第三节 泰勒 ( Taylor )公式 — 应用 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 第三章 理论分析 用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式 : x 的一次多项式 特点: 以直代曲 如何提高精度 ? 需要解决的问题 如何估计误差 ?
1. 求 n 次近似多项式 要求: 令 则 故
2. 余项估计 令 (称为余项) , 则有
泰勒中值定理 : 阶的导数 , 则当 时, 有 ① 其中 ② 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 运行时, 点击按钮“泰勒”, 或相片 , 可显示泰勒简介,演示结束自动返回. 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 ③ 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 ④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . * 证明见江泽坚“数学分析”（上册）。
特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见 误差
在泰勒公式中若取 则有 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式 若在公式成立的区间上 则有误差估计式 运行时, 点击按钮“麦克劳林” , 或 相片 , 可显示麦克劳林简介, 演示结束自动返回. 若在公式成立的区间上 则有误差估计式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中
其中
类似可得 其中
其中
已知 类似可得 其中
三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
2. 利用泰勒公式求极限
内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 ) 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 , (3) 其他应用 求极限. 运行时, 点击按钮“例如”, 或 “例如…“ 即可显示动画
思考与练习 计算 解: 原式