F F F F F F F 第二章 连续时间信号与系统的时域分析 本章要点 常用典型信号 连续时间信号的分解 连续时间系统的数学模型 连续时间系统的时域模拟 F 连续时间系统的响应 F 单位冲激响应 F 卷积

2.1常用典型信号 一．实指数信号 函数表示式为： 图2.1实指数信号的波形

二．复指数信号 函数表示式为: 由欧拉公式，可得 图2.2 复指数信号实部和虚部的波形

、 根据 的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号： 1．当 时， 为直流信号； 2．当 而 时， 为实指数信号； 3．当 而 时， 称为正弦指数信号， 的周期信号。 不难证明 是周期为

三．抽样信号 抽样信号 定义为 图2.3 抽样信号

可以看出，（1） 为偶函数； （2）当 时， 的振幅衰减趋近于0； ，（k为整数）； （3） 信号满足：

2.1常用典型信号 奇异函数——是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续 点的函数。 四、单位阶跃函数 unit step function 1.定义 此函数在t=0处不连续，函数值未定义。

。 2. 可代替电路中的开关，故又称为开关函数

3.、 给函数的表示带来方便 t t

(a) (b) (c)

五、单位脉冲函数 1、定义

2. = +

六、符号函数Sgn(t) 1.定义 2.

七、单位斜变函数R(t) 1.定义

八. unit impulse function 1、定义 （1）

或

2. 的基本性质 (1)筛选性:设f(t)为一连续函数，则有 (2) 是偶函数

(3)冲击函数 的积分等于阶跃函数

九、 1、定义

t t

2、

引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，例如：

2.2 连续时间信号的分解 分解——将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。 例1.有始周期锯齿波的分解 time domain decompose of signal 分解——将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。 例1.有始周期锯齿波的分解

例2.任意函数表示为阶跃函数的积分 F动画演示 F

例3.任意函数表示为冲激函数的积分. F F动画演示

2.3 连续时间系统的数学模型 一、线性时不变系统的分析方法 第一步：建立数学模型 第二步：运用数学工具去处理 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。 例一：对图示电路列写电流 的微分方程。

解：由两类约束关系，分别列两回路方程得： 回路1的KVL方程：

回路2的KVL方程： 电阻R的伏安关系： 整理后得：

例2. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。 解：由图列方程 KVL: KCL:

将（2）式两边微分，得 将（3）代入（1）得

*由以上例题可以得出如下结论： 1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。 例一：含有4个储能元件，故为四阶电路。 例二：含有2个储能元件，故为二阶电路。 2.无论是电流i(t)或电压U（t）,他们的齐次方程相同。 说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。

二、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述： n阶常系数微分方程

三、n阶常系数微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nth-order 微分方程求解 时域分析法 （经典法） 变换域法 （第五章拉普拉斯变换法） 全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解 （自由响应） （受迫响应） 全响应= 零输入响应 + 零状态响应 （解齐次方程） （叠加积分法）

2.4 连续时间系统的时域模拟

①加法器:

②标量乘法器: ③乘法器： 4 延时器：

5 初始条件为零的积分器 初始条件不为零的积分器

2.5 连续时间系统的响应 描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是n阶线性常系数微分方程。 上式缩写为： the time domain solution for linear system response 描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是n阶线性常系数微分方程。 上式缩写为：

令

式中常数 由初始条件确定。 表2.1不同特征根所对应的齐次解

特解 激励 A 或 特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表2.2列出了几种激励及其所对应特解的形式。 B（常数） A A（待定常数） 备注 B（常数） A A（待定常数） 不等于特征根 等于特征单根 重特征根 所有特征根均不等于零 重等于零的特征根 特解 激励 A 等于 有 或 所有特征根均不等于

y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= －1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 ,其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 齐次解为y h(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 由表2.2可知，当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 Y P(t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为yp(t) = e – t 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t

y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解y(t) = 3e – 2t – 2e– 3t + e – t , t≥0 （2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重。 由表2.2知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得 P1e-2t = e–2t , 所以P1= 1 但P0不能求得。 全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0

解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。 三．零输入响应和零状态响应

自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 式中 自由响应 零输入响应 零状态响应的齐次解

两种分解方式的区别： 1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同 与 不相同 由初始状态和激励共同确定 由初始状态确定 1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同 与 不相同 由初始状态和激励共同确定 由初始状态确定 2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解 对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指 时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指 时，响应不为零的那部分响应分量。

2.6 单位冲激响应 一.冲激响应 1.定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响 应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。 1.定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响 应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。 step response and impulse response 零状态

2. h(t)的求解方法 例1.描述某系统的微分方程为: 试求该系统的冲激响应h(t)。 解：由冲激响应的定义，当e(t)= 时，

试求该系统的冲激响应h(t)。

解：

二、阶跃响应 1.定义

2.g(t)的求解方法 另外：

解

2.7 卷 积 一、杜阿美尔积分

2.8 卷积及其性质 integral and the property 1.定义：

2.卷积的图示

0.5

下页动画演示卷积

卷积动画

例 2.7 –2 给定信号 求y(t)=f1(t)*f2(t)。 图 2.2 – 1 f1(t)和f2(t)波形

图 2.2 – 2 卷积的图解表示

当t<0时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(c)所示，对任一τ，乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。 当0<t<3时，f2(t-)波形如图2.7- 2(d)所示。

当t>3时，f2(t-τ)波形如图2.7-2(e)所示，此时，仅在0<τ<3范围内，乘积f1(τ)f2(t-τ) 不为零，故有

3.卷积的性质 (1)交换律： (2)分配律： (3)结合律：

4.卷积的微分性质 5.卷积的积分性质 6.由4.5两性质可得

7.函数与冲激函数的卷积 8.函数延时后的卷积

9.函数与阶跃函数的卷积 10.相关与卷积 相关运算定义

例2、

解： 由微分性 延时性

解： 问： 作业：2.17(a)(c) .2.20 .2.21(b)