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SPOTLIGHT 數字系統與編碼系統 1
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相信大家都已經知道，電腦是透過０與１的位元 (bit) 來處理資 料的數位電子裝置。人類社會所使用的數字系統 (number system) ，或稱為數值系統，是早在文明還未進化的時代就已經 因為十根手指頭的關係而採用了十進制至今。 068 2
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不同的數字系統：時間、重量、長度 因此以星期來看，可以算是七進制 ( 雖然沒有星期零 ) ，以天來 看，就是廿四進制，以小時和分鐘來看就是六十進制。 3
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069 不同的數字系統：時間、重量、長度 資訊世界的數字系統：二進制、八進制、十六進制 為了要讓電腦環境裡的二進制數字，能方便習慣於十進制的人 們處理、記憶，因此數學界透過了八進制 (octal system) 和十六 進制 (hexadecimal system) 來表示電腦裡的各種數字。畢竟， 要讓一般人記住或閱讀由０與１組成的一長串資料，實在是相 當困難。 4
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069 不同的數字系統：時間、重量、長度 資訊世界的數字系統：二進制、八進制、十六進制 ( 續 ) 因為二進制若以 3 個位元來算時，是 000 到 111 之間，在數量上 一共是 8 個，而若以 4 位元來算，就是 0000 到 1111 之間，為什 麼電腦裡的二進制系統要轉換成八進制或十六進制，而不挑七 或十三的其他進制來轉換呢？在數量上則是 16 個。因此，才會 以八進制和十六進制來處理。 5
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069 不同的數字系統：時間、重量、長度 資訊世界的數字系統：二進制、八進制、十六進制 ( 續 ) 6
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069 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 雖然我們的日常生活裡不太會用到八進制與十六進制，但如果 在處理電腦的計算時，要將八進制或十六進制轉換成二進制， 一般在數學上都會先將數字轉換成十進制，不僅如此，若要將 二進制的數字轉換成八進制或十六進制，也是要先轉換成十進 制。十進制是人類最為熟悉的數字系統。另外，為了避免在標 示時搞不清楚所使用的是幾進制，要是想特別指明數字的進制 時，會以括號把該數字框住，並且在後方加上小字的數字，如 十進制的 365 則為： (365) 10 。 7
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069 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 ( 續 ) (1101) 2 的四個位數中，右邊算起的第一個位數，也就是所謂的 最小位數 (least significant digit, LSD ，或稱為最低位數或最小位 元 MSB) 就代表的 2 的 0 次方，也就是 1 ；第二的位數為 2 的 1 次 方，即是 2 ；第三個位數乃 2 的 2 次方，等於 4 ；最左邊那個位數 ，即所謂的最大位數 (most significant digit, MSD ，或稱為最高 位數或最大位元 MSB) 就是 2 的 3 次方，所以是 8 。例如數字 (1101) 2 是十進制中的 13 ，因為從左邊開始累積的數量為： (2 3 × 1) + (2 2 × 1) + (2 1 × 0) + (2 0 × 1) = 8 + 4 + 1 = 13 。 8
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070 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 ( 續 ) (8 2 × 3) + (8 1 × 1) + (8 0 × 6) = 192 + 8 + 6 = 206 。而十六進制的 (316) 16 就是十進制的： (16 2 × 3) + (16 1 × 1) + (16 0 × 6) = 768 + 16 + 6 = 790 。 (101101) 2 = (2 5 × 1) + (2 4 × 0) + (2 3 × 1) + (2 2 × 1) + (2 1 × 0) + (2 0 × 1) = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 (524) 8 = (8 2 × 5) + (8 1 × 2) + (8 0 × 4) = 320 + 16 + 4 = 340 (2BF) 16 = (16 2 × 2) + (16 1 × 11) + (16 0 × 15) = 512 + 176 + 15 = 703 9
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071 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 ( 續 ) 703 除以 16 得出 43 餘 15 ， 因此最右邊的 LSD 位數是 15 ，也就是 Ｆ 剩下的 43 仍大於 16 ，所以還要再除，得出 2 餘 11 ，第二位數為 11 ，也就是Ｂ 因為 2 小於 16 ，故不須再除，就拿著當最左邊的 MSD 位數，因 此右起第三位數為 2 最後把這些得到的位數串起來，右起：Ｆ、Ｂ、２＝ (2BF) 16 11
