第 9 章 變壓器的原理及等效電路 學習重點 1.瞭解變壓器的原理。 2.熟練變壓器應電勢的計算。 第 9 章　變壓器的原理及等效電路 點此開啟動畫 學習重點 1.瞭解變壓器的原理。 2.熟練變壓器應電勢的計算。 3.熟練變壓器一次側與二次側的變壓比及變流比。 4.認識變壓器的等效電路。 5.瞭解標么值的定義及相關計算。

9-1 變壓器的原理 9-2 變壓器的等效電路 9-3 變壓器的標么值 本章彙總

9-1 變壓器的原理 在交流系統中，利用電磁效應及電磁感應原理，能將電能互換，或可變換電壓值大小的電機設備或裝置，稱為變壓器（Transformer）。 9-1.1 變壓器基本原理 變壓器的基本電路結構，主要可分成一次繞組（Primary winding）、二次繞組（Secondary winding）及鐵心（Core）三部分。 圖例 節目次

9-1.2 變壓器應電勢 1.原理 圖例 當變壓器二次繞組開路時，一次繞組若外接交流電源，則在磁路（鐵心）上會產生交變磁通 (t)＝msint。根據法拉第-楞次定律，一次繞組及二次繞組的感應電勢瞬時值分別為 e1(t) 及 e2(t)，即： e1(t)＝ 　 ＝－N1mcost＝ e2(t)＝ 　 ＝－N2mcost＝ 【註】二式中的負號 非正負值，代 表反電勢。

2.公式 由於兩繞組的感應電勢為交流電，故應以有效值 E1 及 E2 來計算表示，其值應為峰值 E1m 及 E2m 的　 ， 即：

3.公式的代號及單位 名稱 電源角速率 最大磁通量 一次繞組 匝數 二次繞組 匝數 電源頻率 代號  m N1 N2 f 單位 徑度／秒（rad/s） 韋伯（Wb） 匝 赫芝（Hz）

　　　1 某一理想變壓器，若設計其一次側額定電壓為 2000 伏特，二次側匝數為 250 匝，磁路中最大磁通量為 3×10－3 韋伯，頻率為 60 赫芝，試求：(1)一次繞組的匝數 N1；(2)二次側額定電壓 E2。 　 E1＝2000 伏特，f＝60 赫芝，m＝3×103 韋伯，N2＝250 匝 　 (1)∵ E1＝4.44N1 fm 　 　∴ N1＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝2500（匝） 　 (2) E2＝4.44N2 fm＝4.44×250×60×3×10－3 　　　　　　 ≒200（伏特）

9-1.3 變壓器匝數比、變壓比與變流比 1.公式 若一個理想變壓器的一次側與二次側電壓分別為 V1 及 V2，電流分別為 I1 及 I2 ，匝數分別為 N1 及 N2，則其變壓比 ap 為： 而理想變壓器的輸入容量 S1 與二次輸出容量 S2 相等，即 V1I1＝V2I2，故其變流比 ac 為： （a 為匝數比）

2.說明 由公式 9-2 可知，若一個變壓器的 N1＞N2 時，匝數比 a＞1，則 V1＞V2，此時變壓器為降壓變壓器，其一次側為高壓側，二次側為低壓側；反之，若 N1＜N2 時，a＜1，則 V2＞V1，此時變壓器為升壓變壓器，其二次側為高壓側，一次側為低壓側。

　　　2 某理想變壓器的匝數比 a＝10，輸入電壓 V1＝1000 伏特，若二次側負載電流 I2＝30 安培，試求：(1)一次側電流 I1 為多少安培？(2)二次側額定電壓 V2 為多少伏特？(3)變壓器輸出容量 S2 為多少伏安？ 　 a＝　 ＝10，V1＝1000 伏特，I2＝30 安培

　 (1)∵變流比 ac＝ 　　 ∴ I1＝　　　＝3（安培） 　 (2)∵變壓比 ap＝　　　 ＝a 　　 ∴ V2＝　　　　＝100（伏特） 　 (3) S2＝V2I2＝100×30＝3000（伏安）

