第七讲 : §2.6 － 2.8 分析、代数与几何 分析的严密化 代数学的新生 几何学的变革. 分析的严密化  分析：关于函数的无穷小分析  问题：第二次数学危机  核心：函数、无穷小  贡献：柯西 ( 法, 1789-1857 ) 魏尔斯特拉斯 ( 德, 1815-1897)

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1 第七讲 : §2.6 － 2.8 分析、代数与几何 分析的严密化 代数学的新生 几何学的变革

2 分析的严密化  分析：关于函数的无穷小分析  问题：第二次数学危机  核心：函数、无穷小  贡献：柯西 ( 法, 1789-1857 ) 魏尔斯特拉斯 ( 德, 1815-1897)

3 分析的严密化 －－函数 初等函数 解析函数 1837 年狄里克雷 ( 德, 1805-1859)

4 1817 年波尔查诺 ( 捷, 1781-1848) 定义了导数、连续 1821 年柯西 ( 法, 1789-1857) 《代数分析教程》定义了极限、 连续、导数 分析的严密化 －－算术化 1854 年黎曼 ( 德, 1826-1866) 定义了有界函数的积分 1870 年海涅 ( 德, 1821-1881) 定义了一致连续 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯 ( 德, 1815-1897) 提出 ε-δ 语言 1875 年达布 ( 法, 1842-1917) 提出了大和、小和

5 1817 年波尔查诺 ( 捷, 1781-1848) 提出确界原理 1817 年波尔查诺和 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯 ( 德, 1815-1897) 提出聚点定理 1821 年柯西 ( 法, 1789-1857) 提出收敛准则 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理 1872 年海涅 ( 德, 1821-1881) 和 1895 年波莱尔 ( 法, 1871-1956) 提出有限覆盖定理 分析的严密化 －－实数理论 1872 年戴德金 ( 德, 1831-1916) 提出分割理论 1892 年巴赫曼 ( 德, 1837-1920) 提出区间套原理

6 分析的严密化 波尔查诺 ( 捷克斯洛伐克， 1981 ）

7 波尔查诺 狄里克雷 海涅 达布 黎曼 巴赫曼 戴德金波莱尔 分析的严密化

8 1874 年起康托 ( 德, 1845-1918) 一系列论文建立 康托三等分集 分析的严密化 －－集合论 希尔伯特：数学思想的最惊人的产物， 在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的 表现之一。 朱利亚集 我看到了它，但我简直不能相信它。

9 代数  突破传统 方程与根 行列式与矩阵 数系扩张 数论

10 1799 年高斯 ( 德, 1777- 1855) 代数基本定理 代数 －－代数方程 高斯和格廷根 ( 尼加拉瓜， 1994)

11 1770 年拉格朗日 ( 法, 1736-1813) 的预解式 代数 －－代数方程根式解 1813 年鲁菲尼 ( 意, 1765-1822) 定理 1824 年阿贝尔 ( 挪, 1802-1829) 定理  1829 年伽罗瓦 ( 法, 1811-1832) 理论

12 1750 年克莱姆 ( 瑞, 1704-1752) 法则 1772 年范德蒙 ( 法, 1735-1796) 、拉普拉斯 ( 法, 1749-1827) 行列式展开定理 1815 年柯西 ( 法, 1789-1857) 行列式乘法定理 1841 年凯莱 ( 英, 1821-1895) 行列式记号、 1841 年雅可比 ( 德, 1804-1851) 行列式 1852 年西尔维斯特 ( 英, 1814-1897) 惯性定理 1854 年和 1878 年埃尔米特 ( 法, 1822-1910) 和弗罗贝尼斯 ( 德, 1849-1917) 使用和定义了正交矩阵 1858 年凯莱证明了凯莱 - 哈密顿 ( 爱尔兰, 1805-1865) 定理 1870 年若尔当 ( 法, 1838-1921) 建立了若尔当标准形 1879 年弗罗贝尼斯 ( 德, 1849-1917) 引入矩阵的秩 代数 －－行列式与矩阵

