第六章 控制系统的校正与设计 第一节 系统校正的一般方法 第二节 控制系统的工程设计方法 第三节 控制系统设计举例 校正： 第六章 控制系统的校正与设计 第六章 控制系统的校正与设计 校正： 在系统中附加一些装置改变系统 的结构，从而改变系统的性能。 第一节 系统校正的一般方法 第二节 控制系统的工程设计方法 第三节 控制系统设计举例

第六章 控制系统的校正与设计 第一节 系统校正的一般方法 系统校正的方法主要包括串联校正和反馈校正。一般说来，串联校正比较简单，反馈校正的设计往往需要一定的实践经验。本章仅讨论串联校正。 串联校正结构图： R(s) C(s) Gc(s) Go(s) _ 固有部分 校正装置

一、串联超前校正 二、串联滞后校正 三、串联滞后—超前校正 四、PID控制器 第一节 系统校正的一般方法 串联校正装置的设计是根据系统固有部分的传递函数和对系统的性能指标要求来确定的。 一、串联超前校正 二、串联滞后校正 三、串联滞后—超前校正 四、PID控制器

一、串联超前校正 1．超前校正装置 对数频率特性曲线： (1) 无源超前校正装置 1+aTs Gc(s)= a(1+Ts) R1R2 第一节 系统校正的一般方法 一、串联超前校正 uc R1 ur c + - R2 对数频率特性曲线： 1．超前校正装置 dB L( ω ) (1) 无源超前校正装置 10lgα Gc(s)= 1+aTs a(1+Ts) 20lgα ω1= aT 1 ω2= T 1 ω T= R1R2 R1+R2 C a= R1+R2 R2 ) ( ω φ φm > 1 ωm ω 为了补偿开环放大倍数1/α<1对稳态精度的影响，再增加一放大倍数为α的放大环节。 ω=ωm处为最大超前角

一、串联超前校正 1．超前校正装置 对数频率特性曲线： (1) 无源超前校正装置 1+aTs Gc(s)= a(1+Ts) R1R2 第一节 系统校正的一般方法 一、串联超前校正 uc R1 ur c + - R2 对数频率特性曲线： 1．超前校正装置 dB L( ω ) (1) 无源超前校正装置 10lgα Gc(s)= 1+aTs a(1+Ts) 20lgα ω1= aT 1 ω2= T 1 ω T= R1R2 R1+R2 C a= R1+R2 R2 ) ( ω φ φm > 1 ωm ω Gc(s)= 1+aTs a(1+Ts) ×a 1+aTs 1+Ts = α>1 φ(ω)>0 ω >ω2 =20lg a 超前的相频特性 L(ω)=20lgaωT-20lgωT

幅相频率特性曲线： Gc(s)= 1+aTs 1+Ts dφ(ω) dω =0 令 ωm= T 1 a = T 1 · aT 得 第一节 系统校正的一般方法 幅相频率特性曲线： Im Gc(s)= 1+aTs 1+Ts dφ(ω) dω =0 令 φm ω=∞ ωm= T 1 a = T 1 · aT α ω=0 得 1 α+1 2 Re 两个转折频率的几何中点。 最大超前相角： (a–1)/2 1+(a–1)/2 sinφm= = a–1 a+1 1+sinφm 1–sinφm a= φm=sin-1 a–1 a+1

(2) 有源超前校正装置 Gc(s)= R3[1+(R1+R2)Cs] R1(1+R2Cs) 1+ 1+Ts =Kc τs Kc= R3 第一节 系统校正的一般方法 (2) 有源超前校正装置 R1 uc C R3 ur - Δ ∞ + R2 Gc(s)= R3[1+(R1+R2)Cs] R1(1+R2Cs) 1+ 1+Ts =Kc τs Kc= R3 R1 式中: τ=(R1+R2)C T=R2C a= aT T = R2 R1+R2 令: aT=τ Kc=1 则: >1 Gc(s)= 1+aTs 1+Ts

第一节 系统校正的一般方法 2．超前校正装置的设计 超前校正是利用相位超前特性来增加系统的相角稳定裕量，利用幅频特性曲线的正斜率段增加系统的穿越频率。从而改善系统的平稳性和快速性。为此，要求校正装置的最大超前角出现在系统校正后的穿越频率处。

