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问题 1 ：如图，某人由入口 A 进入，顺着道路走到出口 B ，共有几种不同的行走路线 A 桥 B 分析：要从入口 A 走到出口 B ，需要两个步骤 第一步 ; 从入口 A 走到桥上，有两条路线 。 第二步 ; 从桥上走到出口 B 有三条路线 。 结论：从入口 A 走到出口 B 共有 2×3 种不同的行走路线
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问题 2 ： 分析：第一步，选面食，共有 4 种选择； 第二步，选大米，有 3 种选择. 所有选择如下： 面条 —— 白米饭；面条 —— 大米粥；面条 —— 蛋炒饭； 饺子 —— 白米饭；饺子 —— 大米粥；饺子 —— 蛋炒饭； 馒头 —— 白米饭；馒头 —— 大米粥；馒头 —— 蛋炒饭； 锅贴 —— 白米饭；锅贴 —— 大米粥；锅贴 —— 蛋炒饭.
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由问题 1 、问题 2 可总结如下： （ 1 ）这两个问题都是分两个步骤完成； （ 2 ）方法总数只要把每个步骤的方法数相乘即可. 这就是我们要学习的一个基本原理
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例 1. 某厂生产的手机为了在款式上能适应更多顾客的 需求, 为统一的机芯设计了 2 种不同外形, 同时每种外 形又有 3 种不同色彩的外壳. 该厂这种手机共可设计多 少种不同款式 ? 析:析: 外形 2 种 色彩 3 种 外壳 解 : 根据乘法原理 : 这种手机可设计 2×3=6 种不同款式.
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例 2. 如图的程序模块中, 一条执行路径就是一条遵循 着线段的箭头方向、从开始到结束的路径. 要测试该 程序模块的所有执行路径, 共要测试多少次 ? 模块开始 模块结束 子模块 2 子模块 1 解 : 根据乘法原理 : 共要测试 3×7=21 次.
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例 3. 540 的不同正约数有多少个 ? 解 : 540=2 2 ×3 3 ×5 540 的正约数 = 2 a ×3 b ×5 c 形式 a 可取 0,1,2 ， b 可取 0,1,2,3 c 可取 0,1 a 、 b 、 c 、 的不同取法, 可得到 540 的不同正约数 ∴ 540 的不同正约数有 :3 × 4 × 2=24
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（ 1 ） 540 的不同正偶数约数有多少个？ 分析：正偶数约数必须含因数 2 ，则 ， 即有 2 种选择，所以 540 的不同正偶数约数有 个. 变式 1 ：
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（ 2 ） 540 的不同的末位数是 0 的正约数有 多少个？ 分析 ： 末位是 0 的正约数必须含因数 2 、 5 ， 则 ，即 a 有 2 种选择， c 有 1 种选择，所以 540 的不同的末位是 0 的正 约数有 个. 变式 2 ：
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练习 : 1. 某服装厂为学校设计了 4 种式样的上衣,3 种式样的裤子, 若取其中的一件上衣和一条裤子配成校服, 则可以有多 少种不同式样的校服 ? 2. 某农场要在 4 种不同类型的土地上, 试验 4 种 ( 设为 A 、 B 、 C 、 D) 不同品种的小麦. 共有多少种不同的试验方案 ? 解法 1:( 土地选种子 ) 第 1 步, 第 1 块地从 4 个品种中选 1 种小 麦进行种植试验, 有 4 种方案 ; 第 2 步, 第 2 块地从余下 3 个品种中选 1 种小麦进行种植试 验, 有 3 种方案 ; 第 3 步, 第 3 块地从余下 2 个品种中选 1 种小麦进行种植试 验, 有 2 种方案 ; 第 4 步, 第 4 块地从余下 1 个品种中选 1 种小麦进行种植试 验, 只有 1 种方案. 答 : 共有 4×3×2×1=24 种不同的试验方案
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3. 在一种两位的编码方式中, 规定第一位用阿拉伯数字 0~9, 第二位用某小写 26 个英文字母. 这种编码方式共产生 多少种不同的编码 ? 4. 如果一个正整数 n 可分解成, 其中 均为互不相同的素数, 均为正整数, 那么 n 的不同 正约数共有多少个 ? p1、p2、p3p1、p2、p3 、、、、 n=p 1 · p 2 · p 3 解 :n 的正约数中, 其中的 p 1 指数 可取 0,1,2, …, 共 +1 个、 ∴ n 的不同正约数共有 个. ( +1) ( +1)( +1) p 2 的指数 可取 0,1,2, …, 共 +1 个、 p 3 的指数 可取 0,1,2, …, 共 +1 个
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巩固与提高 4 名运动员争夺 3 项冠军，则冠军获得者的 可能情形有多少种？ 分析：第一项冠军获得者有 4 种可能性，第二 项冠军获得者也有 4 种可能性，第三项冠军获 得者还是有 4 种可能性，由乘法原理，冠军获 得者的可能情形有 种.种.
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在乘法原理的应用中，首先要正确分 清做一件事的步骤，其次要搞清楚每 一个步骤的方法数. 乘法原理的核心是：分步 小结 ：
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