13 柯西克莱姆 拉普拉斯 凯莱 雅可比 西尔维斯特 埃尔米特 代数 －－行列式与矩阵

14  1837 年哈密顿 ( 爱尔兰, 1805-1865) 表示复数为有序实数对  1843 年哈密顿 ( 爱尔兰, 1805-1865) 定义了四元数  1844 年格拉斯曼 ( 德, 1809-1877) 引进了 n 个分量的超复数  1847 年凯莱 ( 英, 1821-1895) 定义了八元数 代数 －－数系扩张

15 18 世纪 1736 年欧拉 ( 瑞, 1701-1783) 证明了费 尔马小定理 1742 年哥德巴赫 ( 德, 1690-1764) 猜想 1770 年华林 ( 英, 1734-1798) 定理 1783 年欧拉发现二次 互反律 代数 －－数论 19 世纪 1801 年高斯 ( 德, 1777-1855) 出版 《算术研究》 1845-1847 年库默尔 ( 德, 1810- 1893) 提出理想数 1871 年戴德金 ( 德, 1831-1916) 创 立代数数 1897 年希尔伯特 ( 德, 1862- 1943)“ 代数数域理论 ”

16 1737 年欧拉 ( 瑞, 1701-1783) 恒等式 ζ(s) = = 代数 －－解析数论 {a+nb} 1837 年狄里克雷 ( 德, 1805- 1859) 解决素数问题 1859 年黎曼 ( 德, 1826-1866) 的 π(x) 与 ζ(s) 1896 年阿达玛 ( 法, 1865-1963) 等证明了素数定理 π(x)~x/lnx

17 华林 代数 －－数论 库默尔 戴德金 希尔伯特 狄里克雷 阿达玛 黎曼

18 高斯和正十七边形 ( 民主德国, 1977) 代数 －－邮票

19 阿贝尔的塑像 ( 挪威, 1983) 代数 －－邮票 维格兰 1908 年 雕塑的阿贝尔塑 像

20 伽罗瓦 ( 法国, 1984) 代数 －－邮票

21 哈密顿的四元数 ( 爱尔兰, 1983) 代数 －－邮票

22 戴德金 ( 民主德国, 1981) 代数 －－邮票

23 几何  现实空间与思维空间 射影几何 非欧几何 统一的几何

24 几何 －－射影几何 1799 年蒙日 ( 法, 1746-1818) 的《画法几何学》 蒙日 ( 法国, 1953) 1803 年卡尔诺 ( 法, 1753-1823) 的《位置几何学》 卡尔诺 ( 法国, 1950) 1799 年蒙日 ( 法, 1746-1818) 的《画法几何学》

25 综合方法 几何 －－射影几何 1822 年庞斯列 ( 法, 1788-1867) 的《论图 形的射影性质》

26 代数方法 几何 －－射影几何 麦比乌斯 ( 德, 1790-1868) 1827 年麦比乌斯 ( 德, 1790-1868) 的 《重心计算》 1829 年普吕克 ( 德, 1801-1868) 的三线坐标 普吕克 ( 德, 1801-1868)

27 平行公理的研究 ( 公元前 3 世纪至 1800 年 ) A+B+C=2 π 几何 －－欧氏几何 欧几里得 普莱费尔 ( 苏格兰, 1748-1819) 勒让德 ( 法, 1752-1833)

28 1826 年罗巴切夫斯基 ( 俄, 1792-1856) π(α)π(α) 几何 －－非欧几何 1816 年高斯 ( 德, 1777-1855) 1832 年鲍耶 ( 匈, 1802-1860) 几何学上的哥白尼

29 几何 －－非欧几何 罗巴切夫斯基 ( 苏联, 1951)

30 几何 －－非欧几何 高斯 ( 联邦德国, 1955)

31 几何 －－非欧几何 鲍耶 ( 罗马尼亚, 1960)

32 1854 年黎曼 ( 德, 1826-1866) 几何 几何 －－非欧几何

33 模型与相容性 几何 －－非欧几何 1866 年贝尔特拉米 ( 意, 1835-1900) 1871 克莱因 ( 德, 1849-1925) 1882 年庞加莱 ( 法, 1854-1912)

34 伪球面 曳物线 克莱因 - 庞加莱圆 几何 －－非欧几何的模型

35 1872 年克莱因 ( 德, 1849-1925) 的《爱尔朗根纲领》 射影几何 仿射几何 欧几里得几何其它仿射几何 单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何 几何 －－统一的几何学