5）找到点Lo(ω)=-10lgα，对应的频率为： 2）绘制原系统的伯德图Lo(ω)和φ(ω) ， 并确定相位裕量γ。 ωm = ωc' 第一节 系统校正的一般方法 超前校正装置设计的一般步骤： 1）根据稳态指标要求确定开环增益K。 5）找到点Lo(ω)=-10lgα，对应的频率为： 2）绘制原系统的伯德图Lo(ω)和φ(ω) ， 并确定相位裕量γ。 ωm = ωc' 6）根据ωm确定校正装置的转折频率。 3）根据要求的γ’和实际的γ，确定最 大超前相角： ωm αT 1 ω1= = α T 1 ω2= =ωm α φm=γ'–γ+Δ Δ=5°~ 20° 7）校验系统的相位裕量是否满足要求。 如果不满足要求，则重新选择△值。 4）根据所确定的φ m ,计算出α 值。 1+sinφm 1–sinφm a=

例 系统结构如图。试设计超前校正装置。 要求： Kv≥20 γ'≥50° 3) 根据要求确定φm 解： 6) 计算转折频率 第一节 系统校正的一般方法 例 系统结构如图。试设计超前校正装置。 要求： Kv≥20 γ'≥50° s(0.5s+1) K R(s) C(s) - L(ω)/dB Lc 3) 根据要求确定φm 解： 6) 计算转折频率 1) 确定开环增益K ω2 =ωm α =18.4 取Δ=5.6° K =Kv=20 φm=γ'–γ+Δ G0(s)= s(0.5s+1) 20 18.4 1 T= =0.054 =50o–17.6o+5.6o =38° αT 1 ω1= =4.41 4) 求α 2) 未校正系统伯德图 αT=0.277 1+sinφm 1–sinφm a= 20lgK=20lg20 =26dB = 4.2 Gc(s)= 1+0.227s 1+0.054s 0.5ωc2 20 ≈1 5) 确定ω’c、ωm ωc≈6.3 20(0.227s+1) s(0.5s+1)(0.054s+1) = G(s)=G0(s)Gc(s) Lc(ωm)=10lgα γ=17.6° =6.2dB

例 系统结构如图。试设计超前校正装置。 要求： Kv≥20 γ'≥50° 3) 根据要求确定φm 解： 6) 计算转折频率 第一节 系统校正的一般方法 例 系统结构如图。试设计超前校正装置。 要求： Kv≥20 γ'≥50° L(ω)/dB 26 -20dB/dec Lc 3) 根据要求确定φm 解： 6) 计算转折频率 1) 确定开环增益K -20 20 +20dB/dec 9 18.4 ω2 =ωm α =18.4 取Δ=5.6° ω’ c K =Kv=20 ω 2 4.4 ωc φm=γ'–γ+Δ L0 G0(s)= s(0.5s+1) 20 L 18.4 1 T= =0.054 -40dB/dec Φ(ω) =50o–17.6o+5.6o =38° 90 -90 -180 αT 1 ω1= =4.41 φc 4) 求α 2) 未校正系统伯德图 αT=0.277 ω 1+sinφm 1–sinφm a= 20lgK=20lg20 =26dB = 4.2 φ Gc(s)= 1+0.227s 1+0.054s φ0 0.5ωc2 20 ≈1 γ γ ' 5) 确定ω’c、ωm ωc≈6.3 由图知： G(s)=G0(s)Gc(s) 性能不满足要求 Lc(ωm)=10lgα γ=17.6° =6.2dB

超前校正的特点： 1）校正后幅频特性曲线的中频段斜率为 4）当未校正系统的相频特性曲线在穿越 - 20dB/dec，并有足够的相位裕量。 第一节 系统校正的一般方法 超前校正的特点： 1）校正后幅频特性曲线的中频段斜率为 - 20dB/dec，并有足够的相位裕量。 4）当未校正系统的相频特性曲线在穿越 频率附近急剧下降时，若用单级的超 前校正网络来校正，将收效不大。 2）超前校正使系统的穿越频率增加，系 统的频带变宽，瞬态响应速 度变快。 5）超前校正主要用于系统稳态性能满意， 而动态性能有待改善的场合。 3）超前校正难使原系统的低频特性得到 改善。系统抗高频干扰的能力也变差。

二 、串联滞后校正 1．滞后校正装置 (1) 无源滞后校正装置 1+βTs Gc(s)= T = (R1+R2)C 1+Ts R2 β= 第一节 系统校正的一般方法 二 、串联滞后校正 uc R1 ur c + - R2 1．滞后校正装置 (1) 无源滞后校正装置 Gc(s)= 1+Ts 1+βTs T = (R1+R2)C R2 R1+R2 < 1 β= dB L( ω ) ω1= T 1 ω2= βT 1 ωm= T 1 β ω 20lgβ 同理： ) ( ω φ φm=sin-1 β–1 β+1 ω ωm φm

