聚类分析法预测(Cluster Analysis) 第十讲 聚类分析法预测(Cluster Analysis)

主要内容 第一节 引言 第二节 聚类统计量 第三节 系统聚类法 第四节 动态聚类法 YOUR SITE HERE

第一节 引言 YOUR SITE HERE

人类认识事物、认识世界，往往从分类开始。 聚类分析和判别分析是研究事物分类的基本方法。 在数学分类和模式识别中，有两类问题： 　　人类认识事物、认识世界，往往从分类开始。 　　聚类分析和判别分析是研究事物分类的基本方法。 　　在数学分类和模式识别中，有两类问题： 　　第一类问题:研究对象存在一个事前分类，将未知个体归属于其中的一类——判别分析（有监督或称有导师的Supervised，样品的类别属性是“被标记了”的labeled）另一类问题:不存在一个事前分类，对数据结构进行分类（分组） ——聚类分析（无监督或称无导师的Unsupervised） YOUR SITE HERE

判别分析数据格式 YOUR SITE HERE

聚类分析数据格式 YOUR SITE HERE

在地学领域中，经常面临着大量的分类问题，即对一定量的事物(如地质体、样品或变量)按其属性进行归类。 　　在地学领域中，经常面临着大量的分类问题，即对一定量的事物(如地质体、样品或变量)按其属性进行归类。 　　由于地质对象的复杂性，单靠定性标志或少数定量标志进行分类，常常不能揭示客观事物内在本质的差别和联系，难以确定地质体本质属性的归属。同时也造成很多分类计算具有很大的主观性和任意性，而且所得的结果因人而异，常不能反映客观实际情况。 　　地学研究中的分类问题较多，如岩石分类、矿物分类、构造期次研究、古气候古环境划分等，这些都有可能需要利用聚类分析来研究。 YOUR SITE HERE

物以类聚，人以群分 聚类分析是一种研究分类问题的多元统计方法。 　　聚类分析是一种研究分类问题的多元统计方法。 　　聚类分析的职能是建立一种分类方法，它将一批样品或变量，按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类。 　　聚类分析的出发点是研究对象之间可能存在的相似性和亲疏关系。 所以，根据研究对象之间各种特征标志的相似程度或相关程度的大小，可将它们进行分类归组。 YOUR SITE HERE

聚类分析的目的是把分类对象按一定规则分成若干类，这些类不是事先给定的，而是根据数据的特征而确定。 　　聚类分析的目的是把分类对象按一定规则分成若干类，这些类不是事先给定的，而是根据数据的特征而确定。 　　聚类分析的分类原则是 　　①同一类中的分类对象在某种意义上趋于彼此相似（有较大的相似性）； 　　②不同类中的分类对象趋于不相似（有很大的差异）。 YOUR SITE HERE

聚类分析基本思想 　　根据已知数据，计算各观察个体或变量之间亲疏关系的统计量（距离、相关系数等），根据某种准则（最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心法等），使同一类内的差别较小，而类与类之间的差别较大，最终将观察个体或变量分为若干类。 YOUR SITE HERE

两个“距离”概念 按照远近程度来聚类需要明确两个概念： 一个是点和点之间的距离，一个是类和类之间的距离。 　　按照远近程度来聚类需要明确两个概念： 　　一个是点和点之间的距离，一个是类和类之间的距离。 　　点间距离有很多定义方式。最简单的是欧氏距离，还有其他的距离。 　　当然还有一些和距离相反但起同样作用的概念，比如相似性等，两点越相似度越大，就相当于距离越短。 　　由一个点组成的类是最基本的类；如果每一类都由一个点组成，那么点间的距离就是类间距离。但是如果某一类包含不止一个点，那么就要确定类间距离， YOUR SITE HERE

在计算时，各种点间距离和类间距离的不同选择,其结果会有所不同，但一般不会差太多。 　　类间距离是基于点间距离定义的：比如两类之间最近点之间的距离可以作为这两类之间的距离，也可以用两类中最远点之间的距离作为这两类之间的距离；当然也可以用各类的中心之间的距离来作为类间距离。 　　在计算时，各种点间距离和类间距离的不同选择,其结果会有所不同，但一般不会差太多。 YOUR SITE HERE

