第五章 大数定律及中心极限定理 与 大数定律 中心极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说,要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象,常常采用极限形式,由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛,其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 §2 中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理 本章要解决的问题 答复 大数 定律 中心极 限定理 下面先介绍大数定律 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 大数 定律 为何能以均值作为期望的 估计？ 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 中心极 限定理 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 下面先介绍大数定律

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 大数定律的定义 切比雪夫大数定律 贝努里大数定律 辛钦大数定律

问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么 以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的 次数足够多，总可以达到要求的精度？ 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么 以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的 次数足够多，总可以达到要求的精度？ 这里反映了什么样的客观统计规律呢？ 我们把这问题给出数学表达： 如果工件的真值为

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 测量的经验就是： 即大量测量值的算术平均值具有稳定性。 这就是大数定律所阐述的。

§1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 一、定义 定义1 若对任意 想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 定义2 对任意

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 定理1 （契比雪夫大数定律） 且具有相同的数学 期望及方差，

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 证： 由切比晓夫不等式得： 思考：能否把定理中独立性条件减弱？

即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数. 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 关于定理1的说明: （这个接近是概率意义下的接近） 即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数.

定理2（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律) §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理2（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律) 证：令

该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由定理1有 该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。

§1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 关于伯努利定理的说明: 故而当n很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.

注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 定理3（辛钦大数定律） 且具有数学期望 注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 思考：比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的 差别及强弱。

小结 契比雪夫大数定理 伯努利大数定理 三个大数定理 辛钦定理 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 小结 契比雪夫大数定理 三个大数定理 伯努利大数定理 辛钦定理 　　频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.

§2 中心极限定理 定义 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛-拉普拉斯定理 用频率估计概率时误差的估计 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 定义 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛-拉普拉斯定理 用频率估计概率时误差的估计

第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 一、定义

中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 二、中心极限定理 定理1 （独立同分布的中心极限定理） 中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。

设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 例1 一加法器同时收到20个噪声电压， 设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记

第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。 例2 解： 设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于0.977。 由中心极限定理有

第五章 大数定律及中心极限定理 例5（续） 因此最多可装 98 箱，保障不超载的概率大于0.977。

第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 定理2 （李雅普诺夫定理） (Liapunov定理) 则 服从中心极限定理，即：

定理3（德莫佛-拉普拉斯定理） (De Moivre--Laplace) 证明：由二项分布和两点分布的关系知 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 定理3（德莫佛-拉普拉斯定理） (De Moivre--Laplace) 证明：由二项分布和两点分布的关系知 其中 相互独立且都服从于两点分布，且 由定理1有结论成立。

说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 推论： 说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。

个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有 85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。 例3 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每 个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有 85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。 例3 解： 设X是损坏的部件数， 则 X~B(100,0.1)。 则整个系统能正常工作当且仅当 由德莫佛-拉普拉斯定理有

要供给这个车间多少电力才能以99.9%以上的概率保证这个车间正常生产。 例4 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 车间有200台车床，它们独立地工作着，开 工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少 要供给这个车间多少电力才能以99.9%以上的概率保证这个车间正常生产。 例4 解： 记某时刻工作着的车床数为 X， 则 X ~B(200,0.6). 设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概 率保证这个车间正常生产。由题意有

第五章 大数定律及中心极限定理 即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。

§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 用频率估计概率时误差的估计： 由上面的定理知 用这个关系式可解决许多计算问题。

第一类问题是 第二类问题是 问最少应做多少次试验？ 这时只需求满足下式的最小的 n, 第三类问题是 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 第一类问题是 第二类问题是 问最少应做多少次试验？ 这时只需求满足下式的最小的 n, 第三类问题是

比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种 粒数在哪个范围内？ 例5 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 　 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能 以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的 比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种 粒数在哪个范围内？ 例5 解： 由德莫佛-拉普拉斯定理

第五章 大数定律及中心极限定理 故近似地有

§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 良种粒数X的范围为

1)大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比 晓夫大数定律； 第五章 大数定律及中心极限定理 主要内容： 1)大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比 晓夫大数定律； 2)中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限 理和德莫佛-拉普拉斯定理及应用。 要求： 1) 了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛 钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。 2) 理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌 握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉 斯定理， 会利用中心极限定理解决一般实际应 用问题。

第五章 大数定律及中心极限定理 作业： P126-127: 1, 4, 5, 8, 11