9-1.4 無載變壓器 1.說明 當變壓器二次側為開路（即無負載）但達額定電壓 V2 時，一次繞組內會有很小的電流，稱為激磁電流（Exciting current），一般以 Io 表示。激磁電流 Io 主要由兩個部分所組成，一部分為產生磁通所需的電流，稱為磁化電流 Im，且 Im 與  同相； 另一部分為供應鐵心 損失所需的電流，稱 為鐵損電流 Ie，且 Ie 較  超前 90° 變壓器無負載時的相量圖

2.公式 變壓器無負載時的電流關係為：

3.應用 當變壓器無負載時，由於一次側的電流很小，故一次繞組的壓降也很小，此時一次繞組的外加電源電壓 V1 與應電勢 E1 可視為相等，而其無載功率因數為 coso，故可得變壓器的鐵損 Pi 為：

9-1.5 有載變壓器 1.原理 當變壓器二次側連接負載時，會有負載電流 I2 流過二次繞組，其大小與負載阻抗 ZL 有關，即： 由於負載電流 I2 流過二次繞組時所產生的磁動勢 N2I2，必然會與原磁路中的磁通相抵消，導致磁路中的總磁通量減少，此時兩繞組所感應產生的電勢 E1 及 E2 也會減低。而根據楞次定律，為了維持原來的狀態，一次繞組會有對應於 I2 的一次側負載電流 IL1 產生，故 I2 及 IL1 的關係為：

2.說明 (1)當變壓器的二次側連接負載時，磁路中的磁通係由三個部分所合成，包含一次繞組中的激磁電流 Io、負載電流 IL1 與二次繞組中的負載電流 I2 三個部分所產生的磁通，其中一次及二次繞組中的負載電流所產生的磁動勢會相互抵消，但須注意的是，此兩繞組各有部分的磁通並未與另一繞組交鏈，此一部分稱為漏磁（Leakage flux），即圖中所示之 1 及 2。 圖例

(2)變壓器因漏磁所產生的電感抗稱為漏磁電抗（Leakage reactance），在一次繞組稱為一次漏磁電抗 X1，在二次繞組則稱為二次漏磁電抗 X2；由於繞組係利用導線繞製而成，故其一次繞組及二次繞組的電阻可分別以 R1 及 R2 表示，而變壓器則可視為如圖所示之等效電路。

(3)電壓與電流關係則可以如圖所示之相量圖表示。 變壓器有負載時的相量圖

3.結論 依據變壓器等效電路及克希荷夫電壓定律（K.V.L.），可得變壓器一次側及二次側電路的關係如下： 【註】負號代表反 電勢，並非 負值。

　　　3 某變壓器無負載時，一次側電源外加電壓 V1 為 220 伏特，鐵損 Pi 為 40 瓦特，無載功率因數 coso 為 0.2，試求：(1)激磁電流 Io；(2)鐵損電流 Ie；(3)磁化電流 Im。 　 V1＝220 伏特，Pi＝40 瓦特，coso＝0.2 　 (1)∵ Pi＝V1Iocoso＝V1Ie 　　 ∴ Io＝　　　　　　　 ≒0.909（安培） 　 (2) Ie＝　＝Iocoso≒0.182（安培） 　 (3) Im＝Iosino＝ 　　　　　　　　　 ≒0.891（安培）

9-1.6 理想變壓器 綜前所述，一個理想變壓器應具有以下特點： 1.一次繞組與二次繞組均無電阻（即 R1＝0 歐姆，R2＝0 歐姆），故無銅損（即 Pc＝0 瓦特）。 2.鐵心導磁係數  為無限大，故無磁阻，且不需激磁電流，故無鐵損（即 Pi＝0 瓦特）。 3.無漏磁，因此一次繞組漏磁電抗 X1 及二次繞組漏磁電抗 X2 均為 0 歐姆。 4.無銅損及鐵損，故效率為 1，因此輸入等於輸出（即 V1I1＝V2I2）。 節目次

9-2 變壓器的等效電路 1.原理 基於實際變壓器較理想變壓器複雜，為了易於分析變壓器的電路特性，一般都會將變壓器的電壓、電流、功率、鐵損及銅損……等關係，用一個電流迴路的串並聯阻抗電路來表示，即為變壓器的等效電路。 節目次

2.公式 等效電路是理想變壓器的電壓與電流變化關係，若將二次側的電壓、電流與阻抗換算至一次側，再視其大小將一、二次側的線路合併，則可成為僅有電路參數的等效電路。 在等效電路中，變壓器仍維持一次側與二次側電路的分離型式，此時可藉由變壓器的匝比關係，將兩側電路合併，便於電路計算，即：

