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極限與連續 函數極限的定義 當函數 f (x) 定義域中的 x 逐漸趨近於定數 a 時 ( x≠a ) 則對應的函數值 f (x) 也逐漸趨近於 α , 即若 x→a (x≠a) ,則 f (x)→α 此時我們稱為 x 趨近 a 時, f (x) 的極限為 α ,記為.

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2 極限與連續

3 函數極限的定義 當函數 f (x) 定義域中的 x 逐漸趨近於定數 a 時 ( x≠a ) 則對應的函數值 f (x) 也逐漸趨近於 α , 即若 x→a (x≠a) ,則 f (x)→α 此時我們稱為 x 趨近 a 時, f (x) 的極限為 α ,記為

4 極限的運算性質

5 函數極限的求法 (f (x) 為多項式、有理式或根式 ) (1) 函數值不會出現分母為 0 的情形, 以 x = a 直接代入 f(x) , 。

6 (2) 以 x = a 直接代入,函數值出現 的情形 通常要把使分子、分母產生 0 的公因式約去之後, 再把 x = a 代入,便可求得極限。

7 (3) 以 x = a 直接代入,函數值出現 的情形 此時因根號之故 無法將分子、分母產生 0 的公因式找出, 則以有理化方式處理,便可求得此公因式。

8 例題

9 左極限、右極限 (1) 當 x > a 且 x →a ( x 從 a 的右側趨近 a ) , 我們稱為 f (x) 於 a 的右極限, 記作 。 (2) 當 x < a 且 x →a ( x 從 a 的左側趨近 a ) , 我們稱為 f (x) 於 a 的左極限, 記作 。

10 極限存在  當左極限與右極限相等時 則極限存在

11 極限不存在  當左極限與右極限不相等時  當左極限或右極限不存在時 此時稱極限不存在

12 函數的連續性 函數 f (x) 若滿足下列三個條件, 則稱函數 f (x) 於點 x = a 為連續: (1) f (a) 存在 (2) 存在 (3) 注意:如有任一項不滿足,則稱 不連續

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14 圖形分類  Continue( 連續型 ) 圖形上每個所在點處極限均存在 圖形上每個所在點處極限均存在

15 Differential Function Smooth Function Smooth Curve Continuous Function

16 Continue Function with Corner

17  Jump( 跳躍型 ) 跳躍處左右極限不相等 跳躍處左右極限不相等

18 Jump at x=1 Discontinuous Function

19 Step Function

20  Removed( 跳空型 ) 跳空處左右極限存在且相等, 但該點值不同或不存在 跳空處左右極限存在且相等, 但該點值不同或不存在

21 Discontinous Function with Removed Point at x=1

22 Removed at a Point x=1 With a Corner at x=1 Discontinuos Function

23 導數與導函數

24 導數的定義 我們稱極限值 為 f (x) 在 x = a 處的導數, 以 f '(a) 表示之,即 亦可說 f (x) 在 x = a 處是可微分的

25 導數的定義 在 導數的定義中, 設 x - a = h ,則 x = a + h , 當 x→a 時,意指 h →0 , 那麼 f (x) 在 x = a 的導數我們也可以表示成:

26 (1) 為函數 f (x) 在區間 [a,b] 的平均變化率。 (2) 為函數 f (x) 於 a 的瞬時變化率。導數的意義

27 導數的物理意義 (1) 位移函數 f (t) 在 t = a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時速度。 (2) 速度函數 v(t) 在 t = a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時加速度。

28 導數的幾何意義 曲線 y = f (x) 在 x = a 的導數 f '(a) , 即為此曲線在點 (a,f (a)) 的切線斜率。

29 如果定義域任一處,函數 f (x) 的導數 均存在, 此時 形成一個新的函數, 我們就稱 為 f (x) 的導函數。 亦可說 f (x) 是可微分的 求導函數的過程稱為微分。 函數 y = f (x) 的導函數,有下列的表示方法: 導函數

30 對於 導數、導函數、微分、可微分這些名稱, 實際上是指同樣的概念, 只是名詞、動詞、形容詞的差別而已。 對於 導數、導函數、微分、可微分這些名稱, 實際上是指同樣的概念, 只是名詞、動詞、形容詞的差別而已。

31 可微分與連續的關係 (1) 可微分的函數必定是連續。 (2) 連續函數不一定可微分。 例如: 函數 f (x) = │x│ 在 x = 0 處雖然為連續, 但是在 x = 0 處卻不可微分, 所以函數 f (x) = │x│ 不是一個可微分函數。

32 可微分函數 可微分函數 (Differential Function) , 亦可稱為平滑函數 (Smooth Function) , 其圖形稱為平滑曲線 (Smooth Curve) 可微分函數 (Differential Function) , 亦可稱為平滑函數 (Smooth Function) , 其圖形稱為平滑曲線 (Smooth Curve)

33 Differential Function Smooth Function Smooth Curve Continuous Function

34 不可微分的函數  Jump( 跳躍型 ) Step function( 階梯函數 ) Step function( 階梯函數 )  Corner ( 尖角型 ) Continueos Removed

35 Jump at x=1 Discontinuous Function

36 Step Function

37 Discontinous Function with Removed Point at x=1

38 Continue Function with Corner

39 Removed at a Point x=1 With a Corner at x=1 Discontinuos Function

40 微分公式 (1) 公式 1 :若 f (x) = x n ,則 ( n 為自然數 ) 公式 2 :若 f (x) = k ,則 ( k 為常數 ) 公式 3 :若 y = kf (x) ,則 ( k 為常數 )

41 微分公式 (2) 公式 4 :若 y = f (x) + g(x) ,則 y = f '(x) + g'(x) 公式 5 :若 y = f (x) - g(x) ,則 y = f '(x) - g'(x) 公式 6 :若 y = f (x)g(x) ,則 y = f '(x)g(x) + f (x)g'(x) 公式 7 :若 ,則

42 連鎖規則 (1) 設 y = g(f (x)) ,且 f ‘ (x) 、 g ’ (f (x)) 均存在, 則 y ‘ = g’(f (x))×f ‘(x) 即 (2) 設 n 為有理數, f (x) 為可微分函數, 若 y = (f (x)) n ,則 y ' = n(f (x)) n - 1 ×f '(x)

43 第一、二階導函數 (1) 對一般可微分的函數 f (x) 而言, 其導函數為 f '(x) ,或者記為 (2) 若函數 f '(x) 仍可微分, (f '(x)) ' 稱為 f (x) 的第二階導函數,其記號為

44 第三階與第 n 階導函數 (1) 若函數 f ''(x) 仍可微分, (f ''(x))' 稱為 f (x) 的第三階導函數,其記號為 (2) 依此類推, f (x) 的第 n 階導函數,其記號為


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