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1 第六章 单变量微分学 郇中丹 2006-2007 学年第一学期
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2 基本内容 §0 微积分的创立 §1 导数和微分的定义 §2 求导规则 §3 区间上的可导函数 ( 中值定理 ) §4 不定式 §5 Taylor 公式 §6 用导数研究函数 §7 割线法和切线法 (Newton 方法 )
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3 §0 微积分的创立 Isaac Newton (1642-1727) Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)
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4 Isaac Newton (1642-1727) 1661.6 ( 顺治 18 年 ) 入剑桥三一学院 ( 半公费 ( 做仆 人挣钱缴交学费的 ) 学生 ), 数学指导教师 Isaac Barrow (1630-1677),1664.1( 康熙 3 年 ) 获学士学位. 1664-1666 英国流行黑死病 ( 鼠疫 ), 1665-1666 牛 顿回家乡呆了 18 个月, 其间发明了流数 (Fluxion) 法 ( 变量为流, 变化率为流数 ) 、发现了万有引力 定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成. 1665 年 11 月发明 “ 正流数法 ”( 微分法 ) ， 1666 年 5 月发明 “ 反流数法 ”( 积分法 ) ， 1666 年 10 月总结文 稿 “ 流数简论 ” ，建立了微积分基本定理。
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5 Isaac Newton (II) 1669 接替 Barrow 的教授职位 ; 1687( 康熙 26 年 ) 出 版 Mathematical Principles of Natural Philosophy. Newton 有关流数的著作到他身后才发表 (1736).
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6 Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) 1661 入 Leipzig 大学学法律,1663 获学士,1666 具 备获法学博士的资格 ( 出于嫉妒, 该校教师拒绝 授予 ), 被另一所大学授予博士和请其为教授 ( 他 拒绝了后者 ). 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车 中四处奔波, 使得他具有在任何时间、任何地点 和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写 着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书 馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅 比一般人的都小。
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7 Leibniz (II) 1666 其称作 “ 中学生随笔 ” 的《组合艺术》中立 志要创造出 “ 一般方法和普适语言，其中所有推 理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只 会有计算错误 ” ，为此他创立了符号逻辑但未能 完成, 发明了能做四则运算和开方的计算机。 由于其才能而被种种琐事困扰。 1672-1673 请求 Huygens 教授了他现代数学 ; 在英 国了解到了无穷级数方法。 1675 年发现了微积分基本定理， 1677 年 7 月 11 日将其发表，其方法主要经过 James 和 John Bernoulli 兄弟的发展而成为一种强有力而又容 易运用的工具。
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8 Leibniz (III) Leibniz 建立微积分的基本记号和术语, 包括微积 分 (Calculus, 原意是鹅卵石, 用于计数 ), 微分 ( 原 意是差的, Differential), 微分, 求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则. 1673 年引入函数的术语。 提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判 断。
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9 §1. 导数和微分的定义 微分和导数概念的意义 函数增量与微分和导数 连续与导数和导数的解释
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10 微分和导数概念的意义 (I) 微分的概念源自试图刻划在一个 “ 小 ” 时间间隔 或空间上的变化量。 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位 置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速 度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等 等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。 微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的 范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间 到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。 由近似到线性映射。
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11 微分和导数概念的意义 (II) 导数的物理背景 : 随时间或空间的变化率 (rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓 度或强度等等。 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、 曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函 数和由函数图像确定图像切线。 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。
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12 函数增量与微分和导数 设 在 a 的一个邻域上有定义. 增量定义 : 称 x=x a 为自变量 x 在 a 处的增量, (x)= (x) (a) 为 在 a 处的增量. 微分定义 : 若 c R 使得 (x)~c x ( x 0), 就称 线性函数 g( x)=c x 为 (x)( 也叫 在 a 处 ) 的微分, 记做 d (x) 或 d . x 也记做 dx. 此时称 在 a 处可微. 导数定义 : 若 c R 使得 (x)/ x c ( x 0), 称 c 为 在 a 处的导数, 记做 c= (a) 或 d /dx(a)=D (a). 小结 : 若 在 a 处可微, (x)=d (x)+ ( x) x ( ( )=0), d (x) (a)dx. d (x) 也叫做函数增量 (x) 的线性部分.
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13 连续与导数和导数的解释 可微与连续 : 若 在 a 处可微, 则 在 a 处连续. 左导数和右导数 : 右导数 (a + ), 左导数 (a - ). 导数与左右导数 : 在 a 处有导数当且仅当 在 a 处左右导数存在且相等. 切线定义 : 曲线 y= (x) 在 (a, (a)) 的切线定义为直 线 : y= (a)+ (a)(x-a). 导数 (a) 的几何解释 : 曲线 y= (x) 在 (a, (a)) 的切 线的斜率. 导数 (a) 的物理解释 : 若 (x) 为物体在时间间隔 [t 0,a] 内运动的路程, (a) 为在时刻 a 的瞬时速度.
