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机器人运动学 Kinematics of Robotics 3.1 机器人运动方程的表示 ( 姿态和方向角 \ 位置和坐标 \ 连杆变换矩阵 ) 3.2 机械手运动方程的求解 ( 欧拉变换解 / 滚仰偏变换解 / 球面变换解 ) 3.3 PUMA560 机器人运动方程 ( 运动分析 / 运动综合 ) 3.4 机器人的雅可比公式 ( 微分运动 / 雅可比矩阵 / 计算实例 )
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.0 A 矩阵和 T 矩阵 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成. 用 A 矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换. A 1 表示第一连杆对基坐标的位姿 A 2 表示第二连杆对第一连杆位姿 则第二连杆对基坐标的位姿为
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.1 运动姿态和方向角 1. 运动方向 接近矢量 a: 夹持器进入物体的方向 ;Z 轴 方向矢量 o: 指尖互相指向 ;Y 轴 法线矢量 n: 指尖互相指向 ;X 轴
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.1 运动姿态和方向角 2. 用旋转系列表示运动姿态 欧拉角 : 绕 Z 轴转 φ, 再绕新 Y 轴转 θ, 绕最新 Z 轴转 ψ. (3-3) 注意 : 坐标变换是右乘. 即后面的变 换乘在右边.( 绕新轴转, 连乘 )
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.1 运动姿态和方向角 3. 用滚 \ 仰 \ 偏转表示运动姿态 横滚 : 绕 Z 轴转 φ, 俯仰 : 绕 Y 轴转 θ, 偏转 : 绕 X 轴转 ψ. (3-5) 注意 : 左乘.
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.2 运动位置和坐标 1. 用柱面坐标表示末端运动位置 由于上述绕 Z 轴的旋转, 使末端执行器的姿态出现变化, 若要执行器姿态不变, 则需将其绕执行器 Z 轴反向旋转. (3-8)
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.2 运动位置和坐标 2. 用球面坐标表示末端运动位置 沿 Z 平移 r, 绕 Y 轴转 β, 绕 Z 轴转 α. (3-10)
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.2 运动位置和坐标 表示物体的位置 : 笛卡尔坐标、柱面坐标、球面坐标 1. 用柱面坐标表示末端运动位置 沿 X 平移 r, 绕 Z 轴转 α, 沿 Z 轴平移 z. ( 绕原坐标系运动, 左乘 ) (3-7)
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.2 运动位置和坐标 2. 用球面坐标表示末端运动位置 沿 Z 平移 r, 绕 Y 轴转 β, 绕 Z 轴转 α. (3-10)
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.2 运动位置和坐标 2. 用球面坐标表示末端运动位置 由于上述两个旋转, 使执行器姿态发生变化. 为保持姿态, 执行器要绕其自身 Y 和 Z 轴反向旋转. (3-11)
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.3 连杆变换矩阵 1. 广义连杆 (D-H 坐标 ) 全为转动关节 : Z i 坐标轴 ; X i 坐标轴 ; Y i 坐标轴 ; 连杆长度 a i; 连杆扭角 α i ; 两连杆距离 d i; 两杆夹角 θ i
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.3 连杆变换矩阵 1. 广义连杆 全为转动关节 : Z i 坐标轴 : 沿着 i+1 关节的运动轴 ; X i 坐标轴 : 沿着 Z i 和 Z i-1 的公法线, 指向离开 Z i-1 轴的方向 ; Y i 坐标轴 : 按右手直角坐标系法则制定 ; 连杆长度 a i; Z i 和 Z i-1 两轴心线的公法线长度 ; 连杆扭角 α i : Z i 和 Z i-1 两轴心线的夹角 ; 两连杆距离 d i : 相邻两杆三轴心线的两条公法线间的距离 ; 两杆夹角 θ i :X i 和 X i-1 两坐标轴的夹角 ;
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.3 连杆变换矩阵 1. 广义连杆 (D-H 坐标 ) 含移动关节 : Z i 坐标轴 ; X i 坐标轴 ; Y i 坐标轴 ; 连杆长度 a i =0 ; 连杆扭角 α i ; 两连杆距离 d i; 两杆夹角 θ i
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.3 连杆变换矩阵 1. 广义连杆 含移动关节 : Z i 坐标轴 : 沿着 i+1 关节的运动轴 ; X i 坐标轴 : 沿着 Z i 和 Z i-1 的公法线, 指向离开 Z i-1 轴的方向 ; Y i 坐标轴 : 按右手直角坐标系法则制定 ; 连杆长度 a i; Z i 和 Z i-1 两轴心线的公法线长度 ; 连杆扭角 α i : Z i 和 Z i-1 两轴心线的夹角 ; 两连杆距离 d i : 相邻两杆三轴心线的两条公法线间的距离 ; 两杆夹角 θ i :X i 和 X i-1 两坐标轴的夹角 ;
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.3 连杆变换矩阵 2. 广义变换矩阵 建立 D-H 坐标系后, 可通过两个旋转、两个平移建立相邻 连杆 i-1 和 i 间的相对关系。 1 。绕 Z i-1 轴转 θ i 角，使 X i-1 转到与 X i 同一平面内； 2 。沿 Z i-1 轴平移 d i ，把 X i-1 移到与 X i 同一直线上； 3 。沿 i 轴平移 a i-1, 把连杆 i-1 的坐标系移到使其原点与 连杆 i 的坐标系原点重合的位置； 4 。绕 X i-1 轴转 α i-1 角，使 Z i-1 转到与 Z i 同一直线上； 这四个齐次变换叫 A i 矩阵：
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.3 连杆变换矩阵 2. 广义变换矩阵 对旋转关节 : (3-13) 对棱柱关节 : (3-14)
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Robotics 运动学 3.1 机器人运动方程的表示 3.1.3 连杆变换矩阵 3. 用 A 矩阵表示 T 矩阵 T 6 : 机械手末端对其基座 Z: 机械手基座对参考坐标系 E: 端部工具对机械手末端 X: 端部工具对参考坐标系
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 1) 问题 : 已知手部位姿, 求各关节位置 2) 意义 : 是机械手控制的关键 3) 没有一种算法可以通用, 需要几何设置引导 本节介绍上节的几种特殊变换下的求解算法.
