1.2 偏导数与全微分. 1.2.1 偏导数的概念 解 1.2.2 偏导数的求法（类似一元函数） （ 1 ）固定一个变量，对另一个变量用一元函 数的公式法则求导.

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1 1.2 偏导数与全微分

2 1.2.1 偏导数的概念

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5 解 1.2.2 偏导数的求法（类似一元函数） （ 1 ）固定一个变量，对另一个变量用一元函 数的公式法则求导

6 证 原结论成立．

7 证 由本例得知 为一整体符号

8 例 求函数 z = arcsinxy 的偏导数 解 (2) 对称函数 f (x, y) = f (y, x)

9 例 求函数 z = e xy (x + y) 的偏导数 解

10 2. 高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

11 解

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13 解

14 1.2.3 全微分 复习一元函数微分的定义 y = f (x) 增量： Δ y = f (x + Δ x) - f (x) ≈ f ′ (x)dx + o( Δ x) 微分： dy = f ′ (x)dx ≈Δ y

15 二、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得

16 全增量的概念

17 问题： (1) z = f(x, y) 可微， A 、 B 如何确定 (2) z = f(x, y) 满足什么条件可微

18 事实上 可微与连续的关系

19 3 ．可微的必要条件（微分与偏导数的关系）

20 证 总成立, 同理可得

21 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如，

22 因为函数在（ 0 ， 0 ）处的极限不存在，从而在点 （ 0 ， 0 ）处不连续，由定理 1 的推论可知： 多元函数的各偏导数存在 全微分存在．

23 可微的充分条件 全微分的求法

24 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况．

25 解 所求全微分

26 解 所求全微分

27 1.2.4 多元复合函数与隐函数的微分法 一、多元复合函数的求导法则 一元函数： y = f(u) u = φ (x) 则 二元函数： z = f(u, v) u = φ (x, y) v = ψ (x, y)

28 全导数（只有一个自变量） 全导数. 以上公式中的导数 称为 全导数. z u v t

29 解 z u v x

30 定理称为多元函数求导的链式法则 z u v x y

31 解 z u v x y

32 解 设 u = x 2 -y 2, v = y/x

33 定理推广到多个中间变量 z u v x y w

34 定理 1.7 设函数 在点 (x,y) 处的偏导数存在， 二元函数 在对应点 (x,y) 处可微， 则复合函数的偏导数存在，且有 只有一个中间变量 z ux y

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36 例 设函数 z = f(u) 可导， u y z x 解

37 2 、隐函数的求导公式 隐函数的求导公式

38 解 令 F(x,y) = sin(x+y) - xy 则 例 设 sin(x+y) = xy, 求

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40 解令 则 例 1-29 设

41 例 设由 F(x + y +z, xyz) = 0 确定的隐函数 z = f(x, y) ， 求 ， 解 令 u = x + y +z, v = xyz 则 F x = F 1 + yzF 2 ； F y = F 1 + xzF 2 F z = F 1 + xyF 2