概率论与数理统计 张剑 Q 概率论与数理统计 张剑 Q 2 :290446903. 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考 察的问题作出推断或预测，直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议的数学分 支学科.

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1 概率论与数理统计 张剑 Q 概率论与数理统计 张剑 Q 2 :290446903

2 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考 察的问题作出推断或预测，直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议的数学分 支学科. 概率论是数理统计学的基础，数理统计学 是概率论的一种应用. 它们是两个并列的数 学分支学科，并无从属关系.

3 对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论； 16 世纪意大利学者开始研究掷骰子等 赌博中的一些问题； 17 世纪中叶，法国数 学家帕斯卡、费马，荷兰数学家惠更斯基 于排列组合的方法，研究了 “ 分赌注 ” 问题. 使概率论成为数学的一个分支的真正奠基 人是瑞士数学家 J. 伯努利；而概率论的飞 速奠发展则在 17 世纪微积分学说建立以后.

4 概率论 概率论 第 1 章 随机事件及其概率 第 2 章 一维随机变量及其分布 第 3 章 多维随机变量及其分布 第 4 章 随机变量的数字特征 第 5 章 大数定律和中心极限定理 数理统计 第 6 章 数理统计基本知识 第 7 章 参数估计 第 8 章 假设检验 4

5 §1.1 随机事件

6 一、必然现象与随机现象 1 、必然现象 在一定条件下肯定会发生的现象 水 100ºC 沸腾 2 、偶然现象或随机现象 买一张彩票，是否中奖？

7 二、随机试验与随机事件 随机试验是对随机现象进行试验或观察 1 、相同的条件下可以重复进行 2 、每次试验有多种可能的结果，而且在试验 之前即可明确有几种可能。 3 、每次试验不能预知哪一结果会发生。 随机试验的每个结果称为随机事件，简称事件。 一般用大写英文字母 A 、 B 、 C 等表示。

8 例如在 0 、 1 、 2 、 … 、 9 中任取一数。 A 表示取到 0 ， B 表示取到 5 ， C 表示取到奇数， D 表示取到 3 的倍数。 它们都是随机事件。 不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如 A,B 能分解为其它事件的事件称为复合事件。如 C,D

9 每次试验一定发生的事件称为必然事件。 如点数大于 0 一般用 Ω 表示必然事件。 每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。 如点数大于 9 一般用 φ 表示不可能事件 它们是随机事件的特例。 通常用点集来表示事件。

10 基本事件用只包含一个元素 ω 的单点集 {ω} 表示。 复合事件用包含若干个元素的集合表示。 例如掷一颗骰子， A 表示点数为 4 ，即为单点集 {4} B 表示点数为偶数，即为点集 {2,4,6} 点数为正数，是必然事件，即为全集 {1,2,3,4,5,6} 点数为负数，是不可能事件，即为空集 φ 所有基本事件对应的元素组成的集合称为样本空间 每个基本事件对应的元素称为一个样本点。

11 三、事件间的关系及运算 1 、事件的包含 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，即属于 A 的 每个样本点也属于 B, 则称事件 B 包含事件 A 。 等价的说法是： B 不发生，则 A 也不发生。 对任何事件 A, 有 φ A Ω A 用图形表示，即 B

12 2 、事件的相等 若 A 包含 B 且 B 包含 A ，称事件 A 与 B 相等。 即 A 与 B 中的样本点完全相同。 记作 A=B 掷一颗骰子 A 表示点数小于 3 ， B 表示点数为 1 或 2 则 A=B 3 、事件的并（和） 两个事件 A ， B 中至少有一个发生，即 “A 或 B” ， 是一个事件，称为 A 与 B 的并（和）。

13 它是由 A 与 B 的所有样本点构成的集合。 记作 A+B 或 A ∪ B 掷骰子之例中，若 A={1,2,3},B={1,3,5} 则 A ∪ B={1,2,3,5} 集合的运算规律对事件也成立，如 A ∪ B=B ∪ A,(A ∪ B) ∪ C=A ∪ (B ∪ C) A ∪ B A,A ∪ B B A ∪ Φ=A,A ∪ Ω=Ω

14 n 个事件 A 1,…,A n 中至少有一个发生，是一个事件。 称为事件 A 1,…,A n 的和。 记作 A 1 +…+A n 或 A 1 ∪ … ∪ A n 可列个事件 A 1,A 2,…,A n,… 中至少有一个发生 称为事件 A 1,A 2,…,A n,… 的和 若 A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4} 则 A+B+C={1,2,3,4,5} 用图形表示，即 AB

15 4 、事件的交（积） 两个事件 A 与 B 都发生，即 “A 且 B”, 是一个事件。 称为事件 A 与 B 的交（积）。 它是由 A 与 B 的公共样本点构成的集合。 记作 AB 或 A∩B 如 A={1,2,3},B={1,3,5} 则 AB={1,3} 它也有运算律： A∩B=B∩A (A∩B)∩C=A∩(B∩C) A∩B A A∩B B A∩Φ = Φ A∩Ω = A

16 也可定义多个事件的交。 交与并运算还满足分配律： (A ∪ B)∩C=(A∩C) ∪ (B∩C) (A∩B) ∪ C=(A ∪ C)∩(B ∪ C) 用图形表示，即 B A

17 5 、事件的差 事件 A 发生而事件 B 不发生，是一个事件， 称为事件 A 与 B 的差。 它由属于 A 但不属于 B 的所有样本点组成。 记作 A-B 如： A={1,2,3},B={1,3,5} 则 A-B={2},B-A={5} A 用图形表示即 B