3.折算至一次側的等效電路 圖例 若要將變壓器的二次側（含負載）併入一次側，要先以一次繞組為參考匝數，再藉由公式 9-9 的推演即可得知，若要將二次側電路併入一次側時，二次側電路的內電壓要乘以 a 倍，電流要除以 a 倍，阻抗則須乘以 a2 倍，即：

4.折算至二次側的等效電路 圖例 (1)公式： 若要將變壓器的一次側（含電源）併入二次側的等效電路，則一次側電路的內電壓要除以 a 倍，電流要乘以 a 倍，阻抗須除以 a2 倍，導納則要乘以 a2 倍，即：

此外，亦可再進一步省略並聯的磁化電路，則可得如圖所示之電路。 (2)應用： 由於變壓器的電源和頻率是固定值，所以鐵損不會改變，同時因激磁電流 Io 比額定負載電流 IL1 小很多，故可將折算至一次側的並聯磁化電路左移，即可得如圖所示之電路。 此外，亦可再進一步省略並聯的磁化電路，則可得如圖所示之電路。 圖例 並聯磁化電路的電 流對一次阻抗所產生 的電壓降非常小，故為方便計算，可加以省略，且不致發生誤差。 圖例

5.結論 (1)由前述可知，若以省略磁化電路後的電路為例，則當變壓器折算到一次側時，可定義等效阻抗為 Ze1，等效電阻為 Re1，等效電抗為 Xe1，即：

(2)當折算到二次側時，可定義等效阻抗為 Ze2，等效電阻為 Re2，等效電抗為 Xe2，即：

　　　4 某變壓器的一次繞組電阻為 0.1 歐姆，二次繞組電阻為 0.001 歐姆，匝數比為 10，若換算成一次側等效電阻 Re1 及二次側等效電阻 Re2，則分別為若干歐姆？ 　 R1＝0.1 歐姆，R2＝0.001 歐姆，a＝10 　 (1) Re1＝R1＋a2R2＝0.1＋102×0.001＝0.2（歐姆） 　 (2) Re2＝　　　　　　　　 ＝0.002（歐姆） 節目次

9-3 變壓器的標么值 1.說明 電力系統均由多個電工機械所構成，如發電機、變壓器、電動機……等，因此從電源端到負載端，各階段的電壓、電流值皆不相同，而阻抗又太小，所以要計算電力系統的電路特性時便會非常繁雜。 為了使整個電力系統的計算較為簡便，通常會在各階段選定某個容量、電壓、電流及阻抗的數值作為基準值（Base value）。而電路中各元件的實際容量、電壓、電流及阻抗值，與選定之基值的比值，則稱為標么值（Per unit value，pu 值）。 節目次

2.分類 (1)基準值可分為： ①容量基值（Sbase＝Sb）。 ②電壓基值（Vbase＝Vb）。 ③電流基值（Ibase＝Ib ）。 ④阻抗基值（Zbase＝Zb）。 (2)標么值可分為： ①容量標么值（Spu）。 ②電壓標么值（Vpu）。 ③電流標么值（Ipu）。 ④阻抗標么值（Zpu）。

3.關係 標么值是一種比 值，所以沒有單位。

9-3.1 基值的推導 基值的推導通常只要選定任意兩個基值，其他基值即可相互推導而得，即：

9-3.2 標么值 在電機領域中，標么值可分為下列各種情況： ①容量標么值 Spu＝ ②電壓標么值 Vpu＝ ③電流標么值 Ipu＝ ④阻抗標么值 Zpu＝ 標么值的計算與相數、一次、二次、Y 接或△接均無關係，即均相同。

9-3.3 電力系統更換基準時阻抗標么值的計算 電力系統的電路特性計算一般會以標么值來表示，但實際運用時，若基值改變，其標么值的計算結果會不同，因此最好能簡化其基值改變的影響，以方便計算。假設 Zpu 為原阻抗標么值，Zpu' 表改變基值後的阻抗標么值，即：