(2) 有源滞后校正装置 Gc(s)= R1[1+(R2+R3)Cs] R3(1+R2Cs) 1+ 1+Ts =Kc τs Kc= R3 第一节 系统校正的一般方法 (2) 有源滞后校正装置 - ∞ + R2 R1 ur uc C R3 Gc(s)= R1[1+(R2+R3)Cs] R3(1+R2Cs) 1+ 1+Ts =Kc τs Kc= R3 R1 式中: τ=R2C T=(R2+R3)C β= βT T = R2 R2+R3 令: 则: βT=τ Kc=1 < 1 Gc(s)= 1+βTs 1+Ts

第一节 系统校正的一般方法 2．滞后校正装置的设计 滞后校正不是利用校正装置的相位滞后特性，而是利用其幅频特性曲线的负斜率段，对系统进行校正。它使系统幅频特性曲线的中频段和高频段降低，穿越频率减小，从而使系统获得足够大的相位裕量，但快速性变差。

3) 从相频特性上找到一点,该点相角由下式确定.该点的频率即为校正后系统的穿越频率ω’c 。 βT 1 ω2= =( 5 10 ~ ) 第一节 系统校正的一般方法 滞后校正装置设计的一般步骤： 4) 从图上确定Lo(ω’c ) ，并求β 1) 根据稳态指标要求确定开环增益K 。 L0(ωc' ) = –20lgβ 2) 绘制未校正系统的伯德图，并确定 原系统的相位裕量γ 。 5) 计算滞后校正装置的转折频率，并 作出其伯德图。一般取转折频率： 3) 从相频特性上找到一点,该点相角由下式确定.该点的频率即为校正后系统的穿越频率ω’c 。 βT 1 ω2= =( 5 10 ~ ) ωc' T 1 ω1 = βT =β• 6) 画出校正后系统的伯德图，并校核 相位裕量。 φ= –180o+γ'+Δ Δ=5o~15o

的幅值衰减使系统的相位裕量增加，但同时也会使系统的穿越频率减小。 第一节 系统校正的一般方法 滞后校正有如下的特点： 1）滞后校正是利用其在中、高频段造成 的幅值衰减使系统的相位裕量增加，但同时也会使系统的穿越频率减小。 2）一般的滞后校正不改变原系统最低 频段的特性，可用来改善系统的稳 态精度。 3）由于滞后校正使系统的高频幅值降 低，其抗高频干扰的能力得到加强。

三、串联滞后-超前校正 1．滞后-超前校正装置 c1 (1)无源滞后-超前校正装置 传递函数为： Gc(s) = (1+ T1 S) 第一节 系统校正的一般方法 三、串联滞后-超前校正 1．滞后-超前校正装置 c1 uc R1 ur + - R2 c2 (1)无源滞后-超前校正装置 传递函数为： Gc(s) = (1+ T1 S) (1+T2 S) (1+αT1S) (1+ T2 α S ) 其中： αT1 > T1 > T2 > T2 / α

滞后-超前校正装置的伯德图 滞后校正部分： (1+ T1S) (1+αT1S) 超前校正部分： (1+ T2S) T2 (1+ S) α 第一节 系统校正的一般方法 滞后-超前校正装置的伯德图 滞后校正部分： L(ω)/dB (1+ T1S) (1+αT1S) α 1 T1 1 T1 1 T2 T2 α ω -20dB/dec +20dB/dec 超前校正部分： φ(ω) (1+ T2S) (1+ T2 α S) ω

(2) 有源滞后—超前 校正装置 传递函数为: Gc (s) = (1+T0S)(1+T3S) Kc(1+T1S)(1+T2S) T2 S) 第一节 系统校正的一般方法 - ∞ + R2 R1 ur uc R3 c1 R4 c2 (2) 有源滞后—超前 校正装置 传递函数为: Gc (s) = (1+T0S)(1+T3S) Kc(1+T1S)(1+T2S) T2 S) a Gc (s) = (1+aT1S)(1+ Kc(1+T1S)(1+T2S) R2+R3 Kc= R1 C1 R2+R3 T1= R2R3 式中: T0=R2C1 T2=(R2+R3)C2 T3=R4C2 令: Kc=1 = T0 T1 T2 T3 = R3 R2+R3 = a>1 T0>T1>T2>T3