聚类分析的分类 按聚类方法分 系统聚类法，也叫分层聚类法，hierarchical clustr 动态聚类法，也叫快速聚类e法quick cluster逐步聚类、迭代聚类k-均值聚类 k-means cluster 最优分割法（有序样品聚类法） 模糊聚类法 图论聚类法 聚类预报法 等 按聚类方法分 YOUR SITE HERE

聚类分析的分类 按聚合方式分 聚合法: 分类开始时每个样品自成一类。最常用，分类结果常用分类谱系图表达。 分裂法: 分类开始将全部样品看成一类。通常只能是求局部最优解的方法。 调优法: 首先对样品进行粗糙的分个类。动态聚类法就是其中最典型的方法。 加入法: 业已存在一个分类结果，确定每个新加入样品在分类结构中最合适的位置。 等 按聚合方式分 YOUR SITE HERE

R型聚类：对变量的聚类 (variables) 聚类分析的分类 Q型聚类：对样品的聚类 (cases) R型聚类：对变量的聚类 (variables) 按聚类对象 R型聚类和Q型聚类 　　这两种聚类在数学处理上是对称的，没有什么不同。

R型聚类分析和Q型聚类分析 样品3 变量3 变量1 变量2 样品2 样品1 1. R型聚类分析(对变量的聚类) 是一种降维的方法 　　研究变量之间的相似程度，对变量进行分组。从几何意义上说，是以N个样品为坐标轴，每个变量视为坐标空间的一点或一个向量，研究样本空间变量点之间的关系。 样品3 变量3 变量1 变量2 　　如研究控矿地质因素及矿化标志间的相关关系，多用于矿物，化学元素等方面的分组，以助于矿床成因问题的研究。 样品2 样品1 YOUR SITE HERE

R型聚类分析和Q型聚类分析 变量3 样品3 样品1 样品2 变量2 变量1 2. Q型聚类分析(对样品的聚类) 　　研究样品之间的相似程度，对样品进行分类。从几何意义上说，是以P个变量为坐标轴，每个样品视为p维空间中一点或一个向量，研究样本空间样品点之间的关系。 变量3 样品3 样品1 样品2 变量2 变量1 YOUR SITE HERE

　　对矿床统计预测来说，主要是进行Q型聚类。 　　（1）对研究区所划分的单元，可视为样品，各单元所测定的各种地质特征作为变量构成原始数据组。 　　（2）各单元成矿远景的好坏，决定于单元内有利成矿地质因素及矿化标志的发育程度，根据这些地质因素和标志的相似程度对单元进行归类分组。这实际上是一种对地质环境的分类。 　　（3）然后，据分类中已知有矿和已知无矿单元的分类归组，结合地质条件分析，相对地评价各未知单元的成矿远景。

dij Cij rij 绝对值距离 欧氏距离 闵可夫斯基距离 切比雪夫距离 方差加权距离 兰氏距离 距离 马哈拉诺比斯距离 系数 聚类 Q型聚类统计量 距离 系数 dij 聚类 统计量 （也称相似性统计量） 相似程度越高 |dij|越小， 相似系数 Cij 夹角余弦 统计量 R型聚类 |Cij|, |rij|越接近于1， 相似程度越高 相关系数 rij

夹角余弦 距离系数 变量3 样品3 样品3 变量3 样品1 变量1 样品2 变量2 变量2 样品2 变量1 样品1 YOUR SITE HERE

dij2 = 1-rij2 距离和相似系数之间的转换 一般说来，距离越小，两样品之间关系越密切，而相似系数越大，两变量之间关系越密切。 　　一般说来，距离越小，两样品之间关系越密切，而相似系数越大，两变量之间关系越密切。 　　为了聚类方便起见，可以用下面的公式从相关系数得到变量间的距离。 dij2 = 1-rij2 YOUR SITE HERE

第三节 系统聚类法 hierarchical clustering method 系统聚类方式： 聚合法：先视每个为一类,再合并为几大类 分裂法：先视为一大类，再分成几类可用于Q型聚类和 R型聚类

