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第八章 习题课 多元函数微分学. 一 基本要求 1 理解二元函数的概念,会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念,掌握偏导数及高阶偏导 数的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。

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1 第八章 习题课 多元函数微分学

2 一 基本要求 1 理解二元函数的概念,会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念,掌握偏导数及高阶偏导 数的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。

3 7 会求曲线的切线及法平面,曲面的切平面及 法线。 8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向 导数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法 及最大(小)值的求法。

4 二 要点提示 (一)函数的概念 1. 点函数的定义: 设 是一个点集,如果对于每一点 变量 按照一定的法则总有确定的值和它 对应,则称 是点 的函数,记为 注意 1. 从一元函数推广 2. 多元函数与一元函数的区别

5 当 时, 为一元函数; 当 时, 为二元函数; 当 时, 为三元函数; … 当 时, 为 元函数。

6 2. 多元初等函数: 由多元多项式及基本初等函数经过有 限次的四则运算和复合步骤所构成,可 用一个式子所表示的函数,称为多元初 等函数。 一切多元初等函数在其定义区域内是连 续的。

7 (二)偏导数与全微分 1 .偏导数 ( 1 )定义:偏导数是函数的偏增量与自变 量增量之比的极限。

8 ( 2 )计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数 的微分法问题,对一个变量求导,暂时将 其余变量看作常数。 2 .全微分 微分公式:

9 (三)多元函数连续﹑偏导存在与可微之 间的关系 一元函数:可导 函数可微, 一元函数:可导 连续, 多元函数:偏导数连续 函数可微 多元函数连续 函数的偏导数存在。

10 (四)多元函数微分法 1 .多元复合函数求导法 ( 1 )链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变 量求导。依据函数的复合结构,可按照 “ 连线相乘,分线相加 ” 的原则来进行 。

11 设 则 是 的复合函数.

12 称为全导数. 求多元复合函数偏导数的关键在于弄清 函数的复合结构, 它可用 “ 树形图 ” 来表示.

13 注意:

14 2 .隐函数求导法: 方法 1 对方程两端求(偏)导数,然后解 出所求(偏)导数 方法 2 隐函数的求导公式: 设 是由方程 所确定的隐函数,则

15 (五)微分法在几何上的应用 1 .空间曲线的切线及法平面 ( 1 )设空间曲线: 是曲线上一点,其相应 的参数为 ,则曲线在点 处切向量为

16 曲线在点 处的切线方程为 曲线在点 处的法线方程为

17 若曲线的方程表示为 则在点 处切向量为

18 2 .曲面的切平面及法线 ( 1 )设曲面方程为(隐函数形式) 为曲面上一点 ,则曲面在 点 处 的法向量为

19 切平面方程为 法线方程为

20 ( 2 )若曲面方程为(显函数形式) 则可写为隐函数形式 曲面上 点的法向量为

21 (六)方向导数与梯度 1. 方向导数的定义 2 .计算公式:若 可微,则 其中 为 轴正向到方向 的转角

22 若 可微, 则 其中 ﹑ ﹑ 为方向 的方向角。 注意 : 方向导数存在 偏导数存在

23 3. 梯度: 设 在平面区域 D 内具有一阶连续 偏导数,则对于每一点 ,向量 称为 在点 的梯度。 梯度与方向导数的关系: 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值。

24 (七)函数的极值﹑最大值和最小值 1 .极值的必要条件: 若 在点 处有极值,则 这时称 为驻点。 驻点不一定是极值点

25 2 .充分条件: 设 在驻点 的某邻域内有 连续的二阶偏导数,记 ( 1 )当 时, 是极值。 ,极小值; ,极大值; ( 2 )当 时,不是极值; ( 3 )当 时,不能确定。

26 3 .条件极值:函数 在条件 下的极值称为条件极值。 拉格朗日函数为 求条件极值的方法: (1) 可将条件代入函数,转化为无条件极值问题; (2) 可以用拉格朗日乘数法。

27 4 .函数的最大值和最小值 求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法 1. 求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在 的点的函数值, 2. 求出在的边界上可能的最大值﹑最小值, 3. 比较大小,其中最大者就是最大值,最小者 就是最小值。 在实际问题中往往可根据问题本身的性 质来判定驻点是否是最值点。

28 三 例题分析 (一)求定义域和极限 1. 2. 讨论极限

29 答案 : 1. 2. (1) 令 (2) 设 沿直线趋近于 (0,0) 极限不存在

30 (二) 求偏导数和全微分 : 1. 求一阶偏导数及全微分. 2. 求 3.

31 答案

32 4. 5. 6. 7. 具有连续偏导数,求偏导数.

33 答案 :

34 (三)曲线的切线和法平面、曲面的切平 面和法线曲线的切线和法平面 1. 求曲线 在点 处的切线方程及法平面方程. 2. 作一平面与直线 垂直且 与球面 相切.

35 答案: 1. 方程组 确定隐函数 即曲线 ,其切向量为 切线方程: 法平面方程:

36 2. 设切点为 则法向量为 : 所求平面的法向量 方法 1 所求平面设为 由点到平面的距离公式,有 所求平面:

37 方法 2 代入曲面,得 所求方程为 即

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40 (四)多元函数的极值和最值 将正数 分成三个正数 之和, 使 得 最大. 方法 1 得唯一驻点 : 由题意知结论.

41 方法 2. 用拉格朗日乘数法, 设拉格朗日函数 : 令 解得 由题意即为所求.

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45 5. 设 具有二阶偏导数, 练 习 题练 习 题

46 附练习:关于多元复合函数的偏导数 : 例 1 设 求 解 同理,

47 例 2 设 求 解

48 幂指函数 幂指函数的求导公式 : 将幂指函数当作幂函 数求导加上将幂指函数当作指数函数求导. 例 可与对数求导法对比.

49 例 4 设 解设 则

50 例 5 设 求 解 注意区别 与

51 例 6 设 具有二阶偏导数, 解设 这里 仍是以 为中间变量的函数, 且与函 数有相同的复合结构, 故对它们求偏导要按复合函 数求导法则.

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53 补充练习 1. 求 2. 二阶可导,求 3. 可导求 4. 求 5. 求

54 补充题参考答案 1. 2. 设

55 其中

56 3. 或

57 4. 设

58 5. 解 1 取对数求导法 解 2 求导公式


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