微分的逆运算问题－不定积分 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校. §1 原函数与不定积分  §1.1 原函数与不定积分的概 念  §1.2 基本积分公式  §1.3 不定积分的线性运算法 则.

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1 微分的逆运算问题－不定积分 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校

2 §1 原函数与不定积分  §1.1 原函数与不定积分的概 念  §1.2 基本积分公式  §1.3 不定积分的线性运算法 则

3 §1.1 原函数与不定积分的概念 不定积分 微分的逆运算

4 微分问题 已知作匀加速直线运动的物体的位 移 S(t) ，求速度.

5 积分问题  已知作匀加速直线运动的物体的速 度 v(t) ，求位移. 即已知 求 S=S(t) 使得

6 积分问题  已知作匀加速直线运动的物体的速度 v(t) ，求位移. 即已知 求 S=S(t) 使得 这样的函数有 或

7 一般问题  在实际中，常常有这样的问题： 要找一个函数，它关于自变量 x 的变化速度对于任何 x 的值都是已 知的

8 例：放射性衰减 放射性物质的总量 p ＝ f(t) ( 时间 t 的函数 ) 减少的速率都同这一时刻存在的物质总 量成正比。  这一点是可以想象的，因为每一部分 物质减少速度同其它每一部分物质是 一样的。

9 例：放射性衰减的数学模型 放射性物质的总量 p ＝ f(t) ( 时间 t 的函数 ) 减少的速率都同这一时刻存在的物质总 量成正比。

10 放射性衰减模型中的参数 k: 减少的速率都同该时刻存在的物质总量的比例 p_0=f(0): 初始时刻物质总量

11 k 的计算 与 半衰期  在一定时间 τ 以后，放射性物质将 减少到其初始总量的一半， τ 即所 谓的半衰期。 一般，各种放射性元素的半衰期是已测定的，从而 k 也是确定的

12 生物体年龄测定的原理  碳 14 是放射性物质，随时间而衰 减，碳 12 是非放射性物质。活性人 体因吸收食物和空气，恰好补偿碳 14 衰减损失量而保持碳 14 和碳 12 的含量不变，因而所含碳 14 与碳 12 之比为常数。

13 生物体年龄的测定  碳 14 是放射性物质，随时间而衰减，碳 12 是非放射性物质。活性人体因吸收食 物和空气，恰好补偿碳 14 衰减损失量而 保持碳 14 和碳 12 的含量不变，因而所含 碳 14 与碳 12 之比为常数。  已测定一古墓中遗体所含碳 14 的数量为 原有碳 14 含量的 80 ％。求遗体的死亡年 代。

14 回到：一般问题 要找一个函数，它关于自变量 x 的变化速度对于任何 x 的值都是已 知的

15 定义如果在区间内，即 则称为在区间内的一个原函数． 可导函数的导函数为 如:如: 是的一个原函数 是 是

16 FunctionAntiderive Table of Basic Antiderivatives

17 Each function F(x): (a,b)  that verifies  x  (a,b) F’(x) = f(x) is called an Primitive funtion of f(x) on (a,b).

18 原函数的一般研究  存在性：什么函数的原函数存在？  有多少：  如果不只一个，那么各个原函数 之间有什么联系？

19 存在性  定理 1 ：如果函数 f(x) 在区间 I 上连续，则 f(x) 在 I 上存在原 函数。 （作为以后的定理的推论）

20 存在性  初等函数在其有定义的区间上存 在原函数

21 有多少－无穷多 定理 2 设 F(x) 是 f(x) 在区间 I 上的 一个原函数，则  F(x)+C 也是 f(x) 的一个原函数，其中 C 为任意常数

22 原函数的结构 定理 2 设 F(x) 是 f(x) 在区间 I 上的 一个原函数，则  F(x)+C 也是 f(x) 的一个原函数，其中 C 为任意常数  f(x) 的任意两个原函数之间相差一个 常数

23 如果知道一个原函数 F  F ＋ C 也是原函数  其它原函数一定是 F+ 某个常数

24 FunctionAntiderive Table of Basic Antiderivatives

25 FunctionAntiderive

26 定义如果是在开区间内的一个原函数，则 ( 为任意常数 ) 称为在开区间 内的 记为即 积分符号被积函数 积分变量 被积表达式 不定积分, C 积分常数

27 The Indefinite Integral

28 不定积分的几何意义：

29 积分曲线：的一个原函 数的图形． 积分曲线族： 在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线彼此是平行的．

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31 例  设曲线通过点（ 0 ， 0 ），且曲线 上任一点处的切线斜率等于该点横 坐标的余弦值，求此曲线.

32 例  解：设所求曲线为 y=f(x), 有下面 的微分方程：

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34 基本积分公式  求导公式与积分公式相对应

35 Table of Indefinite Integrals

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37 Hint

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44 不定积分的线性运算法则  先补充两个基本规则 < －微分与不 定积分互为逆运算的体现

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47 线性运算法则 I

48 线性运算法则 II

49 例2例2

50 例3例3

51 例4例4

52 Exercise  P94 1.

53 The End