　　　5 一具 500 仟伏安容量的單相變壓器，一次側額定電壓為 22.8 仟伏，設變壓器依此為基值時的阻抗標么值為 0.02，則其實際阻抗值應為若干歐姆？ 　 容量基值 Sb＝額定容量 Sn＝500 仟伏安 電壓基值 Vb＝一次額定電壓 V1＝22.8 仟伏 阻抗標么值 Zpu＝0.02 　 ∵阻抗基值 Zb＝　　　　　　　 ≒1040（歐姆） 　 　阻抗標么值 Zpu＝ 　 ∴實際阻抗值 Ze1＝ZbZpu＝1040×0.02＝20.8（歐姆）

　　　6 某單相變壓器，其額定值為 100 仟伏安，2.2 仟伏／220 伏特，由高壓側得的等值阻抗為1歐姆，試求：(1)以高壓側額定值為基值時，其阻抗標么值為多少？(2)以低壓側額定值為基值時，其阻抗標么值為多少？ 　 (1)以高壓側為額定基值時 Sb＝Sn＝100 仟伏安，Vb＝V1＝2.2 仟伏，Ze1＝1 歐姆 　 　 Zb＝　　　　　　　＝48.4（歐姆） 　 　∴ Zpu＝　　　　 ≒0.02

(2)以低壓側為額定基值時 Sb＝Sn＝100 仟伏安，Vb＝V2＝220 伏特 　 　 Ze2 ＝　　　　　　　 ＝0.01（歐姆） 　 　 Zb＝　　　　　　＝0.484（歐姆） 　 　∴ Zpu＝　　　　　≒0.02 【註】比較(1)及(2)的答案，以標么值計算時，無論是高壓側或低壓側，其值的大小均相同；但以實際值計算時，其一次側與二次側的等值阻抗是不相同的（Ze1＝1 歐姆， Ze2＝0.01 歐姆），故其他特性的計算亦不相同，由此可知用標么值計算必然更為簡便。 節目次

7 承上題，若改為 200 仟伏安、4.4 仟伏／440 伏特，高壓側等值阻抗為1歐姆，則其阻抗標么值應為多少？ 　　　7 承上題，若改為 200 仟伏安、4.4 仟伏／440 伏特，高壓側等值阻抗為1歐姆，則其阻抗標么值應為多少？ 　 ∵ Sb'＝200 仟伏安，Vb'＝4.4 仟伏 　 ∴ Zpu＝　　　　　　　　　　　　　 ＝0.01

本章彙總 1.變壓器的原理： (1) E1＝4.44N1 fm E2＝4.44N2 fm (2) 變壓比 ap＝ 變流比 ac＝ (3) 　 Ie＝Iocoso　Im＝Iosino (4) Pi＝E1Ie＝E1Iocoso＝V1Iocoso 節目次

本章彙總 2.變壓器的等效電路： (1) Re1＝R1＋a2R2 Re2＝ (2) Xe1＝X1＋a2X2 Xe1＝ (3) Ze1＝　　　　　　Ze2＝ (4) I1＝ 節目次

本章彙總 3.變壓器的標么值： (1) Spu＝ Vpu＝ Ipu＝ Zpu＝ (2) Zpu'＝ (3) Sb＝VbIb＝Ib2Zb＝　　 Vb＝IbZb＝ 　 Ib＝　　　　　　　Zb＝ 節目次

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變壓器的基本構造 構造名稱 一次繞組 （Primary winding） 二次繞組 （Secondary winding） 鐵心 （Core） 原線圈，初級線圈 副線圈，次級線圈 主要功用 連接電源以產生磁通 因磁通切割而產生感應電勢，並連接負載 支撐線圈並構成磁路，使一次繞組的磁通能交鏈到二次繞組 變壓器的電路構造示意圖 變壓器的電內部構造 BACK

變壓器的感應電勢 BACK

公式推導 補充一 由於 V1＝E1＝ ，V2＝E2＝ ， 故可推得變壓比 ap＝ ＝匝數比 a。 BACK 補充一 無論是升壓或降壓變壓器，其高壓側的電流 必然較小，低壓側的電流則較大。 BACK

變壓器的漏磁示意圖 BACK

公式推導 BACK

折算到一次側的等效電路圖 BACK

折算到二次側的等效電路圖 BACK

並聯磁化電路左移後的電路圖 BACK

省略磁化電路後的電路圖 BACK

公式推導 BACK