臆測與論證實例演練 103 學年度數學亮點基地計畫 國立勤益科技大學 劉柏宏 1.  1=1  1+2=3  1+2+3=6  1+2+3+4=10  …  1+2+3+4+…+ n = n ( n +1)/2  除高斯的算術推論之外，是否有其他論證方式？ 2 n 項和.

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1 臆測與論證實例演練 103 學年度數學亮點基地計畫 國立勤益科技大學 劉柏宏 1

2  1=1  1+2=3  1+2+3=6  1+2+3+4=10  …  1+2+3+4+…+ n = n ( n +1)/2  除高斯的算術推論之外，是否有其他論證方式？ 2 n 項和

3 3 n 項和圖形論證 5+1 5 總共為 5(5+1) 的一半

4  1=1  1+3=4  1+3+5=9  1+3+5+7=16  1+3+5+7+9=25  1+3+5+7+9+11=36… 你發現甚麼？ 4 正奇數之和

5  前 n 個正奇數之和等於 n 的平方  1+3+5+…+(2 n  1)= n 2  為什麼奇數相加之和與平方有關？如何論證？  傳統證法：數學歸納法  已知 1=1 2 成立，設 n =k 成立 ， 1+3+5+…+(2k  1)=k 2  則當 n =k+1 時, 1+3+5+…+(2k  1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 成立，故得證 5 正奇數之和

6  1 2  0 2 =(1  0)(1+0)=1  2 2  1 2 =(2  1)(2+1)=3  3 2  2 2 =(3  2)(3+2)=5  4 2  3 2 =(4  3)(4+3) =7  …  k 2  (k  1) 2 =k 2  k 2 +2k  1=2k  1 6 正奇數之和的論證

7  1 2 =1  1 2 +2 2 =5  1 2 +2 2 +3 2 =14  1 2 +2 2 +3 2 +4 2 =30  …  1 2 +2 2 +3 2 +…+ n 2 =[ n ( n +1)(2 n +1)]/6  如何理解這麼醜的公式？ 7 n 項平方和

8 8 n 項平方和圖形論證

9 9 1 2 +2 2 +3 2 +…+ n 2 =[ n ( n +1)( n +1/2)]/3 香港大學蕭文強教授 1 2 +2 2 +3 2 +4 2 =[4(4+1)(4+1/2)]/3

10  1 3 =1  1 3 +2 3 =9  1 3 +2 3 +3 3 =36  1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =100  …  1 3 +2 3 +3 3 +…+ n 3 =(?) 2 10 n 項立方和

11 11 1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =(1+2+3+…+n) 2  中世紀數學家費波納奇 發現前 n 個正整數 3 次方 的和恰等於前 (1+2+…+ n ) 個正奇數之和。  已知前 (1+2+…+ n ) 個正奇 數之和等於 (1+2+…+ n ) 2  前 n 個正整數 3 次方的和 等於 (1+2+…+ n ) 2

12 12 Proof without words

13 13 最短路徑 ?

14 14 最短路徑的猜測

15 15 最短路徑的論證

16 16 為何三中線必交於一點？

17  延長 AG ，並取 AG=GF ，和 BC 相交於 H 點。  因為 E 和 G 分別是 AB 和 AF 的中 點，所以 EG//BF ， GC//BF 。  同理 CF//BG ，所以 BFCG 是平 行四邊形。  因此對角線 FH 和 BC 互相平分， 即 H 是 BC 中點，因此 AH 為中 線。故得證。 17 證明三中線交於一點

18  已知 F,E 為中點，證明 D 為中點。 ( 前置目標：設法證明 c=d 即可 )  a=b, f=e;  a+b+c=f+e+d 2a+c=2f+d  a+f+e=d+c+b 2f= d+c  b+a+f=c+d+e 2a=c+d  a=f c=d 18 證明三中線交於一點 A B C D E F G a b c d e f

19  設中線 BF 和中線 CE 交於 G  而中線 BF 和中線 AD 交於 G'  因△ G'DF ～△ G'AB  且 AB:FD=2:1  所以 BG':G'F ＝ 2:1  而 BG:GF=2:1  所以 G 和 G ‘ 重合 19 證明三中線交於一點 A A B B C C E F G F D G’G’

20  連接三角形 T 各邊中 點，形成一相似三角 形 T ’ 。 T 之中線仍為 T ’ 之中線。  連接三角形 T ’ 各邊中 點，形成一相似三角 形 T ’’ 。 T ’ 之中線仍為 T ’’ 之中線。  依此類推，三角形漸 內趨於一點，所以 T 之三中線最後必交於 一點。 20 這算不算論證？

21  將半圓之圓周角旋轉 180 度 使新三角形 A ’ BC 與原來三角 形 ABC 結合成一個四邊形  A’B//AC, A’C//AB  A ’ 和 A 處於正對面的位置  AA ’ 線段亦為直徑  對角線相等之平行四邊形必 為長方形，故 A 為直角 21 半圓之圓周角為何為直角？ A B C A’A’

22  已知三角形內角和為 180 度。那四邊形、五邊形、六邊形和七 邊形內角和幾度？請將你的答案填入下表中。  你有甚麼發現？  如何說明你的發現一定是正確的？ 22 n 多邊形內角和 形狀內角和 四邊形 360 五邊形 540 六邊形 720 七邊形 900

23 23 學生的論證 取自鄭老師的部落格

24 24 n 多邊形內角和公式論證 (n  2)×180 (n  1)×180  180 n×180  360(n  1)×180  180

25 25 河內塔 ( 梵天塔 ) 千年前一間印度古佛寺的大 殿中矗立著一座有三根金柱 的平台 ‚ 其中最左邊的柱上套 著六十四個由大而小的金環。 寺內高僧交代其弟子在他圓 寂之後必須每分鐘將其中一 個金盤移動到另一根金柱上， 不過大金盤絕對不可疊放在 小金盤之上。當六十四個金 盤都被移到另一根金柱時， 寺廟即將倒塌，而世界也隨 之毀滅。

26 26

27 27 圓盤個數與移動次數對照表 圓盤 個數 12345…….n 移動 次數 …….