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14 习题十八 (I) 1. 用定义计算下列函数在 x=0 点的导数 : (1) (0)=0, 若 x 0, (x)=x^2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若 x 0, (x)=exp(-1/x^2); (3) Dirichlet 函数 D(x); (4) x D(x); (5) x^2 D(x). 2. 证明 : 若 (0) 存在, 则 n( (1/n)- (0)) (0) (n ). 反过来成立吗？ 3. 设 (0)=0 且 (0) 存在. 计算数列 : x n = (1/n^2)+ (2/n^2)+…+ (n/n^2) 的极限. 计算数列极限 : –(1) x n =sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2); –(2) y n =(1+1/n^2) (1+2/n^2) … (1+n/n^2).
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15 习题十八 (II) 4. 设函数 在 x=0 的一个邻域上有定义并且满足 : x I, (x) (0). 证明 : 如果 (0) 存在, 则 (0)=0. 5. 证明：函数 在 x=0 点可微的充分必要条件是 (x)= (0)+g(x)x, 其中 g 在 x=0 点连续. 6. 求下列曲线在给定点的切线方程 : (1) y=x^2-x+3, P(2,5); (2) y=1/x, P(1,1); (3) y=e^x+x+1, P(0,3); (4) y=sin x, P 6,1/2). 若
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16 §2 求导规则 复合函数求导的链式法则 反函数求导公式 一阶微分形式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数 双曲函数求导公式 高阶导数和高阶微分
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17 复合函数求导的链式法则 定理 : 设 在 a 点可微,g 在 (a) 点可微, 则 h=g 在 a 点可微, 并且 h(a)= g( (a)) (a). 证明 : 记 = (a), = g( (a)). 则 –(1) (x)= x + x) x ( )=0), –(2) g(y)= y + y) y ( )=0). 因此, h(x)= (x)+ (x)) (x)= x + x) x + x+ x) x) ( x+ x) x)= x + ( x) x, 其中 ( x)= x)+ x+ x) x) ( + x)) 满足 ( )=0. 所以, h(a)= = g( (a)) (a). #
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18 反函数求导公式 定理 : 设 C(I), g 是 在 (I) 上的反函数, 这里 I 是 区间. 若 在 a 点可微且 (a) 0, 则 g 在 b= (a) 可微, 并且 g(b)=1/ (a)=1/ (g(b)). 证明 : 由 在 (I) 上有反函数, 在 I 上严格单调, 因 此, g C( (I)). 只要证明 g(b) 存在就够了. 而这由 (g(y)-g(b))/(y-b)= (g(y)-g(b))/( (g(y))- (g(b))) 和 复合函数的极限性质就得到结论.#
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19 一阶微分形式的不变性 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法 : 设 的微分是 d (x). 若 x=g(t) 有微分 dx=dg(t), 则 d ((g(t))= (g(t)) dg(t)= (x) dx=d (x). 这看似空洞的公式, 许多时候有意想不到作用, 同类的公式在高阶导数时不再成立.
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20 求导运算的算术性质 设 何 g 在 a 点可微, c R. 则 +g, c , g 在 a 点可 微, 若 g(a) 0, /g 在 a 点也可微. 并且 –( +g)(a)= (a)+g(a); –(c )(a)= c (a); –( g)(a)= (a) g(a)+ (a) g(a); –( /g)(a)= ( (a) g(a) (a) g(a))/g(a)^2. 证明 : 极限性质和导数定义的应用.#
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21 初等函数求导公式 基本初等函数求导公式 : –(c)=0; –(x)=1; 由归纳法： (x^n)=nx^{n-1}; –(exp x)=exp x; 由链式法则,(a^x)= a^x ln a; 反函数求 导规则 :(ln x)=1/x;(log a x)=(ln a)/x;(x^ )= x^{ -1}; 以及 (u^v)=u^v (vln u +vu/u). –(sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到 : (cos x)= -sin x; (tan x)=sec^2 x; (cot x)=-csc^2 x; (sec x)=tan x sec x; (csc x)=-cot x csc x. 由反函数求导规则 : (arcsin x)=1/sqrt{1- x^2}; (arccos x)=-1/sqrt{1- x^2}; (arctan x)=1/(1+x^2);(arccot x)=-1/(1+x^2);(arcsec x) =1/(|x|sqrt{x^2-1}); (arccsc x)=-1/(|x|sqrt{x^2-1}).