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071 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 ( 續 ) 340 除以 8 得出 42 餘 4 ，因此最右邊的 LSD 位數是４ 剩下的 42 仍大於 8 ，所以還要再除，得出 5 餘 2 ，第二位數為２ 因為 5 小於 8 ，故不須再除，就拿著當最左邊的位數，因此右起 第三位數 MSD 為５ 最後把這些得到的位數串起來，右起：４、２、５＝ (524) 8 13
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071 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 ( 續 ) 45 除以 2 得出 22 餘 1 ， 因此最右邊的位數 LSD 是１ 剩下的 22 仍大於 2 ，所以還要再除，得出 11 餘 0 ，右起第二位數 為０ 剩下的 11 仍大於 2 ，所以還要再除，得出 5 餘 1 ，第三位數為１ 剩下的 5 仍大於 2 ，所以還要再除，得出 2 餘 1 ，第四位數為１ 剩下的 2 仍大於 2 ，所以還要再除，得出 1 餘 0 ，第五位數為０ 右起第六位數為 1 ，因為 1 小於 2 ，故不須再除，就拿著當最左 邊的位數，因此右起第六位數 MSD 為１ 最後把這些得到的位數串起來，右起：１、０、１、１、０、 １＝ (101101) 2 15
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072 不同的數字系統：時間、重量、長度 進制轉換 ( 續 ) Windows 7 作業系統中所附的 「小算盤」裡，已經具備了二 進制、十進制、八進制、十六 進制之間的轉換功能。使用時 可以透過：「開始」 → 「所有 程式」 → 「附屬應用程式」 → 「小算盤」進入此程式後，將 工具列的「檢視」切換至「程 式設計師」模式即可。 16
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072 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 在學會了二進制、十進制、八進制、十六進制之間的轉換之後 ，接著要來談談數字系統裡的另一個話題：小數點 (radix point ，簡稱為 point) 。小數點常出現在需要精確表示的數字裡，並 且用來分隔整數 (whole number) 與小數 (fractional number) 。 除了十進制會用到小數點，二進制以及其他進制當然也會用到 。 在小數的部分，因為離小數點最近的位數是小數裡的最大位元 ，離小數點最遠的位數是小數裡的最小位元，所以，在轉換時 就會依據小數點算起，按照負次方的順序來類推。 17
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073 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 ( 續 ) (2 3 × 1) ＋ (2 2 × 0) ＋ (2 1 × 1) ＋ (2 0 × 0) ＋ (2 -1 × 1) ＋ (2 -2 × 1) ＋ (2 -3 × 0) ＋ (2 -4 × 1) ＝ 8 ＋ 2 ＋ 0.5 ＋ 0.25 ＋ 0.0625 ＝ (10.8125) 10 另一方面，如果要將具有小數的十進制數字轉成二進制時，其 計算的方式也是要將整數與小數分開處理。 18
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073 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 ( 續 ) 53 除以 2 得出 26 餘 1 ，因此最右邊的位數是１ 剩下的 26 仍大於 2 ，所以還要再除，得出 13 餘 0 ，右起第二位數 為 剩下的 13 仍大於 2 ，所以還要再除，得出 6 餘 1 ，第三位數為１ 剩下的 6 仍大於 2 ，所以還要再除，得出 3 餘 0 ，第四位數為０ 剩下的 3 仍大於 2 ，所以還要再除，得出 1 餘 1 ，第五位數為１ 因為 1 小於 2 ，故不須再除，就拿著當最左邊的位數，因此右起 第六位數為１ 最後把這些得到的位數串起來，右起：１、１、０、１、０、 １＝ (110101) 2 19
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074 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 ( 續 ) 整數部分 (53) 10 ： 53 除以 8 得出 6 餘 5 ，因此最右邊的 LSD 位數是５ 因為 6 小於 8 ，故不須再除，就拿著當最左邊的位數，因此右起 第二位數 MSD 為６ 最後把這些得到的位數串起來，右起：５、６＝ (65) 8 小數部分 (0.125) 10 ： 小數 0.125 乘以 8 得到 1 ，取下第一個超過小數點的整數結果 ( 即 使是零也要取 ) ，拿來當最終目的數字的最大位數 (MSD) ，所以 是１；因為之後遇到剩下的小數部分，第一個數字已經為０， 所以完成整個運算。因此，取得的小數點後數字為：１＝ (0.1) 8 最後把整數和小數部分拼起來，原本的 (53.125) 10 就成為： (65) 8 ＋ (0.1) 8 ＝ (65.1) 8 21
