对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题： 理论上，n 个质点列出 3n 个微分方 程， 联立求解它们即可。 实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题) 非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个 质点的运 动,仅需要研究质点系整体 的运动情况。 从本章起, 将要学习解答动力学问题的其它方法, 主要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导的其它一些定理)。

11.1 动量与冲量 11.2 动量定理 11.3 质心运动定理

11.1.1 动量 1. 质点的动量 质点的质量与速度的乘积 。 是瞬时矢量，方向与 相同。单位： kgm/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 2. 质点系的动量 质点系中所有各质点的动量的矢量和。

重力场中，质心与重心相重合。注意：重心只在地球表面附近才有意义，而质心在宇宙间依然存在。 质点系的质心： 质点系的质量中心。 是表征质点系质量分布情况的。 y z x O Mi C rC xC yC zC ri xi yi zi 质心 C 的坐标公式 重力场中，质心与重心相重合。注意：重心只在地球表面附近才有意义，而质心在宇宙间依然存在。

质点系的动量等于系统的质量与质心速度的乘积。 质心的速度： 质点系的动量等于系统的质量与质心速度的乘积。 A O w O w vO O

例1 椭圆规机构，OC＝AC＝CB＝l；滑块 A 和 B 的质量均为 m，曲柄 OC 和连杆AB 的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度  绕 O 轴旋转。求图示位置系统的总动量。 解法一：先计算各个质点的动量， 再求其矢量和。 AB =  vB A B w t C O w wAB D vC vA

解法二：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。 质点系的质心在 C 处，其速度矢量垂直于 OC，大小为： A B w t C O w 系统的总质量 p vC 总动量大小 方向沿 vC 方向

11.1.2 冲量 冲量：力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。 ⒈ 常力的冲量： ⒉ 变力（包括大小和方向的变化）的冲量： 元冲量: 冲量： 冲量 的投影：

⒊ 合力的冲量： 各分力冲量的矢量和

11.2.1 质点的动量定理 1 矢量形式 ⑴ 微分形式 质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力的主矢 ⑵ 积分形式 在某一时间间隔内，动量的增量等于作用于质点上的所有力在该时间内的冲量的矢量和。

2 投影形式 3 质点的动量守恒定律 若　　　 ，则　 常矢量，质点作惯性运动 若　　　 ，则　　 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动

11.2.2 质点系的动量定理　　　　　　　　　 1 矢量形式 (1) 微分形式 对质点系内任一质点 ， 对整个质点系： ——质点系的动量定理 质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。

(2) 积分形式 ——质点系的动量定理 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点 系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。

2 投影形式 3 质点系的动量守恒定律 若　　　 ，则　 常矢量 若　　　 ，则　　 常量 只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。

例2 电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为 m1，转子质量为 m2 。设定子的质心位于转轴的中心 O1，但由于制造误差，转子的质心 O2 到 O1 的距离 e 。已知转子以匀角速度 w 转动，求基础支反力。 解： （1）取电机外壳与转子组成质点系。 x y j w e O2 O1 （2）受力分析 p （3）运动分析： 质点系的动量 m1g m2g Fx Fy MO

电机不转时，基础只有向上的反力 ，称为静反力 由动量定理的投影式得： x y j w e O2 O1 p m1g m2g Fx Fy MO 电机不转时，基础只有向上的反力 ，称为静反力 电机转动时的基础反力可称为动反力。动反力与静反力的差值是由于系统运动而产生的，可称为附加动反力。

例3 炮车放炮。已知 （对地），求反冲速度 。 解：动点：炮弹，动系：固连在炮车上 在 x，y 方向投影 地面光滑， 可见 当 时

1. 不计空气阻力， ? 射程最远。 时，射程最远， 此时 2. 炮台放炮（高 h） ? 射程最远。 设炮弹落地速度为 (能量守恒) 可见 一定时。 大小一定，且 要使水平射程 最大。

只要 最大。 即图示矢量三角形面积最大。 因 边长一定。 必有 即 得 时， 水平射程最大。

11.3.1 质心运动定理 质点系运动不仅与所受的力有关，而且与质点系的质量分布情况有关。质量分布用质心来描述。因此有必要研究质心的运动规律。 质点系动量 质心运动定理：质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用于该质点系上所有外力的矢量和。

例4 已知：杆长 2l； m ； ；。求转轴 O 处的约束力。 解：取杆为研究对象 FOy FOx A O j C w a mg

11.3.2 质心运动守恒定理 （1）若 ，则 ，即 常矢量。 如果作用于质点系的所有外力的矢量和 (主矢) 始终等于零，则质心保持静止或匀速直线运动。 （2）若 ，则 ，有 常量。 作用于质点系的所有外力在某固定轴上的投影的代数和等于零，则质心速度在该轴上投影是常量。 若初瞬时质心的速度在该固定轴上的投影等于零，即： 常量

xC0 表示质心 C 在 t = 0 时的坐标，则： xC 表示质心 C 在任意瞬时 t 的坐标，则： 令 ，表示质点的坐标 的绝对改变量，则： ——质心守恒定理的位移形式

例5 静止的小船上，一人自船头走到船尾，人质量为m2，船的质量为 m1，船长 l，水的阻力不计，求船的位移。 解：（1）取人与船组成质点系为研究对象。 x y a b （2） 受力分析： 质心在水平轴上的坐标保持不变。 m2g m1g 走动前，质心坐标 ： s m1g m2g 走到船尾，质心的坐标：

例6 电动机没用螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀角速度w 转动时电动机外壳的运动。 解：（1）受力分析： j w e O2 O1 且初始为静止，xC 保持不变。 （2）设转子静止时 xC1 = a， x y m1g m2g 转子转过角度j 时，定子应向左移动，设移动距离为 s，则质心坐标为： s FN a 水平方向质心守恒：

转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。 xC1 = a j w e O2 O1 解得： x y m1g 转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。 m2g s FN 讨论：法向反力的最小值为： a 时： 表明：电动机未用螺栓固定，电动机将会离地跳起来。

The End