般而言，价格随销售量的变化而变化，即：p＝f(x)，函数f(x)对应于经济学中需求函数的反函数x＝ P(x) 。

成本函数 同样，当产量超过一定的限度时，随着边际成本的变动和固定成本的跳跃，总成本TC(x)也可以是产量的非线性函数。

利润函数 对于这些更具有一般性的收入和成本函数，可以用下面的公式来描述利润与产量的关系： P(x)＝TR(x)－TC(x)＝x·f(x)－TC(x)

通过具体的例子对上面的公式作进一步的说明。在经济学中通常认为总成本函数的曲线如下图所示： TC(x) x

根据这一曲线所描述的总成本函数的特征，即使在产量为零时也会发生固定成本，随着产量的增加，边际成本在最初阶段是递减的，这种减少一方面是由于学习效应的作用，另一方面是由于企业在开始经营时是按照企业的正常生产能力投入固定资源和劳动力的。随着产量逐渐接近设计生产能力，固定资源和劳动力的利用效率相应提高，当产量达到一定水平后，在一段区间内，总成本随产量的增加作近似线性的增加，这正是我们的简单本量利模型最接近实际情况的区间。

在此区间内，总成本曲线的斜率等于单位变动成本，近似于常量。当产量的增长超过这一线性区间的上限时，边际成本开始增加，这种增加是由于增加班次、加班、使用效率较低的设备和劳动力等原因引起的。

上图描述的曲线可以用一元三次方程近似的表示： TC(x)＝ 再考察收入函数，对于简单的非线性收入函数，我们可以假定对产品的需求是价格的函数： x＝c + b·p 据此我们可以得到总收入函数： TR(x)＝x·p＝

总收入函数是一个二次函数，由于销售量随价格的增加而减少，所以b<0，其图形为一个开口向下，对称轴大于零且过原点的抛物线。将总收入函数与总成本函数的图形放在一个坐标系中如下图所示：

TR(x) 产量 x TC(x) 最大利润 损益平衡点

从上图可以看到，总收入曲线与总成本曲线有两个交点，这两个交点所对应的产量都是损益平衡点。这两个平衡点实际上是下面方程的解： TR(x)＝TC(x) 或 ＝

在进行本-量-利分析时较关注的是使总利润达到最大时的产量。经济学理论表明当边际收入等于边际成本时利润最大，即利润最大时的产量x须满足方程： MR(x)＝MC(x) 或 ＝

更详细的分析我们可以通过考察利润函数P(x)的特征来进一步了解利润与产量之间的关系。在此模型中，利润函数为： P(x)＝TR(x)－TC(x) ＝ －

需要注意的是，在实践工作中无论是总成本函数TC(x)还是总收入函数TR(x)中具体参数的确定往往都是根据大量的历史数据计算出来的，究竟采用什么样的模型来描述这些数据之间的内在关系没用一定的限制，关键在于选用的模型是否能够最好地反映这些数据的关系，当前很多统计软件都能够满足这样的要求，因此，在进行本-量-利分析时可以将更多的重点放在分析利润函数的特性上。

谢谢诸位！