第七章 微波滤波器的基本概念与理论

7.1 微波滤波器基本概念 大部分微波滤波器和滤波器元件可以通过一个二端口网络来表示： 图7.1.1 二端口网络

1. 二端口网络的散射参数 定义如下：

写成矩阵形式为： 　由其物理意义可以看出 、 为反射系数， 　、 　　　　　　 　　　　　　为传输系数。

2. 二端口网络的 参数定义如下:

写成矩阵形式为：

3.特性参数定义

7.2 传递函数 7.2.1 概要 1、无源无耗滤波器的传递函数的振幅的平方记为: 2、对于线性时不变网络，传递函数可以定义成有理函数的形式：

3、相应的衰减函数定义为: 4、滤波器的反射损耗为:

7.2.2 复平面的极点和零点 定义有理传递函数的平面称之为复平面。 零点和极点分别为N(p)和D(p)等于零的解。 7.2.3 按照滤波器的传递函数类型，可将滤波器分为：Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器、椭圆函数滤波器、高斯滤波器、全通滤波器。 Butterworth滤波器的振幅平方特性如下所示：

图7.2.1 Butterworth最大平坦低通响应

Chebyshev低通响应有等波纹的通带和最大平坦的阻带，其传递函数振幅平方特性为：

如果响应在通带和阻带都是等波纹的，便是椭圆函数响应。传递函数为： 7.2.5 椭圆函数响应 如果响应在通带和阻带都是等波纹的，便是椭圆函数响应。传递函数为： 图7.2.5 椭圆函数低通响应

高斯响应可以用下面的有力传递函数来近似： 7.2.6 高斯（最大平坦群延迟）响应 高斯响应可以用下面的有力传递函数来近似： 图7.2.7 高斯（最大平坦群延迟）响应

其中，p为复频率变量，D(p)为Hurwitz多项式。 C类全通网络：极点和零点落在σ轴上。 D类全通网络：极点和零点关于σ轴对称。 7.2.7 全通响应 传递函数为 其中，p为复频率变量，D(p)为Hurwitz多项式。 C类全通网络：极点和零点落在σ轴上。 D类全通网络：极点和零点关于σ轴对称。 图7.2.8 单个C类全通网络的特性

7.3 低通原型滤波器及其元件 低通原型滤波器就是所有元件值都归一化的低通模拟滤波器。 7.3 低通原型滤波器及其元件 低通原型滤波器就是所有元件值都归一化的低通模拟滤波器。 所谓的归一化就是使源阻抗或者导纳 ，通带截止频率 。如图便是低通原型滤波器的两种实现： 图7.3.1 全极点低通原型滤波器

其对应规则为： 若 是串联电感 ，则 是源导纳 ； 若 是并联电容 ，则 是源阻抗； 若 是串联电感 ，则 是负载导纳； 若 是并联电容 ，则 是负载阻抗；

7.3.1Butterworth低通原型滤波器 若在通带截止频率 处的衰减是 ，则Butterworth低通原型滤波器的元件值可以通过下面的式子来计算：

7.3.2 Chebyshev低通原型滤波器 若给定通带波纹 和阶数 ，则Chebyshev 低通原型滤波器的元件值为：

Chebyshev低通原型滤波器的阶数由下式决定：

若给定的是反射损耗 ，或者电压驻波比 ，则换算关系为：

7.3.3 椭圆函数低通原型滤波器 椭圆函数滤波器的两种实现如图所示： 图7.3.2 椭圆函数的低通原型滤波器

7.3.4 高斯低通原型滤波器 图7.3.1所示的网络也可以看作Gaussian低通原型滤波器， 因为Gaussian低通原型滤波器如Butterworth和Chebyshev 滤波器一样，是全极点滤波器。Gaussian原型滤波器的 元件的值一般我们可以通过网络合成来得到。

7.3.5 全通、低通原型滤波器 基本网络单元如图所示 图7.3.3 全通滤波器的低通原型

该基本单元的 参数为： 由 参数很容易转换成散射参数。

7.4 频率变换 通过频率变换，把低通原型滤波器的频域 映射到相应的低通、高通、带通和带阻滤波器的频域 。 通过频率变换，把低通原型滤波器的频域 映射到相应的低通、高通、带通和带阻滤波器的频域 。 通过元件变换，把低通原型的元件值转换为实际元件值 阻抗比例尺定义为：

阻抗比例尺的用法：

7.4.1 低通变换 低通原型到实际低通的频率变换规则为： 元件变换规则为：

图7.4.1 低通原型到实际低通的变换

7.4.2 高通变换 低通原型到高通滤波器的频率变换规则为： 元件变换规则为：

图7.4.2 低通原型到高通的转换

7.4.3 带通变换 低通原型到带通滤波器的频率变换规则为： 其中

低通原型中的电感（电容），被变换成带通滤波器中的串联（并联） 谐振回路。 对于串联 谐振回路：

对于并联 谐振回路：

图7.4.3 低通原型到带通的转换

7.4.4 带阻变换 低通原型到带阻滤波器的频率变换规则为： 其中，

低通原型中的电感（电容），被变换成带阻滤波器中的并联（串联） 谐振回路，这刚好与带通变换相反。 对于并联 谐振回路：

对于串联 谐振回路：

图7.4.4 低通原型到带阻的转换

7.5 导抗变换器 导抗变换器包括阻抗变换器和导纳变换器。 若把理想的阻抗变换器看成二端口的网络，则其阻抗变换关系为 其中K是实数，是特性阻抗的倒数。

理想阻抗倒量变换后的ABCD矩阵为：

理想导纳变换器的导纳变换关系为 其中J是实数，是特性导纳的倒数。

理想导纳倒量变换后的ABCD矩阵为：

通过导抗变换器，可实现如下变换： 图7.5.1 导抗倒量变化器

7.5.3 导抗倒量变换器的实现 传输线是最简单的导抗变换器。 典型的集总参数导抗变换器如图所示： 图7.5.5 几种典型的集总参数导抗倒量变换器

有的导抗变换器是集总元件和传输线的混合，如图所示： 图7.5.6 导抗倒量变换器混合了集总元件和传输线

7.6 Richards变换和Kuroda恒等式 其中，

与频率成正比，可以表示为： 其中 是在参考频率 时的 值。

令 ， 则得到频率映射：

图7.6.1 频率映射

集总电感被变换成短路枝节；集总电容被变换成开路枝节。 通过Richards变换， 集总电感被变换成短路枝节；集总电容被变换成开路枝节。 图7.6.2 在Richards变换下集中和分布式单元的对应部分

另一种重要的分布式元件是二端口网络 特性阻抗为 的传输线的ABCD矩阵为： 对其应用Richards变换为

7.6.2 Kuroda恒等式 在设计传输线滤波器时， Kuroda恒等式能实现不 同形式的电网络之间的 转换。

7.6.3 耦合线等效电路 一般的耦合线网络如图所示： 图7.6.6 一般的耦合线网络

利用下面的四端口电压－电流关系：

其中， 是端电流， 是端电压。 其中 、 分别是每单位长度线1和线2的自电容，而 是每单位长度的互电容。

若使用阻抗矩阵，则有

其中， 、 分别是每单位长度线 1 和线 2 的自感，而 是每单位长度的互感。

如果耦合线对称的话，则有 并且 和 满足：