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22 双曲函数 双曲函数定义 : sh x=sinh x, ch x=cosh x, th x= tanh x, cth x=coth x, sech x, csch x. 反双曲函数 : –arsh x=ln(x+sqrt(1+x^2)); –arch x = ln(x+sqrt(x^2-1)); –arth x=1/2 ln((1+x)/1-x)); –arcth x=1/2 ln((1-x)/1+x)); –arsec x= ln((1+sqrt(1-x^2))/x), 0<x<1; –arcsch x= ln((1+sqrt(1+x^2))/|x|).
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23 双曲函数求导公式 双曲函数求导公式 : –(sh x)=ch x; (ch x)= sh x; –(th x)=sech^2 x; (cth x)=-csch^2 x; –(sec x)=-th x sech x; (csch x)=-cth x csch x. 反双曲函数求导公式 : –(arsh x)=1/sqrt{1+x^2}; –(arch x)=1/sqrt{x^2-1}; –(arth x)=1/(1 x^2); –(arcth x)=1/(1-x^2); –(arsech x) =-1/(x sqrt{1-x^2}) (0<x<1); –(arcsch x)= -1/(|x|sqrt{x^2+1}).
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24 习题十九 (I) 1. 计算下列函数的导数： –(1) y=3x+7sqrt(x)+7/x^3; (2) y=1/(1+x+x^2); –(3) y=(2-sqrt(x)+3x-5x^2)/x^2; (4) y=(1-x^2)/(1+x^2); –(5) y=x^(1/3)+x^(-1/3); (6) y=(1-x)(2-x)(3-x); –(7) y=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); (8) y=x/((x-1)(x-2)); –(9) y=1/(1+sqrt(x))-1/(1-sqrt(x)); (10) y=(ax+b)/(cx+d); –(11) y=(1+sqrt(x))/(1-sqrt(x)); (12) y=x^2sin x; –(13) y=(2-x)/((1-x)(1+x^2)); (14) y=x^3ln x+x^n/n; –(15) y=(ln x)(cos x);(16) y=e^x sin x; (17) y=e^x sec x;
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25 习题十九 (II) –(18) y=(cos x+sin x)/(cos x-sin x); (19) y=(cot x)/x^4; –(20) y=(x+1/x)ln x; (21) y=(cos x)(ln 1/x)/x^5; –(22) y=(sin x)/x; (23) y= x sin x ln x; (24) y=x^3tan x. 2. 利用等比数列求和公式，计算下列和式： –(1) S n =1+2x+3x^2+…+nx^(n-1); –(2) S n =1+2^2x+3^2x^2+…+n^2x^(n-1). 3. 证明下列和式： –(1) C_n^1+2C_n^2+…+nC_n^n=n2^(n-1); –(2) C_n^1+2^2C_n^2+…+n^2C_n^n=n(n+1)2^(n-2).
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26 习题十九 (III) 4. 计算下列函数的导数： –(1) y=(x^3-4)^4; (2) y=x(a^2-x^2)sqrt(a^2-x^2); –(2) y=x/sqrt(n^2-x^2); (4) y=((1+x^2)/(1-x^2))^(1/3); –(5) y=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))); (6) y=ln(ln x); –(7) y=(1+x^(1/3))^1/3; (8) y=ln|(a+x)/(a-x)|; –(9) y=ln(x+sqrt(a^2+x^2)); (10) y=ln(tan(x/2)); –(11) y=ln sqrt((1+cos x)/(1-cos x)); (12) y=ln^3 x^5; –(13) y=ln((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x))); –(14) y=cos^3 x-cos(3x); (15) y=sin^n x cos(nx); –(16) y=tan x-tan^3 x+tan^5 x; (17) y=cos(cos(sqrt(x))); –(18) y=sin^2 x/sin(x^2); (19) y=x^(sin x); (20) y=x^x;
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27 习题十九 (IV) –(21) y=x^(tan x); (22) y=x^(ln x); (23) y=exp(sqrt(x)); –(24) y=exp(-1/x^2); (25) y=a^(sin x); (26) y=x^(x^x); –(27) y=(1+x)^(1/x); (28) y=sh(ln x); (29) y=sh(x) sin x; –(30) y=arcsin(sqrt(1-x^2)); (31) y=arcsin(cos x); –(32) y=e^(ax)(cos bx+sin bx); (33) y=arctan(ch x); –(34) y=arctan(tan^2x); (35) y=(a/b)^x (b/x)^a (x/a)^b; –(36) y=arctan(sqrt((a-b)/(a+b))tan(x/2), (a>b>0); –(37) y=a^2arcsin(x/a)+x sqrt(a^2-x^2); –(38) y=a^2ln|x+sqrt(a^2+x^2)|+x sqrt(a^2+x^2); –(39) y=e^(x^2)(x^2+2x+2); –(40) y=ln(arccos(1/sqrt(x))).