第一节 系统校正的一般方法 2．滞后-超前校正装置的设计 如果对校正后系统的动态和稳态性能均有较高的要求，则采用滞后— 超前校正。利用校正装置的超前部分来增大系统的相位裕量改善动态性能；又利用校正装置的滞后部分来改善系统的稳态性能。

例 设单位反馈系统的开环传递函数 G0 (s) = S(0.5S+1)(S+1) K 试设计一滞后-超前校正装置。 要求： Kv ≥ 10 第一节 系统校正的一般方法 例 设单位反馈系统的开环传递函数 G0 (s) = S(0.5S+1)(S+1) K 试设计一滞后-超前校正装置。 要求： Kv ≥ 10 γ ' ≥ 50° 解： 1）确定开环增益K K = Kv = 10 2) 画出未校正系统的伯德图

第一节 系统校正的一般方法 G(s)= 10(6.67 S + 1)(1.43 S + 1) S(6.67 S + 1)(0.143 S + 1)(S+1)(0.5S+1) G0 (s) = S(0.5S+1)(S+1) 10 系统的传递函数 ≈1 0.5ωc3 10 4) 确定滞后部分 传递函数 L(ω)/dB 6) 校正后系统的 开环传递函数 -20dB/dec ωc≈2.7 Gcl (ω) = 1+ 66.7S 1+ 6.67S = 1 T1 = 0.15 10 ωc' -20 20 40 L0(ω) 取 L (ω) -40dB/dec ωc γ=-33o 1.5 7 ω 0.015 0.15 0.7 1 2 T1= 0.15 1 = 6.67 ω’c 确定超前部分 传递函数 3) 确定ω’c Lc(ω) 则 Φ(ω) -60dB/dec ω = 1.5 -270 -90 -180 90 φc(ω) 选择 α = 10 ω ω = 1.5 φ (ω) φ (ω) = – 180° αT1 1 =0.015 Gc2(ω)= 1+0.143S 1+1.43S γ 则 φ0(ω) L(ω) = 13dB γ’ 选择 ωc' = 1.5 1/T2=0.7 a/T2=7 αT1 = 66.7

四、PID控制器 ∫ ∫ PID控制是指对系统的偏差信号e(t)进行比例、积分、微分运算后，通过线性组合形成控制量u(t)的一种控制规律。 第一节 系统校正的一般方法 四、PID控制器 PID控制是指对系统的偏差信号e(t)进行比例、积分、微分运算后，通过线性组合形成控制量u(t)的一种控制规律。 具有PID控制系统结构 r(t) c(t) Gc(s) Go(s) _ e(t) u(t) PID控制器 对象 PID控制律的数学表达式: 比例系数 微分时间常数 ] u(t)=Kp[e(t)+ e( TI 1 ∫ t dt de(t) τ )d +TD 比例控制项 微分控制项 积分时间常数 积分控制项 上式也可写成： u(t)=Kpe(t)+ e( KI ∫ t dt de(t) τ )d +KD 微分系数 积分系数

P控制器 KI=KD=0 G0(s)曲线如图 KP>1 Gc(s)=Kp G(s)=G0(s)Gc(s) 幅频曲线上移 相频曲线不变 第一节 系统校正的一般方法 P控制器 KI=KD=0 L(ω)/dB G0(s)曲线如图 L(ω) KP>1 -20 20 40 Gc(s)=Kp Lc(ω) ωc ω’c ω G(s)=G0(s)Gc(s) L0(ω) Φ(ω) 幅频曲线上移 相频曲线不变 φc(ω) -90 -180 ω φ0(ω) φ (ω) γ' γ ωc ↑ γ ↓ KP<1:对系统性能有着相反的影响。

2. PD控制器 KI = 0 运算放大器构成 的PD控制器 τ 传递函数为： Kp= R2 R1 Gc(s) =Kp(1+ τ s) τ 第一节 系统校正的一般方法 2. PD控制器 KI = 0 运算放大器构成 的PD控制器 L(ω)/dB +20dB/dec R2 uc R1 ur + - ∞ c R0 ▽ 20lgKP 1 τ ω Φ(ω) +90 ω 传递函数为： Kp= R2 R1 Gc(s) =Kp(1+ τ s) τ =R1C

