导数与微分 一、导数的概念 1. 自变量的增量： 2. 函数的增量： 3. 导数的定义：. 导数与微分 即导数为函数增量与自变量增量比的极限.

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1 导数与微分 一、导数的概念 1. 自变量的增量： 2. 函数的增量： 3. 导数的定义：

2 导数与微分 即导数为函数增量与自变量增量比的极限

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4 二、导数的物理和几何意义 1. 物理意义： 表示运动物体瞬时速度即： 2. 几何意义： 表示曲线 y ＝ f(x) 在 x 0 处的切 线斜率即 若切点为 则曲线在 的 切线方程为： 法线方程为：

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6 三、基本求导公式：

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9 四、求导法则 若 u=u(x) ， v=v(x) 在 x 处可导，则

10 导数与微分 1. 求下列函数的导数

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13 2. 复合函数求导

14 导数与微分 注：复合函数求导法则的关键在于： （ 1) 将复合函数分解成若干个基本初等函数； （ 2) 分别求出这些函数的导数并相乘； （ 3) 将所设中间变量还原

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21 例 5 ：证明：偶函数的导数是奇函数。 证：设 f(x) 是偶函数，即 f(-x)=f(x) u=-x

22 导数与微分 3. 隐函数求导法则： 隐函数：由含 x ， y 的方程 F(x,y ）＝ 0 给出的函数称 为隐函数。有些方程，可以从中解出 y ，将 y 表示成 x 的显函数的形式。如： 有些方程则不能解出 y ，如 等， 对于这样的隐函数可不必解出 y ，而是将 y 作为 x 的 函数隐藏在方程中利用隐函数求导法则求出其导数

23 导数与微分 隐函数的求导法则： 将 y 作为 x 的函数， y ＝ y(x) ，于是 F(x ， y(x) ）＝ 0 对方程两边的 x 求导，遇 y 时，将 y 作为中间变量， 利用复合函数求导法则对 y 求导再乘 得到一个含 的方程，最后从新方程中解出

24 导数与微分 例 6 ：求下列函数的导数

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31 注：对一些较复杂的乘积，商或根式函数求导时， 可利用先取对数后求导的方法计算

32 导数与微分 5. 参数方程求导法则

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34 五、函数的微分 1. 微分的定义 : 设函数 y=f(x) 在点 x 0 处可导, 是自 变量 x 的增量, 则称 为函数 f(x) 在 x 0 处关 于  x 的微分. 记为 :, 即 2. 函数可微的条件 : 定理 : 函数 y=f(x) 在 x 点可微的充分必要条件是 y=f(x) 在 x 点处可导. 即：函数可微 存在, 则函数可导且, 反之, 函数可导, 既 存在, 则 从而 函数可微.

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39 3. 微分公式

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41 4. 微分法则

42 导数与微分 例 10 求下列函数的微分：

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44 5. 一阶微分形式不变性： 若 u 为自变量,y ＝ f(u), 则, 若 u 为中间变量, 从而不论 u 是自变量还是中间变量其微分的形式不变, 皆为 dy=f’(x)du. 我们将微分的这一性质称为一阶微分形式不变性 利用一阶微分形式不变性可以方便的求出复合函 数和隐函数的微分和导数。

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51 6. 微分在近似计算中的应用

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