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28 高阶导数 定义 : 设 在 (a,b) 上处处可微, 就定义了 (a,b) 上 的一个函数, 这个函数 叫做 的导函数 ; 若 也 有导数, 其导函数叫做 的二阶导函数, 记做 ; (x) 叫做 在点 x 的二阶导数 ; 依此类推. 的 n 阶 导数记做 ^(n), D^n 或 d^n /dx^n. 约定 : ^(0)= . Leibniz 公式 : 设 u,v 有 n 阶导数, 则有公式 : 证明 : 对 n 做归纳法 : n=0 时成立. 然后由 n=k 成立 推出 n=k+1, 与二项式定理的证明类似。 #
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29 高阶微分 定义 : 设 在 (a,b) 上处处可微,d^2 (x)=(d (x))dx 叫做 的二阶微分. 一般 d^(n+1) (x)=d(d^n (x))=(d ^(n)(x))dx= ^(n)(x)dx^n 注 : 高阶微分没有形势不变性, 有关讨论参看教 材 90-92 页. 记号 F. D. Bruno 公式 : 设 和 g 都有 n 阶导数. 则 h= ° g 的 n 阶导数满足下面的公式 :
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30 习题二十 (I) 1. 证明 Leibniz 公式. 2. 证明 Bruno 公式。 3. 计算下列函数的 n 阶导数 : –(1) y=1/(1-x^2); (2)y=(1+x)/(1-x)^(1/3); (3)y=sin^2 x; –(4) y=x^n/(1-x); (5) y=sin^3 x; (6) y=e^x sin x; –(7) y=x^n/(x^2-1); (8) y=e^x(cos x+sin x); –(9) y=x^n/((x+1)^2(x+2)^2); (10) y=1/sqrt(1+x^2). 4. 证明 y=arcsin x 和 y=arccosx 满足 (1-x^2)y - xy=0. 5. 证明 y=(x+sqrt(1+x^2))^m 满足 (1+x^2)y +xy = m^2 y.
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31 习题二十 (II) 6. 证明. 切比雪夫多项式 Tn(x)=1/2^(n-1)cos(n arccos x)) 满足 (1-x^2)y -xy+n^2 y=0. 7. 设 y= (x) 有反函数并且满足 y +(y)^3=0. 证明 的反 函数 g 满足 g =1, 并由此给出 的一个例子. 8. 求下列函数的指定阶数的微分, 其中 u,v 都有用到的 各阶导数 : –(1) y=u^2, 求 d^10y; (2) y=arctan(u/v), 求 d^2y; –(3) y=e^u, 求 d^4y; (4) y=ln u, 求 d^3y. 9. 设 在 x=0 点连续且 ( (2x)- (x))/x l (x 0). 证明 在 x=0 点可微, 且 (0)=l. 10. 证明 : (f(x)-b)/(x-a) A(x a) 当且仅当 (e^(f(x))- e^b)/(x-a) Ae^b(x a).
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32 §3 区间上的可导函数 ( 中值定理 ) 有关函数一点行为的定义 导数对函数一点行为的刻划 中值定理的意义及其逻辑 中值定理证明及其简单推论 例子 Lagrange 中值定理的一些推论 三个不等式 参变量函数求导定理
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33 导数对函数一点行为的刻划 定义 : 设 a 是 定义的内点. U 是 a 的邻域 – 在 a 点增 : x U, x a, 则 ( (x)- (a)) (x-a)>0; – 在 a 点减 : x U, x a, 则 ( (x)- (a)) (x-a)<0; – 在 a 点不减 : x U, 则 ( (x)- (a)) (x-a) 0; – 在 a 点不增 : x U, x<a, 则 ( (x)- (a)) (x-a) 0; –a 点是 的局部严格最大值点 : x U, x a, (x)< (a); –a 点是 的局部严格最小值点 : x U, x a, (x)> (a); –a 点是 的局部最大值点 : x U, (x) (a); –a 点是 的局部最小值点 : x U, (x) (a).
