精品课程 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第二节 一、微分的概念 函数的微分.

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1 精品课程 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第二节 一、微分的概念 函数的微分

2 精品课程 一、微分的概念 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少 ? 设薄片边长为 x, 面积为 A, 则 面积的增量为 关于△ x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在当 x 在 取 得增量 时,时, 变到 边长由 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 精品课程 的微分, 定义 : 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△ x 的常数 ) 则称函数 而 称为 记作 即 定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4 精品课程 定理 : 函数 证 : “ 必要性 ” 已知 在点 可微, 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5 精品课程 定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “ 充分性 ” 已知 即 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 精品课程 说明 : 时,时, 所以 时 很小时, 有近似公式 与是等价无穷小, 当 故当 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7 精品课程 微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8 精品课程 例如, 基本初等函数的微分公式 ( 见 P115 表 ) 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

9 精品课程 二、 微分运算法则 设 u(x), v(x) 均可微, 则 (C 为常数 ) 分别可微, 的微分为 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10 精品课程 例 1. 求 解:解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11 精品课程 例 2. 设 求 解 : 利用一阶微分形式不变性, 有 例 3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 : 说明 : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意 : 数学中的反问题往往出现多值性.

12 精品课程 数学中的反问题往往出现多值性, 例如 注意 目录 上页 下页 返回 结束

13 精品课程 三、 微分在近似计算中的应用 当很小时, 使用原则 : 得近似等式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

14 精品课程 特别当 很小时, 常用近似公式 : 很小 ) 证明 : 令 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

15 精品课程 的近似值. 解 : 设 取 则 例 4. 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束

16 精品课程 的近似值. 解:解: 例 5. 计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束

17 精品课程 例 6. 有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 解 : 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 用铜多少克. 估计一下, 每只球需 要镀上一层铜, 厚度定为 0.01cm, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

18 精品课程 四、 微分在估计误差中的应用 某量的精确值为 A, 其近似值为 a, 称为 a 的绝对误差 称为 a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 机动 目录 上页 下页 返回 结束

19 精品课程 误差传递公式 : 已知测量误差限为 按公式计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得 x, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

20 精品课程 例 7. 设测得圆钢截面的直径 测量 D 的 绝对误差限 欲利用公式 圆钢截面积, 解:解: 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为 试估计面积的误差. 计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( mm )

21 精品课程 内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导 可微 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束

22 精品课程 思考与练习 1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点 处的 及 并说明其正负. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

23 精品课程 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

24 精品课程 5. 设 由方程确定, 解:解: 方程两边求微分, 得 当 时 由上式得 求 6. 设 且 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

25 精品课程 作业 P122 1 ; 3 (4), (7), (8), (9), (10) ; 4 ; 5; 8 (1) ; 9 (2) ; 12 习题课 目录 上页 下页 返回 结束

26 精品课程 1. 已知 求 解：因为 所以 备用题 机动 目录 上页 下页 返回 结束

27 精品课程 方程两边求微分, 得 已知 求 解：解： 2. 习题课 目录 上页 下页 返回 结束