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第四节 复合函数求导 法则及其应用 一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
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一、复合函数求导法则 而函数 在 处可导，则复合函数 定理 4.4.1 ( 复合函数求导法则 ) 设函数 在 可导， 在 可导，且有 : 即 证明：由 在 可导也即可微
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又由 在 可导，因此而于是 令则
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复合函数的求导法则可以写成 : 即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为 :
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解:解: 例 4.4.1 推广
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解:解: 例 4.4.2 例 4.4.3 解:解:
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二、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数公式
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2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u(x),v=v(x) 可导，则
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3. 复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 注意 : 初等函数的导数仍为初等函数. 例 4.4.4 解:解:
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设函数 有导数 （ 1 ）若 x 是自变量时， 三、一阶微分的形式不变性 （ 2 ）若 x 是中间变量时，即是另一变量 t 的可微函数 则.
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结论：不论 x 是自变量还是中间变量，函数 的微分形式总是. 例 4.4.5 设, 求. 解:解: 例 4.4.6 设 ，求.
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四、隐函数的导数 解:解: 定义 4.4.1 由方程 所确定的函数 称为隐函数。 隐函数的显化 问题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导 ?
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隐函数求导法则 : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导, 或利用 一阶微分的形式不变性对方程两边求微分. 例 4.4.7 的导数. 解 : 法一、方程两边对 x 求导 ( 注 : y 看成 x 的函数 ) 求由方程 确定的隐函数
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法二、方程两边同时求微分 例 4.4.8 设曲线 C 的方程为 ，
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求过 C 上点 的切线方程，并证明曲线 C 在该点 显然通过原点. 解:解: 所求切线方程为 的法线通过原点.
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五、对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围 : 例 4.4.9 解:解: 等式两边取对数得
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例 4.4.10 解:解: 等式两边取对数得
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六、参数形式的函数的求导公式 定义 4.4.2 若参数方程 确定 x 与 y 间的函数关系， 称此为 参数形式的函数. 例如消去参数
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问题 : 消参困难或无法消参的如何求导？ 在方程 中，设 和 在 即 在 上严格单调且 ，上可导, 上存在反函数 由反函数求导法则， 在 由复合函数求导法则 : 从而且成立
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也可以直接求微分 两边相除，得 例 4.4.11 求摆线 在 处的切线方程. 解:解:
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所求切线方程为
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七. 小结 复合函数求导法则 初等函数的求导问题 一阶微分的形式不变性 隐函数的导数 对数求导法 参数形式的函数的求导公式 1. 常数和基本初等函数的导数公式 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 3. 复合函数的求导法则
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