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34 导数对函数一点行为的刻划 (a) 充分条件 : – 若 (a)>0, 则 在 a 点增 ; (Darboux 引理 ) – 若 (a)<0, 则 在 a 点减 ; (Darboux 引理 ) – 若 x U, x a, (x) (x-a)<0, 则 a 局部严格最大值点 ; – 若 x U, x a, (x) (x-a)>0, 则 a 局部严格最小值点 ; 必要条件 : 设 (a) 存在. – 若 在 a 点不减, 则 (a) 0; – 若 在 a 点不增, 则 (a) 0; – 若 a 是 的极值点, 则 (a)=0. (Fermat 引理 )
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35 中值定理的意义及其逻辑 中值定理要讨论的问题 : 用导数得到函数值差 的表达式, 利用导数的性质研究值差以得到有 关函数的信息。 中值 (Lagrange) 定理 : 若 C[a,b], 且在 (a,b) 上点 点可微, 则 c (a,b), 使得 (b) (a)= (c)(b a). # 其证明是基于 Fermat 引理. 逻辑顺序 : Rolle 定理 ( (b) (a), c (a,b), 使得 (c)=0) Cauchy 中值 定理 ( ,g C[a,b] 都在 (a,b) 上点点可微, 且 x (a,b),g(x) 0, 则 c (a,b), 使得 ( (b) (a))/(g(b)- g(a))= (c)/g(c)) Lagrange 中值定理. 附带地得到导函数的介值性质和间断点的特点.
![35 中值定理的意义及其逻辑 中值定理要讨论的问题 : 用导数得到函数值差 的表达式, 利用导数的性质研究值差以得到有 关函数的信息。 中值 (Lagrange) 定理 : 若 C[a,b], 且在 (a,b) 上点 点可微, 则 c (a,b), 使得 (b) (a)= (c)(b a).](http://images.slidesplayer.com/40/11046403/slides/slide_35.jpg "# 其证明是基于 Fermat 引理. 逻辑顺序 : Rolle 定理 ( (b) (a), c (a,b), 使得 (c)=0) Cauchy 中值 定理 ( ,g C[a,b] 都在 (a,b) 上点点可微, 且 x (a,b),g(x) 0, 则 c (a,b), 使得 ( (b) (a))/(g(b)- g(a))= (c)/g(c)) Lagrange 中值定理. 附带地得到导函数的介值性质和间断点的特点..")
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36 中值定理的证明及其简单推论 Rolle 定理的证明 : 在 (a,b) 上必有极值.# Cauchy 定理的证明 : h(x)=(g(b)-g(a)) (x) ( (b) (a))g(x), 则 h C[a,b] 在 (a,b) 上点点可微, 且 h(a)=h(b)=g(b) (a) (b)g(a).# Lagrange 定理的证明 : 在 Cauchy 定理中取 g(x)=x 就可以了.# Darboux 定理 : 设 在 (a,b) 上可微. 则 ((a,b)) 是 区间. 因此 在 (a,b) 上的间断点只能是第二类间 断点. 证明 : (1) 证明零点定理 ; (2) 由 Lagrange 定理第 一类间断点必为连续点. #
![36 中值定理的证明及其简单推论 Rolle 定理的证明 : 在 (a,b) 上必有极值.# Cauchy 定理的证明 : h(x)=(g(b)-g(a)) (x) ( (b) (a))g(x), 则 h C[a,b] 在 (a,b) 上点点可微, 且 h(a)=h(b)=g(b) (a) (b)g(a).# Lagrange 定理的证明 : 在 Cauchy 定理中取 g(x)=x 就可以了.# Darboux 定理 : 设 在 (a,b) 上可微.](http://images.slidesplayer.com/40/11046403/slides/slide_36.jpg "则 ((a,b)) 是 区间. 因此 在 (a,b) 上的间断点只能是第二类间 断点. 证明 : (1) 证明零点定理 ; (2) 由 Lagrange 定理第 一类间断点必为连续点. #.")
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37 例子 例 1. 设 (0)=0, 而当 x 0 时, (x)=x^2 cos(1/x). 因 此 (0)=0, 而当 x 0 时, (x)=2xcos(1/x)+sin(1/x). 在 x=0 点的左右极限都不存在. 例 2. (x)=2sqrt(|x|). 若 x 0, (x)=sgn(x)/sqrt(|x|). (0 ) , (0 ) ( 实际上, 也是 在 x=0 点左 右 “ 导数 ”). 例 3. (x)=3x^(1/3). 若 x 0, (x)=x^( 2/3). (0 ) (0 ) ( 实际上, 也是 在 x=0 点的 “ 导数 ”). 在例 2-3 的情形, 称 在 x=0 点有 ( 左, 右 ) 导数.
