Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 兩個空間向量的外積 The Cross Product of Two Vectors in Space 11.4 Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.
學習目標 求空間中兩向量的外積 運用向量的三重純量積(triple scalar product)
外積 The Cross Product
外積 在物理學、工程學、幾何學上，有許多運用關於「已知兩空間向量，求垂直向量」。 我們將學習外積來求此向量。 外積是一種極為容易用單位向量式來定義與計算。 因為它計算的結果是向量，所以它又被稱做向量積。
外積 定義: 空間向量的外積 令 、 ， 則兩向量的外積是
外積 一種便利的方式去計算u × v 就是使用行列式餘因式展開的方法。
外積 記得減號符號在j分量前。 任何2 × 2 行列式都可以用對角線的型式計算。 以下有兩個計算的例子:
例題 1 – 計算外積 設u = i – 2j + k 和 v = 3i + j – 2k，求出下列問題的外積。 u × v b. v × u c. v × v 解:
例題 1 – 解 cont’d 注意(b)的答案和(a)僅差一個負號。
外積 定理11.7: 外積的代數性質 設u、v、w為三個空間向量，c為純量。
外積 定理11.8: 外積的幾何性質 設u、v為空間中非零向量， 為u、v的夾角。 垂直於u、v。 。 u與v平行。 以u、v為鄰邊構成的平行四邊形面積。
外積 u × v 和 v × u 都會和 u 、 v所構成的平面垂直。 其中一種記住 u、v 和 u × v方向的方法是比較單位向量 i、j和 k = i × j，如圖11.36。 u、v 和 u × v 這三個向量構成了一個右手系統， 然而 u、v和 v × u 構成了左手系統。 Figure 11.36
例題 2 – 使用外積 找出一個單位向量會與下列兩個向量垂直 : u = i – 4j + k v = 2i + 3j 解: u × v的外積如圖11.37表示，它與u 和 v 垂直。 Figure 11.37
例題 2 – 解法 cont’d 因為 所以垂直於 u 和 v 的單位向量為:
外積 在物理學上，外積可以被用來測量扭力矩(torque)—力 F施於點 P的力矩(moment)M, 如圖 11.39所示。 施力點在 Q,，則 F 在 P 點造成的力矩為 力矩M的大小告訴著我們向量 繞著向量M逆時針旋轉的傾向。(用右手定則) Figure 11.39
The Triple Scalar Product 三重純量積 The Triple Scalar Product
三重純量積 給定空間向量 u、v、 w ，則 u 和 v × w的內積 u (v × w) 被稱作三重純量積。 定理11.9: 純量三重積 設三向量 、 、 與 ， 則它們的三重純量積為:
三重純量積 如果u、 v、 w 沒有在同一平面， 則三重純量積u (v × w) 可以被用來表示以u、 v、 w為鄰邊的平行六面體的體積(多面體，任何表面是平行四邊形) ， 如圖 Figure 11.41所示。 Figure 11.41
三重純量積 定理11.10: 三重純量積的幾何性質 一個以u、 v、 w為鄰邊的平行六面體，它的體積V是 :
例題5 – 用三重純量積計算體積 用u = 3i – 5j + k、 v = 2j – 2k、 w = 3i + j + k 為鄰邊構成的平行六面體，求它的體積。 解: 從定理11.10得知 Figure 11.42
例題5 – 解 cont’d
三重純量積 從定理11.10我們很自然地得到一個結果: 三個向量共平面 平行六面體的體積為0。 也就是說: 如果這三個向量 三個向量共平面 平行六面體的體積為0。 也就是說: 如果這三個向量 有相同的初始點且他們共平面