2.5 微分及其应用. 三、可微的条件 一、问题的提出 二、微分的定义 六、微分的形式不变性 四、微分的几何意义 五、微分的求法 八、小结 七、微分在近似计算中的应用.

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1 2.5 微分及其应用

2 三、可微的条件 一、问题的提出 二、微分的定义 六、微分的形式不变性 四、微分的几何意义 五、微分的求法 八、小结 七、微分在近似计算中的应用

3 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

4 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否 所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?

5 二、微分的定义 定义 ( 微分的实质 )

6 由定义知 :

7 三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性

8 (2) 充分性

9 例1例1 解 例2例2 解

10

11 四、微分的几何意义 M N T ） 几何意义 :( 如图 ) P

12 五、微分的求法 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式

13 2. 函数和、差、积、商的微分法则

14 例3例3 解 例4例4 解

15 六、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性

16 例6例6 解 例5例5 解

17 例7例7 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.

18 七、微分在近似计算中的应用 1 、计算函数增量的近似值

19 例8例8 解

20 2 、计算函数的近似值 1 ）求 f(x) 在点 x=x 0 附近的近似值

21 例9例9 解

22 2 ）求 f(x) 在点 x=0 附近的近似值

23 常用近似公式 证明

24 例 10 解

25 例 11 有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上 一层铜, 厚度定为 0.01cm. 估计一下每只球需用铜多少 ( 铜的密 度是 )? 解 先求出镀层的体积, 再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量.

26 得 于是镀每只球需用的铜约为

27 八、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★

28 导数与微分的区别 : ★

29 近似计算的基本公式

30 思考题

31 思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.

32 练 习 题

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34 练习题答案

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36 练习题

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38 练习题答案

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