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38 Lagrange 中值定理的一些推论 1. 若 x (a,b), (x)=0, 则 是 (a,b) 上的常值函数. 2. 设 在 (a,b) 上可微. 则 在 (a,b) 上不减的充分必 要条件是 x (a,b), (x) 0. 3. 若 x (a,b), (x)>0, 则 在 (a,b) 上是严格增的. 4. 设 在 (a,b) 上可微. 则 在 (a,b) 上严格增的充分 必要条件是 x (a,b), (x) 0, 并且在 (a,b) 的子 区间上不为常数. 推论 4 的证明 : 必要性 : 由推论 3 得到 (x) 0, 严 格增给出后一部分. 充分性 : (x) 0 给出不减, 在 (a,b) 的子区间上不为常数给出严格.#
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39 三个不等式 Young 不等式 : 设 , . 则 x 0,x^ x+ . Young 不等式的变形 : a^ b^ a +b . (x=a/b ） Hölder 不等式 : 设 u i, v i >0, i=1,…,n. 则 Minkovski 不等式 : 设 p>1, a i, b i >0, i=1,…,n. 则
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40 参变量函数求导定理 定理 : 设 (t), (t) 在 [a,b] 上可微且 t [a,b], (t)> 0. 则由 x= (t) 和 y= (t) 可得 [ a), b)] 上的函数 y= (x). 即 = ^{-1}. 特别 ( (t))= (t)/ (t). 这个定理为研究参数曲线和参变量函数求导提 供了工具. 证明 : 链式法则的推论.# 推论 : 参变量函数二阶导数的公式. ( (t))=( (t) (t)- (t) (t))/( (t))^3.
![40 参变量函数求导定理 定理 : 设 (t), (t) 在 [a,b] 上可微且 t [a,b], (t)> 0.](http://images.slidesplayer.com/40/11046403/slides/slide_40.jpg "则由 x= (t) 和 y= (t) 可得 [ a), b)] 上的函数 y= (x). 即 = ^{-1}. 特别 ( (t))= (t)/ (t). 这个定理为研究参数曲线和参变量函数求导提 供了工具. 证明 : 链式法则的推论.# 推论 : 参变量函数二阶导数的公式. ( (t))=( (t) (t)- (t) (t))/( (t))^3..")
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41 习题二十一 (I) 1. 设 (x)=x m (1-x) n, 其中 m, n 为正整数. 证明 : c (0,1) 使得 m/n=c/(1-c). 2. 证明 : 4ax 3 +3bx 2 +2cx=a+b+c 在 (0,1) 内至少有 一个根. 3. 证明 : e x = ax 2 +bx+c 的根不超过三个. 4. 设 C[a,b] 在 (a,b) 上有 n 阶导数, 并且在 [a,b] 上有 ( 按重数计 )n+1 个零点. 证明 : (n) 在 [a,b] 上至 少有一个零点. 5. 证明 : 一个有 ( 按重数计 )n+1 个零点的次数不 超过 n 的多项式必为零多项式.
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42 习题二十一 (II) 6. 设 在 (a,b) 上可微 ( 其中 a 可以是 ,b 可以是 ). 证明 : 如果 (a + )= (b ), 则 c (a,b) 使得 (c) =0. 7. 设 在 (a,b) 上可微. 证明 的两个零点之间必有 的零点. 8. 证明 :Legendre( 勒让德 ) 多项式 P n (x)=1/(2^n n!)[(x^2-1)^n]^{(n)} 在 [-1,1] 内有 n 个零点. 9. 证明 : Chebyshev-Laguerre( 切比雪夫 - 拉盖尔 ) 多项式 L n (x)=e^x[(x^ne^(-x)]^{(n)} 有 n 个不同的 零点.
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43 习题二十一 (III) 10. 证明 : Chebyshev-Hermite ( 切比雪夫 - 厄尔米特 ) 多项 式 L n (x)=(-1)^n/n! e^(x^2/2) [(e^(-x^2/2)]^{(n)} 有 n 个不 同的零点. 11. 证明 : (1) |sin x-sin y| |x-y|; (2) |cos x-cos y| |x-y|; (3) |arctan x-arctan y| |x-y|; (4) |arccot x- arccot y| |x-y|. 12. 设 C(a,b) 且在 (a,c) (c,b) 上可导. 证明 : 如果, 则 (c)=A. 13. 设 在 (a,b) 上可导, 并且 在 (a,b) 单调. 证明 C(a,b). 14. 设 在 (a, b) 上可导并且 有界. 证明 在 (a, b ) 上一致 连续.
