数值分析 第五节 数值微分 在实际问题中，往往会遇到某函数 f(x) 是用表格 表示的, 用通常的导数定义无法求导, 因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有 : 一. 运用差商求数值微分 二.运用插值函数求数值微分 三. 运用样条插值函数求数值微分 四. 运用数值积分求数值微分.

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1 数值分析 第五节 数值微分 在实际问题中，往往会遇到某函数 f(x) 是用表格 表示的, 用通常的导数定义无法求导, 因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有 : 一. 运用差商求数值微分 二.运用插值函数求数值微分 三. 运用样条插值函数求数值微分 四. 运用数值积分求数值微分

2 数值分析 一. 运用差商求数值微分 最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商.

3 数值分析

4 利用 Taylor 展开可导出数值微分公式并估计误差.

5 数值分析 一阶导数的三点公式： 证明 : 同样的方法可以得到其它的三点公式是：

6 数值分析

7 二、运用插值函数求数值微分 设 L n (x) 是 f(x) 的过点 {x 0 ， x 1 ， x 2 ， …x n }  [a ， b] 的 n 次插值多项式，由 Lagrange 插值余项, 有对任意给 定的 x  [a ， b] ，总存在如下关系式 : 若取数值微分公式 误差为 :

8 数值分析 因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值 称为 n+1 点求导公式。

9 数值分析 常用的数值微分公式是 n = 1,2 的插值型微分公式. 当 n=1 时, 有

10 数值分析 例 1 设 f(x)=lnx ， x 0 =1.8 ，用 2 点公式计算 f’(x 0 ) 。

11 数值分析 当 n=2 时, 有 当节点等距时，即有 x 1 =x 0 +h, x 2 = x 0 +2h, h>0, 上述公式可简化为

12 数值分析 有时，也将 x i 统一表为 x 0, 将上述公式写成如下形式 n=2 时，计算 f’(x 0 ) 的误差是 O(h 2 ), 且（ 4 ） 的误差最小。

13 数值分析 例 2 设 f(x)=xe x ， x 0 =2 ，用 3 点公式计算 f’(x 0 ) 。

14 数值分析 由（ 6 ）， f’(2) ≈22.166996 ，误差为： 1.69×10 -4 公式 (4) 计算 f’(2) 较准确。 用 5 点公式计算 f’(2) ： 当 n=4 时, 可得到 5 点公式：

15 数值分析 5 点公式计算 f’(x 0 ) 的误差是 O(h 4 ), 且中点公式 （ 6 ）的误差小于端点公式（ 7 ）。

16 数值分析 在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断 误差，而且还要考虑公式的舍入误差。

17 数值分析 计算 f ’(x 0 ) 的总误差是： 从截断误差 (h 2 /6)f (3) (ξ 1 ）的角度看， h 越小误差越小。 但从舍入误差的角度看， h 不能太小。 误差界为： e(h)=e/h +(h 2 /6)M, 这里 e=max ︱ e(x 0 ±h) ︱,M= max ︱ f (3) (x) ︱ 例 3 设 f(x)=sin x ，计算 f’(0.900)=cos0.900 的近似值。

18 数值分析 解：利用公式

19 数值分析 三. 运用样条插值函数求数值微分 用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点 处函数 f(x) 的一阶导数和二阶导数的近似值. 四. 运用数值积分求数值微分

20 数值分析 得到

21 数值分析 解：将数值积分公式代入

22 数值分析

23

24 二版习题 三版习题 P251----19 试导出以下数值微分公式, 并估计截断误差.