一、系统聚类的特点 　　开始时将每个样品（或变量）都视为一类，然后将各样品（或变量）相互之间两两加以比较，根据聚类统计量逐步归类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个较大的分类单位，直到把所有样品（或变量）都聚合并为一大类完毕为止，形成一个由小到大的分类系统，并绘制聚类谱系图，把样品之间的亲疏关系简明直观地展示出来。 YOUR SITE HERE

二、系统聚类的基本思路和做法 （1）先将待聚类的n个样品（或者变量）各作为一类； 　　（2）选定聚类统计量，计算每两个类之间的聚类统计量，将关系最密切的两类并为一类，其余不变，即得n-1类。再按前面的计算方法，计算新类与其它类之间的距离（或者相似系数），再将关系最密切的两类并为一类，其余不变，即得n-2类； 　　（3）如此继续下去，每次重复都减少一类，直到最后所有所有样品（或变量）归为一类为止。 YOUR SITE HERE

X = 1.0 2.0 2.5 4.5 2.0 2.0 4.0 1.5 4.0 2.5 x2 k=4 k=3 相似性标尺 0 1 2 3 4 5 k=2 k=1 0 1 2 3 4 5 x1 YOUR SITE HERE

以上聚类方法的计算步骤完全相同，仅类与类之间的定义不同。 三、系统聚类方法 1.最短距离法(single linkage) 2.最长距离法(complete linkage) 3.中间距离法(median linkage) 4.重心法(centroid method) 5.类平均法(average linkage) 6.可变类平均法(flexible-beta method) 7. 可变法 8. 离差平方和法(亦称Ward法，Ward's minimum-variance method)等 以上聚类方法的计算步骤完全相同，仅类与类之间的定义不同。 YOUR SITE HERE

四、谱系图的形成和应用 聚类的原则（谱系图的形成过程） 一步形成法 多步形成法 YOUR SITE HERE

1.聚类的原则（谱系图的形成过程） 聚合归类时一般应遵从以下四条原则： ①若选出的一对样品在已经分好的组中都未出现过，则把它们形成一个新组。 ②若选出的一对样品中，有一个出现在已经分好的组里，则把另一个也加入到该组。 ③若选出的两个样品，它们分别出现在已经分好的两组中，则把这两个组连在一起。 ④若选出的两个样品都出现在同一组中，则不须再分组。 按上述四条原则反复进行，直到将所有的样品（或变量）都聚合完毕为止。最终可形成谱系图，也称树状图。

2. 一步形成法(一次计算分类法) 一步形成法是一种最简单的聚类方法，计算量不大。它由距离矩阵或相似性系数矩阵出发得到最终的分类结果。 　　一步形成法是一种最简单的聚类方法，计算量不大。它由距离矩阵或相似性系数矩阵出发得到最终的分类结果。 　　方法原理：根据距离或相似系数的大小，依次将诸样品（或变量）归类连接起来，形成一个从小类到大类的分类系统。 　　在连接过程中，要遵循前述四条原则。 YOUR SITE HERE

根据相似性水平的地质意义对谱系图进行分组，并对每组作出地质解释。 相似性水平的不同反映了要求精度的差别，其结果表现为分组的粗细不同。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Cu矿化 58 79 56 80 83 98 102 Cu型 Cu Cu/W/Mo型

３. 多步形成法(逐步计算成群法) 以距离作为聚类统计量（Q型聚类）情形：见前关于类间距离的系统聚类方法 　　以相关系数作为聚类统计量（R型聚类）情形： (1) 转换成距离来处理 (2) 连续计算相关系数矩阵 　　与一步形成法基本步骤相似，唯一的区别是每一步分类后，要把分过类变量合并成为一个新的变量，即在相关系数矩阵中划出最大的元素，将相应的变量合并，赋予新的记号，把合并的变量的数据加权平均作为新的变量的数据，再计算合并后新变量与其余各变量的相关系数，建立新的相关矩阵，再进行下一步分类，重复这一过程直到把所有变量都合并为一类。最后按归类作谱系图。 YOUR SITE HERE

例：五个销售员的销售量x1与教育水平x2 X1 x2 1 2 3 4 5 6 8 9 聚类统计量：欧氏聚类 聚类方法：最短距离法 聚类统计量：欧氏聚类　　聚类方法：最短距离法 YOUR SITE HERE

