第四章 線性規劃：敏感度分析與電腦報表解讀 電腦解-Lindo 敏感度分析簡介 改變一個參數 同時改變 4-1

線性規劃問題的電腦解 (1/5) 重新檢視第三章力新問題： Max 9X + 10Y 總利潤 Subject to (s.t.) 4-2

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線性規劃問題的電腦解(2/5) 在最佳解右方的欄位為決策變數的「削減成本」，表示決策變數的目標函數係數要「改善」多少，才能使決策變數出現正值。 此題共有四條<=限制式，從圖可知前兩個限制式為束縛限制式，其「寬裕值」均為0(亦即資源全部用完)；後兩個限制式其寬裕值分別為：組裝1270小時、檢裝720小時的未用人力。 4-5

線性規劃問題的電腦解(3/5) 「對偶價」(Dual prices)：其意義為該限制式不等式「右側值」每增加一單位，目標值「改善」量。 OBJ COEFFICIENT RANGES：其意義為只要目標函數中決策變數的係數在此範圍內變動，則最佳解(decision variables)不變，此範圍稱之為「最佳化範圍」 RIGHTHAND SIDE RANGES：其意義為只要右側值在此範圍內變動，則限制式之對偶價不變；此範圍又稱之為可行性範圍 4-6

重要對偶性質 ＜＝限制式 ←→ DP >=0 束縛限制式 ←→ DP ≠ 0 >＝限制式 ←→ DP <=0 4-7

線性規劃問題的電腦解(4/5) C2目前係數 = 10.000000 可允許增量  5.75 可允許減量 = 2.29 最佳化範圍上限 = 10.00 + 5.75 = 15.75 最佳化範圍下限 = 10.00 – 2.29 = 7.71 C2最佳化範圍為： 7.71  C2  15.75 4-8

線性規劃問題的電腦解(5/5) 以第一條限制式(切染部門)的對偶價U1為例： 目前右側值 = 4220.000000 可允許增量 = 1041.666748  1041.66 可允許減量 = 1200.000000 可行性範圍上限 = 4220.00 + 1041.66 = 5261.66 可行性範圍下限 = 4220.00 – 1200.00 = 3020.00 U1可行性範圍為：3020.00  RHS1  5261.66 4-9

敏感度分析簡介 「敏感度分析」(Sensitivity Analysis) 是探討線性規劃問題中參數係數的改變，如何影響最佳解。 由於此項分析是在已經求得最佳解的情況下，探討參數係數改變對於最佳解的影響，故又稱之為「後最佳化分析」 兩大類： 與　 第一類：求最佳範圍（電腦報表及圖形分析） 例如: (7.71  C2  15.75) 4-10

一次改變一個參數(1/5) 題目請見課本p92 範例4.1（Y-型球袋單位利潤10元有誤，應為12元 ） 【解】 變數Y之係數C2最佳化範圍：7.71  C2  15.75 因新單位利潤12元仍在範圍內，故最佳解不變，仍為X*=250，Y*=460 新目標函數 = 9X* + 12Y* = 9(250) + 12(460) = 7770(元)所以，目標函數已經從6,850元增加920(=2460)元至7,770元。 4-11

一次改變一個參數(2/5) 題目請見課本p92 範例4.2（Y-型球袋單位利潤改為7元 ） 【解】 因Y-型球袋單位利潤7元超出最佳化範圍：7.71  C2  15.75 故最佳解可能已改變，必須重解線性規劃模型。如圖4.2示，最佳解為X=538(個)，Y=124(個)，目標函數值為5,710元。 4-12

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一次改變一個參數(3/5) 第二類：對偶價及可行性範圍(課本p93 範例4.3) 人事部門可多提供9人工小時, 如何安排? 【解】 當限制式右側值改變時，對偶值愈大，則目標函數的改善愈大。 發現第二條限制式的對偶值0.92元為最大，可知四個部門當中，以增加縫合部門每單位(分鐘)人力，可增加0.92元的獲利為最高，其次為切染部門的0.64元，另外兩個部門皆為0元。 4-14

一次改變一個參數(4/5) 第二條限制式U2的可行性範圍為：3617.15  RHS2  5110.00 縫合部門增援後可用人力為4510 + 540 = 5050(分鐘)，仍然在可行性範圍內，故知其對偶值0.92(元/分鐘)不變，則所增加的最大利潤為：5400.92 = 496.8(元)，增加人力後的總利潤：6850 + 496.8 = 7346.8(元)。 4-15

一次改變一個參數(5/5) 【解】 題目請見課本p94 範例4.4(若縫合部門增加20小時的人力) 縫合部門增援後總人力 = 4510 + 1200 = 5710(分) 因5,710分超出範圍：3617.15  U2  5110.00，須重新求解。 最佳解X*=418(個)，Y*=364(個)，目標值為7,402元。 增援20小時力的貢獻：7402 – 6850 = 552(元)。每分鐘的貢獻利潤為：552/1200 = 0.46(元/分鐘) 4-16