3. PI控制器 KD= 0 运算放大器构成的PI控制器 传递函数为： 1s+1 Gc(s)=Kp τ 1s Kp= R2 R1 τ 第一节 系统校正的一般方法 3. PI控制器 KD= 0 R2 uc R1 ur ▽ + - ∞ c R0 运算放大器构成的PI控制器 传递函数为： L(ω)/dB 1s+1 Gc(s)=Kp τ 1s -20dB/dec 20lgK Kp= R2 R1 ω 1 τ 1s=R2C τ Φ(ω) -90 ω

系统为0型系统，性能不满足要求，引入PI校正。 第一节 系统校正的一般方法 例 系统动态结构图如图所示。要求阶跃信 号输入之下无静差，满足性能指标： γ' ≥60° ωc' ≥10 R(s) C(s) – (T1S+1)(T2S+1) K0 τ1S+1 τ1S KP T1=0.33 T2=0.036 K0=3.2 解： 系统为0型系统，性能不满足要求，引入PI校正。

3.2 系统固有部分： G0(s)= (0.33s+1)(0.036s+1) ωc =9.5 γ=180o - tg-1ωcT1 第一节 系统校正的一般方法 (0.33s+1)(0.036s+1) 3.2 G0(s)= 系统固有部分： ωc =9.5 γ=180o - tg-1ωcT1 L(ω)/dB - tg-1ωcT2=88o -20dB/dec 10 20 L (ω) ω’c Lc(ω) 取PI控制器参数： ωc ω 3 27.8 τ1=T1 =0.33 L0(ω) Φ(ω) -40dB/dec 3 1 τ1 ~ Kp=1.3 -90 -180 ω φc(ω) 20lgKp=2.3dB φ (ω) φ0(ω) γ=88 s(0.036s+1) 12.6 G(s)= γ'=65 ωc' =13 γ'=65o

例 调速系统动态结构图如图，要求采用 PI校正，使系统阶跃信号输入下无静 差，并有足够的稳态裕量。 T1=0.049 T2=0.026 第一节 系统校正的一般方法 例 调速系统动态结构图如图，要求采用 PI校正，使系统阶跃信号输入下无静 差，并有足够的稳态裕量。 R(s) C(s) – G c(s) (T1S+1)(T2s+1)(T3S+1) K0 T1=0.049 T2=0.026 Ts=0.00167 K0=55.58 解: 系统固有部分为：

(0.049s+1)(0.026s+1)(0.00167s+1) 55.58 G0(s)= 系统伯德图 由图可算出： ωc=208.9 第一节 系统校正的一般方法 (0.049s+1)(0.026s+1)(0.00167s+1) 55.58 G0(s)= 系统伯德图 L(ω)/dB 由图可算出： L0(ω) -20 20 40 ωc=208.9 γ=-3.2° ω’c ωc L (ω) 598 令： τ1=T1 ω 20.4 38.5 选择 ωc' =30 Lc(ω) Φ(ω) 从图上可知 -270 -90 -180 ω 20lgKp=-31.5dB φ0(ω) φc(ω) φ (ω) γ= -3.2 Kp=0.00266 γ`= 49.2 γ'=49.2o =0.0266 (0.049S+1) 0.049S L0(ωc')=31.5dB

由以上两个例子可见，PI控制器可改善系统的稳态精度，而对动态性能的影响却与其参数的选择有关。 第一节 系统校正的一般方法 由以上两个例子可见，PI控制器可改善系统的稳态精度，而对动态性能的影响却与其参数的选择有关。 当不仅需要改善系统的稳态精度，同时希望系统的动特性也有较大的提高时，就可考虑同时具有PI和PD作用的PID控制器。

4. PID控制器 运算放大器构成的PID控制器 Gc(s)= (τ1s+1)(τ2s+1) τs = Kp(1+ TI s 1 +TDs) 第一节 系统校正的一般方法 4. PID控制器 运算放大器构成的PID控制器 uc R1 ur R2 + - ∞ c2 R0 c1 ▽ Gc(s)= (τ1s+1)(τ2s+1) τs = Kp(1+ TI s 1 +TDs) R1C1R2C2 R1C1+R2C2 TD = τ1τ2 τ1+τ2 = 其中： τ2= R2C2 τ1= R1C1 TI =τ1+τ2 = R1C1+R2C2 τ= R1C2 R1C2 R1C1+R2C2 Kp= τ τ1+τ2 =

第一节 系统校正的一般方法 PID控制器的伯德图 L(ω)/dB 1 τ 1 τ 2 ω Φ(ω) -90 90 ω

第一节 系统校正的一般方法 作业习题： 6-1 6-5 6-12 返回