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44 习题二十一 (IV) 15. 设 在 (a, ) 上可导且 (x) (x ). 证明 在 (a, ) 上不一致连续. 16. 证明 (x)=xlnx 在 (0, ) 上不一致连续. 而 g(x)=sqrt(x) ln x 在 (0, ) 上一致连续. 17. 设 (x) (0)= x ( (x)), 其中 0 0), (0)=0 ，对于 a>0, (x) 在 (0,a) 上 不连续. 18. 定义 (x)=arctan((1+x)/(1-x)) (x 1), (1)=0. 证明 在 x=1 点有极限, 但是 在 x=1 点的两个单侧导数都不存在. 请给出你的解释. 19. 设 C[a-h, a+h] 在 (a-h, a+h) 上可导 (h>0). 证明 : (a+h) (a-h)=[ (a+ h) (a- h)] h; (a+h) (a-h) 2 (a)=[ (a+ h) (a- h)] h 2.
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45 习题二十一 (V) 20. 设 C[a, b] 在 (a, b) 上可导. 证明 : 如果 不是一次多 项式, 则 c a b 使得 | (c)|>| (b) (a)|/(b a). 21. 设 在 [a, b] 上有二阶导数且 (b) (a)=0. 证明 : c a b 使得 | (c)|>4| (b) (a)|/(b a)^2. 22. 设 C[a, b] 在 (a, b) 上可导. 证明 : (1) c a b 使得 c[ (b) (a)]=(b 2 a 2 ) (c); (2) 若 a >0, c a b 使得 (b) (a)=c (c) ln(b/a). 23. 设 C[a, b] 在 (a, b) 上可导 (ab>0). 证明 : c (a,b),
![45 习题二十一 (V) 20. 设 C[a, b] 在 (a, b) 上可导.](http://images.slidesplayer.com/40/11046403/slides/slide_45.jpg "证明 : 如果 不是一次多 项式, 则 c a b 使得 | (c)|>| (b) (a)|/(b a). 21. 设 在 [a, b] 上有二阶导数且 (b) (a)=0. 证明 : c a b 使得 | (c)|>4| (b) (a)|/(b a)^ 设 C[a, b] 在 (a, b) 上可导. 证明 : (1) c a b 使得 c[ (b) (a)]=(b 2 a 2 ) (c); (2) 若 a >0, c a b 使得 (b) (a)=c (c) ln(b/a). 23. 设 C[a, b] 在 (a, b) 上可导 (ab>0). 证明 : c (a,b),.")
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46 习题二十一 (VI) 24. 证明恒等式 :(1) |x| 1,2arctan x+arcsin[2x/(1 +x 2 )]= sgn(x);(2) |x| 1/2,3arccosx arcos(3x-4x 3 ) = . 25. 设 在 (a, ) 上可导并且 f(x) 0 (x + ). 证 明 : f(x) /x 0 (x + ).. 26. 设 x=acos 3 t, y=a sin 3 t. (1) 计算 y(x); (2) 证明 : 切线为坐标轴所截线段有定常. 27. 对于曳物线 : x=a[ln (tan t/2)+cos t], y=a sin t. (1) 计算 y(x); (2) 证明 : 切点到切线与 x 轴的交点 的距离为定值.
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47 习题二十一 (VII) 28. 证明：双纽线 r 2 =a 2 cos 2 的向径与切线间的 夹角等于向径极角的两倍加 2. 29. 证明下列不等式： (1) 当 x 0 时, e x >1+x; (2) 当 x>0 时, x-x 2 /2 0 时, x-x 3 /6 0 时, (1+1/x) x <e<(1+1/x) x+1.
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48 §4 不定式 不定式的含义 洛比塔法则 (L’Hôspital Rules)
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49 不定式的含义 不定式 : 设当 x a 时, (x) l, g(x) . – 对于和 : 若 l 与 中一个是 + , 一个是 , 则 (x)+g(x) 的极限是 不能由极限运算的算术性质确定的 ; – 对于乘积 : 若 l 与 中一个是 , 一个是 , 则 (x) g(x) 的极限是不 能由极限运算的算术性质确定的 ; – 对于商 : 若 l 与 都是 , 或都是 , 则 (x)/g(x) 的极限是不能由极 限运算的算术性质确定的 ; – 广而言之, 凡其极限不能由构成的两 ( 多 ) 个函数的极限值直 接由规则确定的式子叫做不定式. 一般按极限值及其构成方 式分类. 常见的不定式 : + 型, 0 型, 型, 0/0 型, 0 0 型, 1 型, 0 型等. 上述这些常见不定式都可转化成 型, 0/0 型的讨论.
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50 洛比塔法则 (L’Hôspital Rules) 这里只对 x a - 讨论, 其他类型留做给学生自己 完成. 洛比塔法则 I. 设 ,g 在 ( ,a) 上可微, (a - )=g(a - )=0, 而 g 在 a 附近不为 0. 若 ( /g)(a - ) 存在, 则 ( /g)(a - )= ( /g)(a - ). 证明 : 定义 (a)=g(a)=0. 余下只要应用 Cauchy 中 值定理就够了. # 洛比塔法则 II. 设 ,g 在 ( ,a) 上可微,g(a - )= . 若 ( /g)(a - ) 存在, 则 ( /g)(a - )= ( /g)(a - ).
