非線性系統動力學 陳慶瀚 機器智慧與自動化技術(MIAT)實驗室 義守大學電機系 pierre@isu.edu.tw 2005年10月7日 產業研發碩士專班課程 陳慶瀚 機器智慧與自動化技術(MIAT)實驗室 義守大學電機系 pierre@isu.edu.tw 2005年10月7日
本週主題 線性系統 非線性系統 混沌 混沌的特性
線性系統
動態系統方程式 Xt+1= f (Xt) X : 系統狀態 t : 離散時間 f : 函式
迭代：系統演化 Xt+1= rXt X0 : 系統初始狀態 X1 =rX0 X2 =rX1=r2X0 X3 =rX2=r2X1=r3X0 …………
線性系統的行為 衰減(decay)行為 成長(growth)行為 Xt+1= 1.1Xt Xt+1= 0.9Xt X0= 100
線性系統的行為 Xt+1= 1.0Xt Xt+1= -1.0Xt X0= 100 週期(periodic)行為 穩態(steady-state)行為 Xt+1= 1.0Xt Xt+1= -1.0Xt X0= 100
非線性系統
Quadratic map Xt+1= rXt (1-Xt) Logistic Equation : X : 系統狀態 t : 離散時間
非線性系統的穩態行為 Xt+1= 0.15Xt (1-Xt) Xt+1= 2.9Xt (1-Xt)
非線性系統的週期行為 週期=2 週期=4 Xt+1= 0.33Xt (1-Xt) Xt+1= 0.29Xt (1-Xt)
非線性系統的非週期行為 Xt+1= 4.0Xt (1-Xt)
渾沌(Chaos)
Logistic Map Xt+1= rXt (1-Xt)
Logistic Map Xt+1= rXt (1-Xt)
Logistic Map Xt+1= rXt (1-Xt) r = 3.2 Two points attractor
Logistic Map r = 3.45, 4-point attractor Xt+1= rXt (1-Xt)
Logistic Map r = 3.99
Bifurcation Diagram
Sensitivity to initial conditions
Sensitivity to initial conditions
Sensitivity to initial conditions
相位空間
初始狀態的影響
時間序列的觀點
buckling column model
Attractors in buckling column model If there is friction (c>0), and mass is small heavy mass
Basins of attraction
Basins of attraction
渾沌的特性
內在的隨機性 傳統的決定性系統的行為是明確、規律，可以藉由因果性來加以掌握，渾沌雖然來自決定性系統，但是它的內在的隨機性使其展示無規律的行為。
不可預測性 渾沌系統對於初值極為敏感，系統的演化過程中，一個微小的誤差或干擾，很可能造成演化方向極端的差異，即所謂的「差之毫厘，失之千里」，這種對於初值得敏感性使得系統的長時間預測成為不可能。
在有序與無序邊緣 渾沌不是一般意義下的有序，因為它具有無規律的行為模式，但它也不是無序，因為它是由決定論系統所產生。我們可以說，渾沌是一種複雜的有序，開始的時候，決定論系統呈現明確的週期性運動，逐漸隨著演化的過程，此一週期性受到侵蝕破壞，最後形成非週期性的渾沌狀態，然而在此一狀態過程，可能會出現一段穩定的週期運動，然後再陷入渾沌，呈現一種複雜的有序狀態。
結語 傳統的社會價值總是將有序視為有組織、秩序和文明的表徵，而把無序視為無組織、混亂、落後的表徵。渾沌理論讓我們了解到，有序可能朝向無序的方向演化，渾沌來自有序，朝向無序，又可以產生有序。