自相关

假设1：给定X1i， X2i，… Xki时，εi的条件分布均值为零。 即：随机误差项具有零均值。

假设2 随机误差项彼此之间不相关 假定3 球型扰动项(spherical disturbance)， 即对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相同的方差。扰动项满足“同方差”、“无自相关”的性质

u的方差协方差矩阵 经典假设 自相关 异方差

如果存在自相关：随机误差项的方差-协方差矩阵的非主对角线上的元素不为0 。

异方差经常出现在截面数据中，因为在截面数据中经常会出现 的情况。 解决方法：异方差稳健的标准差。 FGLS（可行性广义最小二乘法） 自相关经常出现在时间序列数据中，因为在时间序列数据中，经常会出现的 的情况。 面板数据可以看作是截面数据和时间序列的集合，所以既有可能出现异方差，又有可能出现自相关。

截面数据的残差图

时间序列数据的残差图

自相关包含一阶自相关和高阶自相关。 一阶自相关： 高阶自相关：

由于经济活动通常具有某种连续性或持久性，自相关现象在时间序列中很常见。比如，相邻两年的GDP 增长率、通货膨胀率。又比如，某个意外事件或新政策的效应需要逐步地随时间推移而释放出来；滞后的调整过程，比如，最优资本存量需要通过若干年的投资才能逐渐达到。

例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型： Ct=0+1Yt+εt t=1,2,…,n 再比如大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。 例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型： Ct=0+1Yt+εt t=1,2,…,n 由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则可能出现序列相关性（往往是正相关 ）。

其中ρ称为相关系数

多阶自相关的数学形式

自相关的检验 1. 图形法 残差与X的散点图 自相关图(auto-correlation cofficient) 1. 图形法 残差与X的散点图 自相关图(auto-correlation cofficient) 偏自相关图(partial auto-correlation cofficient)

例题：利用B2_lutkepohl.dta数据集建立消费和收入之间的一元线性回归模型。并检验是否存在自回归，是一阶还是高阶。 use B2_lutkepohl.dta, clear tsset year reg consum income predict e1, res scatter e1 income,yline(0) ac e1 pac e1

2。DW检验：只能检验一阶自相关的序列相关形式，并且要求解释变量严格外生。 根据样本个数和自由度查表得到DL和DU，并且构造不同的区域。

D.W. 统计量: 杜宾和沃特森他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU ，且这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有关，而与解释变量X的取值无关。

（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值dL和dU （3）比较、判断

4－dU <D.W.<4－ dL 不能确定 4－dL <D.W.<4 存在负自相关 dL<D.W.<dU 不能确定 dU <D.W.<4－dU 无自相关 4－dU <D.W.<4－ dL 不能确定 4－dL <D.W.<4 存在负自相关 不能确定 不能确定 无自相关 正相关 负相关 0 dL dU 2 4-dU 4-dL

经验上DW值1.8---2.2之间接受原假设，不存在一阶自相关。 Stata中对方程进行回归后直接使用 dwstat命令即可。 reg consum income dwstat

Box-Pierce Q 检验和Bartlett检验 （Ljung and Box, 1979）

Q检验和Bartlett检验 reg consum income predict e2,res wntestq e2 wntestb e2

Breusch-Godfrey（LM） 检验 reg consum income bgodfrey

自相关的处理： 1。使用“OLS + 异方差自相关稳健的标准差”（Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Standard Error，简记HAC），即在同时存在异方差与自相关的情况下也成立的稳健标准差。这种方法被称为Newey and West (1987)估计法，它只改变标准差的估计值，并不改变回归系数的估计值。

Newey 稳健型估计(White1980估计的扩展) reg consum income newey consum income , lag(1) newey consum income , lag(2)

广义差分法： CO-PW方法 Cochrane-Orcutt(1949) 估计(舍弃第一期观察值) Prais-Winsten(1954) 估计(对第一期观察值进行处理 sqrt(1-rho^2)*y1)

关键问题是，差分的结果一定会损失一个样本（第一个样本）。CO和PW方法给了不同的处理方式。CO为了计算方便而将第一个方程（即第一个观测数据）删去。 PW不删去第一个样本，而是用sqrt(1-rho^2)*y1)加以估计。 由于时间序列的数据往往较少，所以尽量不损失样本

广义差分法： CO-PW方法 广义差分的stata命令： prais y x1 x2 x3 （使用默认的PW方法） prais y x1 x2 x3, corc （使用CO方法） prais consum income,corc prais consum income

一个例子：考察英国政府如何根据长期利率（r20）的变化来调整短期利率（rs），数据集为ukrates.dta （1）做如下回归： ，其中： 回归方程为： use ukrates,clear tsset month reg D.rs LD.r20

自相关检验 1。图形法：自相关系数和偏自相关系数 predict e1,res ac e1 pac e1 corrgram e1,lag(10)

2。DW检验： reg D.rs LD.r20 dwstat 3。Q检验和Bartlett检验 predict e2,res wntestq e2 wntestq e2,lag(2) wntestb e2

4。对于高阶自相关的检验方法：B-G检验 bgodfrey bgodfrey,lag(2)

自相关的处理 1. 使用OLS+异方差自相关稳健的标准误（HAC） 方法被称为Newey-West估计法（Newey and West，1987） reg D.rs LD.r20 newey D.rs LD.r20 ,lag(1)（假设存在一阶自相关） newey D.rs LD.r20 ,lag(2) （假设存在二阶自相关） 系数完全相同，但标准差和t值不同。

可行广义最小二乘法（FGLS）：广义差分法： CO-PW方法Cochrane-Orcutt(1949) 估计(舍弃第一期观察值) Prais-Winsten(1954) 估计(对第一期观察值进行处理 sqrt(1-rho^2)*y1)

Cochrane-Orcutt(1949) 估计(舍弃第一期观察值) prais D.rs LD.r20,corc Prais-Winsten(1954) 估计(对第一期观察值进行处理 sqrt(1-rho^2)*y1) prais D.rs LD.r20 时间序列一般样本不会太大，因此不要轻易舍弃。

多重共线性 直观上说：当模型的R2非常高，但多数解释变量都不显著，甚至系数符号相反，可能存在多重共线性 完全的多重共线性stata会自动drop掉，例如 gen dom=1-foreign reg price weight length foreign dom 多重共线性的检验：膨胀因子 estat vif 经验上当 (1) VIF 的均值 >=2 (2) VIF 的最大值 接近或者超过10 认为有较为严重的多重共线性。

多重共线性的处理 1。不作处理：如果模型重点关注的是整体对被解释变量的解释能力，而不是具体回归系数是否显著，则可不处理。 2。不作处理：如果存在多重共线性，但变量显著，此时消除多重共线性，只会使变量更加显著，此时可不作处理。 3。删除引起多重共线性的某个变量。 4。合并引起多重共线性的变量，例如，a和b是引起多重共线性的变量，引入新变量c=a/b，同时删除a和b。 5。增大样本容量。

reg price mpg weight length foreign estat vif 还可以利用解释变量的相关系数 pwcorr mpg weight length foreign 结论：weight和length具有严重的多重共线性 可以考虑去掉weight。 reg price mpg length foreign pwcorr mpg length foreign 多重共线性基本消除