一次可同時改變多個參數(1/10) 在實務上，管理者作敏感度分析時，可能必須考慮一次同時改變多個參數，其可能的情況有以下三種： 同時改變多個目標函數係數 同時改變多個限制式右側值 同時改變多個目標函數係數以及限制式右側值 先介紹會用到的兩項法則： 目標函數係數改變的100%法則 限制式右側值改變的100%法則 4-17

一次可同時改變多個參數(2/10) 題目請見課本p95 範例4.5 (X-型與Y-型球袋單位利潤分別改為8元與12元 ) 【解】由圖4.1可算出： X之係數C1最佳化範圍為：5.72  C1  11.66 Y之係數C2最佳化範圍為：7.72  C2  15.75 8元與12元分別在C1與C2的最佳化範圍內，同時改變兩個係數必須計算其總係數改變率是否超過100%。 4-18

一次可同時改變多個參數(3/10) C1從9減為8，減量為1，可允許減量為3.285714則X係數改變率 = 1/3.2857  0.3043 = 30.43% C2增量為2，可允許增量為5.750000則Y係數改變率 = 2/5.7500  0.3478 = 34.78% 總係數改變率  30.43% + 34.78% = 65.21% < 100% 故最佳解不變，仍X*=250，Y*=460。新目標函數 = 8X + 12Y = 8(250) + 12(460) = 7520(元) 目標函數從6,850元增加670元至7,520元。 4-19

一次可同時改變多個參數(4/10) 題目請見課本p96 範例4.6 (X-型與Y-型球袋單位利潤分別改為11元與9元 ) 【解】 11元與9元分別在C1與C2的最佳化範圍內，由於同時改變兩個係數，必須計算其總係數改變率是否超過100%。 C1增量為2元，可允許增量2.666667，則變數 X係數改變率 = 2/2.6667  0.7500 = 75.00% 4-20

一次可同時改變多個參數(5/10) C2減量為1元，可允許減量2.285714，則變數Y的係數改變率 = 1/2.2857  0.4375 = 43.75% 總係數改變率  75.00% + 43.75% = 118.75% > 100% 故最佳解可能已經改變，必須重解線性規劃模型，以求得新的最佳解。 最佳解為X*=538(個)，Y*=124(個)，目標函數值為7,034元。 4-21

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一次可同時改變多個參數(6/10) 題目請見課本p97 範例4.7(支援切染與縫合兩部門分別可多提供7與5人工小時) 【解】 420分鐘與300分鐘在U1與U2的可行性範圍內，同時改變兩個右側值，必須計算其總右側值改變率是否超過100% RHS1增加420(分)，可允許增量為1041.6667，則RHS1改變率 = 420/1041.6667  0.4032 = 40.32% 4-23

一次可同時改變多個參數(7/10) 因RHS2增加300(分鐘)，可允許增量為600.0000，則RHS改變率 = 300/600.0000  0.5000 = 50.00% 總右側值改變率  40.32% + 50.00% = 90.32% < 100% 故知所有對偶價不變。則約可替公司增加利潤 = 420(0.64) + 300(0.92) = 544.8。 4-24

一次可同時改變多個參數(8/10) 題目請見課本p98 範例4.8(人事部門考慮將切染部門的人力調撥8人工小時至縫合部門 ) 【解】 單位換算：8小時 = 480分 480分都在U1與U2的可行性範圍內，同時改變兩個右側值，必須計算其總右側值改變率是否超過100%。 RHS1減少480(分)，可允許減量為1200.0000，則RHS1右側值改變率 = 480/1200.0000  0.4000 = 40.00% 4-25

一次可同時改變多個參數(9/10) 因RHS2增加480(分)，可允許增量為600.0000，則RHS2右側值改變率 = 480/600.0000  0.8000 = 80.00% 總右側值改變率  40.00% + 80.00% = 120.00% > 100% 原對偶價可能已經改變，故必須重新求解。 如圖4.5所示，最佳解為X*=466(個)，Y*=268(個)，目標函數值為6,874元。此人力調度，確實可為公司增加獲利。 4-26

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一次可同時改變多個參數(10/10) 題目請見課本p99 範例4.9 (Y-型球袋單位利潤為12元，切染與縫合兩部門分別增加7與5小時之人力 ) 【解】 如圖4.6所示，最佳解為X*=233(個)，Y*=529(個)，目標函數值為8,454元。切染與縫合兩限制式的對偶價皆已改變，分別為1.2(元/分鐘)與0.6(元/分鐘)。 4-28

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HW All (self-practice for exam practice) 4-30

1st HW Hand-in HW Problems: Due date: Three weeks from today(4/20) Ch03: 4, 9 ch04:3, 4, 5 Due date: Three weeks from today(4/20) Policy: Late hw is not allowed. Individual hw which means a copy hw will not be graded. 4-31