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高等数学教学课件 分部积分法 湄洲湾职业技术学院 傅仙发. 换元积分法是一种重要的积分法,可以求许多函数 的积分。但还有一些积分无法计算,如 等,像以上这样的积分都不能利用基本积分表和换元积 分法计算。本节将从函数乘积的微分公式出发,导出另 一种基本积分法 —— 分部积分法 。 回忆:函数乘积的微分运算法则?

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1 高等数学教学课件 分部积分法 湄洲湾职业技术学院 傅仙发

2 换元积分法是一种重要的积分法,可以求许多函数 的积分。但还有一些积分无法计算,如 等,像以上这样的积分都不能利用基本积分表和换元积 分法计算。本节将从函数乘积的微分公式出发,导出另 一种基本积分法 —— 分部积分法 。 回忆:函数乘积的微分运算法则? 设函数, 具有连续导数。则

3 移项 积分 即 或 上式称为不定积分的分部积分公式。这一公式说明,若计算积分 较困难,而积分 易于计算,则可以使用分部积分法 计算。应用分部积分公式求积分的方法称为分部积分法。

4 为方便记忆和应用,可将分部积分公式列表: 积分 (+) (-) 微分 分部积分列表法的算法:左列函数依次求微分,右 列函数依次求积分,横向函数相乘再积分,斜向函数相 乘不积分,符号选择依次取正负。 正负交错,左微右积,斜向相乘,横向积分。

5 例1例1 求 解 设 , 则,。 , 所以

6 例2例2 求 两个不同类型函数乘积的积分,换元法失效。 若取 , , 则 , 显然, 选择不当,积分更难进行。 解 改取 , 则 , ,

7 应用分部积分法求积分时,一般需要将被积函数的 一部分 “ 凑微分 ” ,并当作 ,剩余部分当作函数 ,因 此分部积分法的关键在于适当地选取 和 。 和 的选取应注意: 易于由 直接求得,而 比 更易于计算。当分部积分法熟练后,可不必明确地设出 和 ,而直接应用公式。 分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。

8 例3例3 求 解

9 例4例4 求 解

10 有时,在一些较复杂的积分问题中,有可能需要多次 应用分部积分法,这时使用分部积分列表法更方便。 例5例5 求 解

11 若用分部积分列表法,可直接写出结果: (-) (+) (-)

12 例6例6 求 解 有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式,然后解 此方程求出积分。 注意循 环形式

13 例7例7 求 解

14 应用分部积分法的常见积分形式及 和 的选取方 法: ⑴ , , , 一般可设 ,被积表达式的其余部分设为 。 ⑵ , , , 一般可设 ,被积表达式的其余部分设为 。 上述情况 换为多项式时仍然成立,常数也视为幂 函数。 ⑶ , ,既可设 ,也可 设 。但一经选定,再次分部积分时,必须仍按 原来的选择。

15 例8例8 求 解 先用换元积分法。令 ,则 , 。 所以 (再用分部积分法) 可见,有的积分问题需要同时用到换元积分法和分部积分法。

16 不定积分的方法较多,思路也比较开阔,各种解法都有自己的 特点,学习中要注意不断积累经验。 应该注意:虽然初等函数在其定义区间内一定存在原函数族, 但有些原函数族不是初等函数,无法用解析式表达。即初等函数在 其定义区间内一定可积,但有些初等函数的积分却无法表达。 如 , , 等。 换元积分法、分部积分法只能解决一些简单的不定积分。在实际 应用中,如果遇到较复杂的不定积分,需要借助积分表查出积分结 果,或借助数学软件在计算机上求出积分结果。但初学者还应要求 掌握积分方法,并能利用不同的积分方法求简单的不定积分。

17 回去回顾分部积分法,并做完 课后作业加以巩固


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