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074 不同的數字系統：時間、重量、長度 小數點 ( 續 ) 整數部分 (53) 10 ： 53 除以 16 得出 3 餘 5 ，因此最右邊的 LSD 位數是５ 因為 3 小於 16 ，故不須再除，就拿著當最左邊的位數，因此右 起第二位數 MSD 為３ 最後把這些得到的位數串起來，右起：５、３＝ (35) 16 小數部分 (0.125) 10 ： 小數 0.125 乘以 16 得到 1 ，取下第一個超過小數點的整數結果 ( 即 使是零也要取 ) ，拿來當最終目的數字的最大位數 (MSD) ，所以 是２；因為之後遇到剩下的小數部分，第一個數字已經為０， 所以完成整個運算。因此，取得的小數點後數字為：２＝ (0.2) 16 最後把整數和小數部分拼好，原本 (53.125) 10 變為： (35) 16 ＋ (0.2) 16 ＝ (35.2) 16 22
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074 不同的數字系統：時間、重量、長度 正負數 正負數的使用，正數 (positive number) 的觀念很簡單，就是手 上有的東西。而在負數 (negative number) 方面，最早出現的場 合就是「賒欠」和「不足」。 對於數學中關於負數的概念，在運算時其實也有相減 (miuns) 的意思。 一般來說，要處理二進制正負數的方式有： (1) 最大位元表示法 ； (2) １的補數表示法； (3) ２的補數表示法。 23
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075 不同的數字系統：時間、重量、長度 正負數 ( 續 ) 在二進制中，會使用的補數有１的補數與２的補數兩種。１的 補數 (1‘s complement) 是指兩數的和為 1 ，則此兩數互為 1 的補 數，即 1 和 0 互為 1 的補數。 而２ 的補數 (2‘s complement) 則是指將原數變成１ 的補數之後 再加上 1 。 這中間最大的差別就在於，使用１的補數還是會＋ 0 和－ 0 的 情況，而２的補數則不會，所以２的補數是最在這些表示法中 ，最適合用來表示二進制正負數整數的方法。如果我們以一個 4 位元 (bit) 的二進制整數來說明的話，或許就能很容易地理解 了。 24
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075 不同的數字系統：時間、重量、長度 正負數 ( 續 ) 25
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075 編碼系統 既然電腦是透過二進制來處理所有的資料，因此人們需要用到 的各種文字 (letter) 、符號 (symbol) 、數字 (digit) 都要透過一套 放諸四海皆準的編碼系統 (coding system) 來規範，才能讓不同 電腦間的資料能互相流通。 26
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075 編碼系統 ASCII 與 Unicode 電腦裡最常用到的字元符碼格式 (character coding format) ： ASCII 、 EBCDIC 以及 Unicode ，這三種符碼格式相互轉換。 美國標準資訊交換碼 ASCII( 發音為 Ask-Ee)American Standard Code for Information Interchange ，使用了 7 位元也就是以 128 個不同的排列組合 (2 7 =128) ，來表達不同的字元。而 ASCII 碼 還有一個變形稱之為延伸 ASCII (extended ASCII) ，它使用了 八位元也就是以 128 再加上一個位元，總計 256 個狀態 (2 8 =256) 來表示。 27
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076 編碼系統 BIG-5 與 CNS11643 而在各個非英語系的國家裡，為了要正確呈現其文字 ) ，就需要 發展出一套適合自身語言的文字內碼，甚至是連同樣使用羅馬 字為基礎的歐洲國家，也會使用像是 ISO8859 的編碼格式。在 臺灣以及部分華人地區通用的正體中文，最早就是以資策會在 1984 年聯合幾家廠商所推出的 BIG-5( 大五碼 ) 來編排，以適用 於當年的中文電腦軟體。 28
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076 編碼系統 BIG-5 與 CNS11643 ( 續 ) 29
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077 編碼系統 ISO 10646 與 Unicode 雖然被稱為統一碼或萬國碼的 Unicode 允許了各國語言文字的 編碼空間，但在此之前，國際間其實已經有了一些具有規模的 國際編碼，最知名的就是出自於國際標準化組織。 這個早在 1984 年就已經問世的編碼標準，在推出之後被命名為 通用符碼字元集 (Universal Coded Character Set, UCS) 。 儘管有了這些萬國語言編碼的制定，而且當今許許多多的網路 服務都可以透過瀏覽器軟體來進行，但我們也要知道如果語言 編碼的選擇不當，將可能導致畫面出現亂碼 30
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