理解向量的平行或垂直如何反映空间中线线、线面、面面的平行关系，会用向量解决空间中平行关系的问题．
重点：用直线的方向向量与平面的法向量来表示空间中的平行关系；共面向量定理与线面平行的联系． 难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．
1．正确理解向量共线与直线平行的关系，注意重合的情形． 2．正确理解向量共面与线面平行的关系，注意直线在平面内的情形． 3．注意平面的法向量平行与平面平行的关系，注意平面重合的情形．
1．设直线l1、l2的方向向量分别为a、b. l1∥l2或l1与l2重合⇔ ⇔存在实数t，使a＝ . 2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a＝ ⇔a·n＝ . 3．设平面α、β的法向量分别为n1、n2. α∥β或α与β重合⇔ ⇔存在实数t，使 . 4．若v1、v2是与α平行的两个不共线向量． 则α∥β或α与β重合⇔v1 β且v2 β⇔存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a＝ . a∥b tb λv1＋μv2 n1∥n2 n1＝tn2 ∥ ∥ λv1＋μv2
[例1] E、F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．
∴四边形B1EDF是平行四边形．
正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD. [证明] 以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系如图．
[例2] 如图，两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，M、N分别是BD、AE上的点，且AN＝DM [例2] 如图，两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，M、N分别是BD、AE上的点，且AN＝DM.求证：MN∥平面EBC.
(2)证明直线l∥平面α时， ①可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0； ②可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可； ③在平面α内找两点A、B，证明直线l的方向向量n∥. (3)证明平面α∥平面β时，设α、β的法向量分别为a、b，则只须证明a∥b.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
[例3] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点． 求证：平面A1DB∥平面EFG. [证明] 以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．求证：平面A1BD∥平面CD1B1.
令z＝1，得x＝－1，y＝1. ∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)． 设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
[辨析] 利用向量共面的充要条件，也可考虑利用向量共面的定义来证明．
∴四边形BEFG为平行四边形． ∴EF∥BG. ∴EF∥平面A1BD. 同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD.
[答案] C
2．直线l1的方向向量为v1＝(1,0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2,0,2)，则直线l1与l2的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定 [答案] D [解析] 显然v2＝－2v1，故l1与l2平行或重合．
[答案] C
二、填空题 4．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________． [答案] l∥α或l⊂α [解析] u·v＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l∥α或l⊂α.
5．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，若a∥b，则x＝________. [答案] －6