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.1 欧拉变换解 1. 基本隐式方程的解 若上式中 T 矩阵的各元素已知，即 （ 3-24 ） 对应项相等，有
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.1 欧拉变换解 arccos: 符号不定； 特殊点不准确； 0 或 180 时，后 （ 3-25/33 ） 两式没定义。
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.1 欧拉变换解 2. 用显式方程求各角度 (3-37) (3-39)
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.1 欧拉变换解 其中 (3-40)
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.1 欧拉变换解 由 有 : 即 (3-42/43) 这样, 由, 得 (3-44) 再由, 得 (3-45)
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.2 滚、仰、偏变换解 由 （ 3-47 ） f 定义同前。
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.2 滚、仰、偏变换解 由 得 （ 3-48 ） 这样，由 可得： （ 3-50 ） 再由 得 （ 3-51 ）
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.3 球面变换解 右列相等： （ 3-53 ）
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Robotics 运动学 3.2 机械手运动方程的求解 3.2.3 球面变换解 由第二行有： （ 3-54 ） （ 3-56 ） 用 的右列相等，可得： （ 3-57 ）
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析 已知转角，求各杆位姿
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析 1 。确定 D-H 坐标系 全为转动关节 : Z i 坐标轴 : 沿着 i+1 关节的运动轴 ; X i 坐标轴 : 沿着 Z i 和 Z i-1 的公法线, 指向离开 Z i-1 轴的方向 ; Y i 坐标轴 : 按右手直角坐标系法则制定 ; 连杆长度 a i; Z i 和 Z i-1 两轴心线的公法线长度 ; 连杆扭角 α i : Z i 和 Z i-1 两轴心线的夹角 ; 两连杆距离 d i : 相邻两杆三轴心线的两条公法线间的距离 ; 两杆夹角 θ i :X i 和 X i-1 两坐标轴的夹角 ;
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析 2 。确定各连杆 D-H 参数和关节变量
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析 3 。求出两杆间的位姿矩阵
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析 4 。求末杆的位姿矩阵
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析 （ 3-64 ）
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.1 运动分析 5 。验证
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.2 运动综合 已知， 求：各转角
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.2 运动综合 由于 交于一点 W, 点 W 在基础坐标系中的位置仅与 有关。据此，可先解出 ，再分离出 ，并逐一求解。 1. 求 θ 1
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.2 运动综合 有两个可能的解。 其他角度可以类似方法求得。
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Robotics 运动学 3.3 PUMA600 机器人运动方程 3.3.2 运动综合 解的多重性
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 1 。微分平移和旋转 在基系中的描述： 在坐标系 {T} 中描述：
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 1 。微分平移和旋转 微分平移变换： 微分旋转变换： 因为：
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 1 。微分平移和旋转 有：
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 1 。微分平移和旋转 所以有 （ 3-87 ）
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 1 。微分平移和旋转 因为： (3-88) (3-89) 微分平移和旋转矢量：
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 1 。微分平移和旋转 记： （ 3-90 ） （ 3-91 ）
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 1 。微分平移和旋转 例 3.1: 已知坐标系 {A} 和其对基系的微分平移和旋转, 求 微分变换 dA. 解 :(3-88)
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 1 。微分平移和旋转 坐标系 {A} 的微分变化
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 2 。微分运动的等价变换 目的：把一个坐标系内的位姿变换到另一坐标系内 由 有：
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 2 。微分运动的等价变换 与（ 3-89 ）元素对应相等，有
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 2 。微分运动的等价变换
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 2 。微分运动的等价变换
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 2 。微分运动的等价变换 例 3-2 ：在例 1 中，求坐标系 {A} 的等价微分平移和旋转
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 3 。变换式中的微分关系
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 3 。变换式中的微分关系 由上图，有
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 3 。变换式中的微分关系 一摄像机，装在机械手的连杆 5 上。这一连接及机械手的最后一 个连杆所处当前位置，分别由下式确定： 被观察的目标物体为 CAM O 。要把机械手的末端引向目标物体， 需要知道的坐标系 {CAM} 内的微分变化为： 求在坐标系 {T 6 } 内所需要的微分变化。
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 3 。变换式中的微分关系 例 3 。 3 ：
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 3 。变换式中的微分关系
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.1 机器人的微分运动 3 。变换式中的微分关系
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.2 机器人的雅可比矩阵 1 。定义 机械手的操作速度与关节速度间的线性变换定义为 机械手的雅可比矩阵。
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.2 机器人的雅可比矩阵
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Robotics 运动学 3.4 机器人的雅可比公式 3.4.2 机器人的雅可比矩阵 2 。雅可比矩阵的求法 （ 1 ）矢量积法 对移动关节 对转动关节
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