第四节 动态聚类法 也叫快速聚类法、逐步聚类、迭代聚类 quick cluster method, k-means model 样本量很大，用系统聚类法计算的工作量极大，作出的树状图也十分复杂, 不便于分析

动态聚类的基本思想 计算步骤： 首先将样品粗略地分为若干类，然后在按照某种原则逐步修改直到合理的分类为止。 　　首先将样品粗略地分为若干类，然后在按照某种原则逐步修改直到合理的分类为止。 计算步骤： （1）选取若干样品作为初始凝聚点（给出允许分类的最大个数k）； （2）计算各样品与各凝聚点的距离，并作初始分类； （3）根据初始分类，计算各类重心，用重心代替初始凝聚点，进行第二次分类； （4）重复（2）步，直至所有样品都不再调整，分类达到稳定为止（称为聚类过程收敛） 选凝聚点，作初始分类 调整不适合点——修改分类 YOUR SITE HERE

小 结 YOUR SITE HERE

　　与多元分析的其他方法相比，尽管聚类分析较为粗糙，没有明显的理论性，但应用方面取得了很大成功，确实是模式识别研究中非常有用的一类技术。 　　聚类分析方法与传统的统计分组方法相比，具有如下优点： （1）综合性：Q型聚类分析可以利用多个变量的信息对样本进行分类，克服单一指标分类的弊端。 （2）形象性：聚类分析可以利用聚类图直观地表现其分类形态，及类与类之间的内在关系。 （3）客观性：聚类分析结果克服主观因素，比传统分类方法更客观、细致、全面和合理。

应用中须注意的问题 同一批数据采用不同的聚类统计量，有时会得到不同的分类结果。 　　同一批数据采用不同的聚类统计量，有时会得到不同的分类结果。 　　同一批数据采用相同的聚类统计量，但采用不同的聚类方法，有时会产生不同的分类结果。 　　采用不同的数据变换方法可得到不同的分类结果。 　　在进行Q型聚类时，采用的变量并非越多越好，要选择对研究的分类问题具有价值的变量。 YOUR SITE HERE

应用中须注意的问题 对聚类分析结果的解释要谨慎。聚类分析是一种数字分类法，数字上相似，地质上不一定相似。 　　对聚类分析结果的解释要谨慎。聚类分析是一种数字分类法，数字上相似，地质上不一定相似。 　　聚类分析是一种探索性技术，对于同一问题，可获得多种结果，解释需要结合专业知识。统计标志及数量特征上的相似，决不等于地质环境的相似——要选取能反映地质环境特征的变量及合理取值（要加强地质分析研究，这是一切定量方法必须遵守的共同点） YOUR SITE HERE

(1)平移变换：将某一指标的数据同减去一数，一般是减去均值。 (2)极差变换：将某一指标的数据同除以该指标的极差。 　　在实际问题中，不同的变量一般取的量纲不同，为了使不同的量纲也能放在一起比较，通常需要对数据作一些变换，有时即使变量用的同一量纲，为了使数据更适用某种数学模型，也需要将数据变换。 常用的变换有： 　　(1)平移变换：将某一指标的数据同减去一数，一般是减去均值。 　　(2)极差变换：将某一指标的数据同除以该指标的极差。 　　(3)标准差变换：将某一指标的数据同除以该指标的标准差。 　　(4)主成分变换：将数据用它们的主成分代替，有时为了简化，只取前几个主成分、舍去次要的主成分。 　　(5)对数变换：将数据取对数，当数据之间数量级相差较大时常采用这一变换。 　　以上的变换有时同时采用，例如将数据标准化，就是先作变换(1)，后作变换(3) 。 YOUR SITE HERE

　　如果特征空间是各向同性的并且数据大致均匀地分布在各个方向上，选择欧氏距离作为相似性度量一般是合理的。 　　选用欧氏距离的分类结果不会因特征空间的平移和旋转而改变（点作刚体运动）。但是，一般地说，对线性变换或其它扭曲距离关系的变换是不能保证的。 　　缩放坐标轴会映现最小聚类聚类方法的聚类结果