18 6 、互不相容事件 若 A 与 B 不能同时发生，即 AB=φ 称事件 A 与 B 互不相容或互斥。 互斥事件没有公共的样本点。 基本事件间是互不相容的。 如 A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5} A 与 C 是互不相容的。 A 与 B 是相容的。 用图形表示 即 AC

19 7 、对立事件 事件 “ 非 A”, 即 A 不发生，称为 A 的对立事件。 也称为 A 的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于 A 的样本点组成。 记作 Ā 如 A={1,2,3},Ā={4,5,6} 易见 A Ā=φ,A+Ā=Ω Ā=Ω-A A 用图形表示 Ω Ā

20 8 、完备事件组 若事件 A 1,…,A n 两两互不相容， 并且 A 1 +…+A n ＝ Ω 称 A 1,…,A n 构成一个完备事件组。 A 与 Ā 构成一个完备事件组。 若 Ω ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} 则 A 1 ={1,2,3},A 2 ={4,6},A 3 ={5} 是一个完备事件组。 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 Ω

21 例 1 从一批产品中每次取出一个产品进行 检验，事件 A i 表示第 i 次取到合格 (i=1,2,3) 用事件的运算表示下列事件： 三次都取到合格品， 三次中至少有一次取到合格品， 三次中恰有两次取到合格品， 三次中最多有一次取到合格品。

22 例 2 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点 的位置，试说明下列各事件的关系： B={x|x>3} C={x|x<9} D={x|x<-5} E={x|x≥9} D 与 B,D 与 E 互不相容 C 与 E 为对立事件。 对立与互不相容的区别？ 对立事件一定互不相容，但 互不相容的事件未必是对立事件

23 符号集合含义事件含义 Ω 全集 样本空间，必然事件 Φ 空集 不可能事件 ω ∈ Ω 集合的元素 样本点 {ω} 单点集 基本事件 A 一个集合一个事件 A B A 的元素在 B 中 A 发生导致 B 发生 A=B 集合 A 与 B 相等事件 A 与 B 相等 A ∪ B A 与 B 的所有元素 A 与 B 至少有一个发生 A∩B A 与 B 的共同元素 A 与 B 同时发生 Ā A 的补集 A 的对立事件 A-B 在 A 中而不在 B 中的元素 A 发生而 B 不发生 A∩B=φ A 与 B 无公共元素 A 与 B 互斥

24 §2 随机事件的概率

25 历史上概率的三次定义 ③ 公理化定义 ② 统计定义 ① 古典定义 概率的最初定义 基于频率的定义 1930 年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出

26 概率是事件发生可能性的数量指标。 概率应有如下特征： (1) 是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。 (2) 符合一般常情，可能性大时，概率也大。 0≤P(A)≤1 P(Ω)=1 P(φ)=0

27 概率的统计定义 在 n 次重复试验中，若事件 A 发生了 m 次， 则 m/n 称为事件 A 发生的频率。 不可能事件的频率一定为 0 。 必然事件的频率一定为 1 。

28 试验者掷的次数正面次数正面频率 Buffon404020480.5069 Pearson24000120120.5005 Kerrich1000050670.5067 可见，掷的次数越多，频率越接近 0.5 如上表说明硬币出现正面的概率为 0.5 。 概率是事件本身固有的，试验只是帮助我们了解它 定义 在不变的条件下，重复进行 n 次试验，事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 P 附近摆动。则称这 常数 P 为事件 A 的概率，记为 P(A) 。

29 年份 新生儿总数 男婴儿数 女婴儿数 男婴频率 女婴频率 1977 3670 1883 1787 51.31 48.69 1978 4250 2177 2073 51.22 48.78 1979 4055 2138 1917 52.73 47.27 1980 5844 2955 2889 50.56 49.44 1981 6344 3271 3073 51.56 48.44 1982 7231 3722 3509 51.47 48.53 6 年总计 31394 16146 15248 51.48 48.52 可以认为生男孩的概率近似值为 0.515 这种概率只能通过统计得出。 又如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：

30 设  是随机试验 E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于 E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为 P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：  非负性：  归一性：  完全可加性： 其中 A1 ， A2 ， … 互斥 概率的公理化定义

31 (1) 如果 n 个事件 A 1,A 2,…,A n 两两互斥，则 P(A 1 +A 2 +…+A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n ) (2) 若 A 1,A 2,…,A n 构成一个完备事件组，则 P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n )=1 特别地， P(A)+P(Ā)=1 (3)P(B-A)=P(B)-P(AB) B A 概率的性质

32 例 1 已知 P(A)=0.3,P(B)=0.6, 试在下列两种 情形下分别求出 P(A-B) 与 P(B-A) (1) 事件 A,B 互不相容 (2) 事件 A,B 有包含关系

33 (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A+B=A+(B-A) 由于 A 与 B-A 互斥 故 P(A+B)=P(A)+P(B-A)=P(A)+P(B)-P(AB) AB

34 例 2 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中 的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击 中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率． 解：设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目 标，Ｃ表示目标被击中， 则 ＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97

35 例 3 考察甲，乙两个城市 6 月逐日降雨情况。 已知甲城出现雨天的概率是 0.3, 乙城出现雨 天的概率是 0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨 天的概率为 0.52, 试计算甲乙两城同一天出现 雨天的概率. 解：设 A 表示 “ 甲城下雨 ” ， B 表示 “ 乙城下雨 ”

36 例4例4