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51 洛比塔法则 II 的证明 洛比塔法则 II 的证明 : 这里只考虑 ( /g)(a - )=l 有 限的情形, 否则考虑 g/ . 任取 >0, >0, 使得当 0<a x< 时, | (x)/g(x) l|< . 由恒等式, 其中 a <x 0 <x<a. 因此 这就得到了所要证明的结论. #
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52 例题 1. x x 1 (x 0 + ); 2. (x-sin x)/x 3 1/6, (x 0); 3. (tan x-x)/ (x-sin x) 2, (x 0); 4. a>0, (ln x)/ x a 0, (x + ); 5. 1/x 2 -1/tan 2 x 2/3, (x 0); 6. x x^x-1 1, (x 0). 若 x 2 x 3
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53 习题二十二 (I) 1. 推广上下极限的概念到函数的情形. 这里仅讨 论 x a- 的情形其他情形留给学生自己去做. 假 设 >0, 在 (a- ,a) 上有定义. 定义 在 a 的上极 限为, 下极限为 证明 : (1) ; (2) 是 存在的充要条件 ; (3) 对于 (a ,a) 中以 a 为极限的 数列 {x n }, 若数列 { (x n )} 有极限 l, 则在 l 在 在 a- 的上, 下极限之间.
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54 习题二十二 (II) 2. 计算下列函数 x 0 时的极限 : (1) [x-ln(1+x)]/ x 2 ; (2) |x|ln|x|; (3) x k e 1/|x| ; (4) 1/x–1/ln(1+x); (5)1/x – 1/sin x; (6) x[a 1/x b 1/x ] (a,b>0); (7) (tan x) sin x ; (8)(sin x/x) 1/x^2 ;(9)[e(1+x) 1/x ] 1/x ; (10)(tan x/x) 1/x^2 ; (11) (cos x) 1/x^2 ; (12) [(1+|x| a )/(1+|x| b )] 1/ln|x| ; (13) [x 2 sin(1/x)]/sin x.
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55 习题二十二 (III) 3. 计算下列函数 x + 时的极限 : (1) x k /e x ; (2) [x –1 ln(1+x)] 1/x ;(3) ( /2 arctan x) 1/x ; (4) ln k x/x; (5) [e -2x (cos x+2sin x)+e x^2 sin 2 x]/[e -x (cos x+sin x)] (6) [tan( x/(2x+1))] 1/x ; (7) (x-sin x)/(x+sin x); (8) [(1+x a )/(1+x b )] 1/ln x (a,b 为实数 ); (9) [1+x+sin x cos x]/[(x+sin x cos x)e sin x ]. 4. 设 在 a,+ ) 上有界且可微 证明 若 x 时, (x) l, 则 l=0.
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56 习题二十二 (IV) 5. 设 在 a,+ ) 上有界且可微 证明 若 x 时, (x)+ (x) l. 证明 : x) l (x ). 6. 由 Lagrange 中值定理, 证明下列结论 : (1) 若 ln(1+x)=x/(1+ x), 则 1/2 (x 0); (2) 若 e x 1= xe x, 则 1/2 (x 0); (3) 若 arcsin x=x/sqrt(1 x ),0< <1, 则 1/sqrt(3) (x 0). 7. 确定常数 a, b 使得当 x 0 时, (1) (x)=(a+bcos x)sin x x 为 x 的 5 阶无穷小 ; (2) (x)=e x (1 ax)/(1+bx) 为 x 的 3 阶无穷小.
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57 §5 Taylor 公式
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58 若
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60 §6 用导数研究函数
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63 §7 割线法和切线法 (Newton 方法 )
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69 习题十八 1. 计算下列极限 x 2 x 3 若
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70 x 2 x 3 若
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71 x 2 x 3 若
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72 x 2 x 3 若
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![1.3 二项式定理. [ 题后感悟 ] 方法二较为简单，在展开二项式之前根据二项 式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化．记 准、记熟二项式 (a ＋ b) n 的展开式，是解答好与二项式定理有关 问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，会更 简便.](/40/11074301/big_thumb.jpg "1.3 二项式定理. [ 题后感悟 ] 方法二较为简单，在展开二项式之前根据二项 式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化．记 准、记熟二项式 (a ＋ b) n 的展开式，是解答好与二项式定理有关 问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，会更 简便.>")