28 28 圓盤個數與移動次數對照表 圓盤 個數 12345…….n 移動 次數 1371531…….m=?

29 29 尋找模式 圓盤 個數 12345….n 移動 次數 f (n) 1 2 × 1+1 =3 2 × 3+1 =7 2 × 7+1 =15 2 × 15+1 =31 …. 2f (n-1) +1 圓盤 個數 12345….n 移動 次數 f (n) 2 1 -1 =1 2 2 -1 =3 2 3 -1 = 7 2 4 -1 = 15 2 5 -1 = 31 …. 2 n -1

30 世界何時毀滅 ?  n=64  2 n –1= 18,446,744,073,709,551,615  一千萬年 = 5,256,000,000,000 分鐘 30

31 31 Monty Hall 遊戲

32 32 Monty Hall 遊戲論證

33  小柏想知道 n 個點最多可以將直線分為幾段， n 條直線最多可以 將平面分為幾個區域， n 個平面最多可以將空間分為幾個區塊。 經測試與觀察後，他填入下列數據之後就遇到困難，你能否替 他完成其他數據？解釋你的判斷與推論。 33 臆測與論證工作單 點線段 01 12 23 34 45 56 直線區域 01 12 24 37 411 5 平面區塊 01 12 24 38 4 5

34 34 猜測 點線段 01 12 23 34 45 56 直線區域 01 12 24 37 411 5 平面區塊 01 12 24 38 4 5 16 15 26 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 2 4 7 11

35 n? 35 平面篇 -- 你能找出公式嗎？ 直線區域 01 12 24 37 411 516 … 2 1 3 1 2 3 4 增加之區域數比增加之交點數多 1 個

36  設 R( n ) 表示 n 條直線所能分割出之最多區域數。  R(1)=2  R(2)=R(1)+2=4  R(3)=R(2)+3=7  R(4)=R(3)+4=11  …  R( n )=R( n  1)+ n  R( n )=1+1+2+3+4+…+ n =1+[ n ( n +1)]/2 36 遞迴關係 — 國中層次

37  第 n 條直線與 n  1 條直線產生 n  1 個交點，將第 n 條線劃 分為 n 段，而每段均劃出新區域，所以多出 n 個區域。  n 條直線會產生 個交點  n 條直線比 n  1 條直線多 個交點  n 條直線比 n  1 條直線多    個區域  R( n )=R( n  1)+ 37 遞迴關係 — 高中層次

38  R(1)=2  R(2)=R(1)+  R(3)=R(2)+  R(4)=R(3)+  …  R(n)= R(n  1)+  R(n)=2+(n  1)+ =1+n+ = 38 遞迴關係 — 高中層次 ( 續 )

39 n? 39 空間篇 -- 你能找出公式嗎？ 平面區塊 01 12 24 38 415 526 … 第三平面增加 2 條交線， 2 條交線將 第三平面分割為 4 個區域，這 4 區域 各多分割出 1 區塊，所以三平面比兩 平面多 4 區塊。

40  第四平面增加 3 條交線， 3 條交線將第四平面分割為 7 個區域，這 7 個區域各多分割出一區塊，所以四平面 比三平面多 7 區塊。  第五平面增加 4 條交線， 4 條交線將第四平面分割為 11 個區域，這 11 個區域各多分割出一區塊，所以四平面 比三平面多 11 區塊。  …… 40 演繹論證

41  第 n 個平面穿過 n  1 個平面產生 n  1 條交線，將第 n 個平 面劃分為 [ n 2  n +2]/2 個區域，而每區域均劃出新區塊， 所以多出 [ n 2  n +2]/2 個區塊。  n 個平面會產生 條交線  n 個平面比 n  1 個平面多 條交線  n 個平面比 n  1 個平面多    個區塊  S( n )=S( n  1)+ 41 遞迴關係 — 高中層次

42  S(1)=2  S(2)=S(1)+  S(3)=S(2)+ …  S( n  1)=S( n  2)+  S( n ) =2+( )+( )+…+( ) = 42 遞迴關係 — 高中層次 ( 續 ) 科學教育月刊 2012 年 4 月 高雄女中阮圓真老師

43  n 個三維的超平面最多可以將四維的空間分割成幾個 區塊？  猜想：  n 個 k  1 維的超平面最多可以將 k 維的空間分割成幾個 區塊？  猜想： 43 臆測 — 大學層次

44  選定一個適合臆測與論證的問題  問題情境必須具有引誘性，例如可以從低階 情形找出推廣到高階情形，或是從學生直覺 上常犯的錯誤開始 ( 小明發現三角形的高會將 原三角形切割為兩個相似三角形，對不對？ )  下次請老師說明作業設計理念和教學策略 44 作業設計