MATLAB 程式設計入門篇 矩陣的處理與運算 張智星 (Roger Jang) 台大資工系 多媒體檢索實驗室.

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1 MATLAB 程式設計入門篇 矩陣的處理與運算 張智星 (Roger Jang) jang@mirlab.org http://mirlab.org/jang 台大資工系 多媒體檢索實驗室

2 9-1 矩陣的索引或下標 矩陣 A 中，位於第 i 橫列、第 j 直行的元 素可表示為 A(i, j)  i 與 j 即是此元素的下標（ Subscript ）或索引（ Index ） MATLAB 中，所有矩陣的內部表示法都是 以直行為主的一維向量  A(i, j) 和 A(i+(j-1)*m) 是完全一樣的，其中 m 為矩陣 A 的列數 我們可以使用一維或二維下標來存取矩陣

3 Quiz Suppose that A is a 2-dimensional array of size m×n. Given A(i, j), how to find the linear index y such that A(y) = A(i, j)? Given A(y), how to find i and j such that A(i, j)=A(y)?

4 矩陣的索引或下標

5 可以使用矩陣下標來進行矩陣的索引（ Indexing ） A(4:5,2:3) - 取出矩陣 A 的 第四、五 橫列與 二、三 直行所形 成的部份矩陣 A([9 14; 10 15]) - 用一維下標的方式來達到同樣目的 用冒號（ : ）, 取出一整列或一整行 A(:, 5) - 取出矩陣 A 的第五個直行 用 end 這個保留字來代表某一維度的最大值 A(:, end) - 矩陣 A 的最後一個直行 可以直接刪除矩陣的某一整個橫列或直行 A(2, :) = [] – 刪除 A 矩陣的第二列 A(:, [2 4 5]) = [] - 刪除 A 矩陣的第二、四、五直行

6 矩陣的索引或下標 可把矩陣 A 和其倒數「並排」起來，得到新矩陣 B B = [A 1./A] % 1./A 是矩陣 A 每個元素的倒數 用 diag 指令取出矩陣的對角線各元素 D = diag(B)% 取出矩陣 B 的對角線元素 D = diag(v)% 產生以向量 v 為主對角線的方陣 E = A*diag(v)% 將矩陣 A 的每個行向量乘上向量 v 的元素 E = diag(v)*A% 將矩陣 A 的每個列向量乘上向量 v 的元素 用 reshape 指令來改變一個矩陣的維度 B = B(1:4, 1:4); C = reshape(B, 2, 8)% 將矩陣 B 排成 2×8 的新矩陣 C MATLAB 會先將矩陣 B 排成一個行向量（即 MATLAB 內部的 矩陣表示法），再將此行向量塞成 2×8 的新矩陣

7 9-2 特殊用途矩陣 產生各種特殊用途矩陣的好用指令 : 指令說明 zeros(m, n) 產生維度為 m×n ，構成元素全為 0 的矩陣 ones(m, n) 產生維度為 m×n ，構成元素全為 1 的矩陣 eye(n) 產生維度為 n×n ，對角線的各元素全為 1 ，其他各元素全為 0 的單位矩陣 pascal(m, n) 產生維度為 m×n 的 Pascal 矩陣 vander(v) 產生 Vandermonde 矩陣，其中每一個行向量都是向量 v 的冪次 hilb(n) 產生維度為 n×n 的 Hilbert 矩陣 rand(m, n) 產生均勻分佈於 [0, 1] 的亂數矩陣，其維度為 m×n randn(m, n) 產生 µ = 0, σ= 1 的正規分佈亂數矩陣，其維度為 m×n magic(n) 產生維度為 n×n 的魔方陣，其各個直行、橫列及兩對角線的元素和都相等

8 Hilbert 矩陣 & 魔方陣 hilb(n) 指令可以產生 n×n 的 Hilbert 矩陣 Hilbert 矩陣的特性 : 當矩陣變大時，其反矩陣會接 近 Singular （即矩陣的行列式會接近於 0 ） Hilbert 矩陣常被用來評估各種反矩陣計算方法的穩 定性 magic(n) 可以產生一個 n×n 的魔方陣（ Magic Matrix ）， 其各個直行、橫列及兩對角線的元素值總和都相等

9 均勻和高斯分布 rand 指令及 randn 指令則常用於產生亂數矩陣 範例 9-11: matrix11.m x1 = rand(10000, 1); x2 = randn(10000, 1); subplot(2,1,1); hist(x1, 40); title(' 均勻分佈 '); subplot(2,1,2); hist(x2, 40); title(' 高斯分佈 '); set(findobj(gcf, 'type', 'patch'), … 'EdgeColor', 'w');% 改邊線為白色

10 9-3 矩陣的數學運算 矩陣的加減與一般純量（ Scalar ）的加減類似 相加或相減的矩陣必需具有相同的維度 範例 9-12: matrix12.m C = 13 37 58 24 矩陣與純量可以直接進行加減， MATLAB 會直 接將加減應用到每一個元素 >> A = [1 2 3 2 1] + 5 A = 6 7 8 7 6 A = [12 34 56 20]; B = [1 3 2 4]; C = A + B

11 矩陣的乘法與除法 純量對矩陣的乘或除，可比照一般寫法 >> A = [123, 442]; >> C = A/3 >> B = 2*A C = B = 41.0000 147.3333 246 884 欲進行矩陣相乘，必需確認第一個矩陣的直行數目（ Column Dimension ） 必需等於第二個矩陣的橫列數目（ Row Dimension ） 範例 9-13: matrix12.m C = 3 4 5 6 8 10 矩陣的除法，常藉由反矩陣或解線性方程式來達成 A = [1; 2]; B = [3, 4, 5]; C = A*B

12 矩陣的次方運算 矩陣的次方運算，可由「 ^ 」來達成，但矩陣必需是方陣，其次 方運算才有意義 範例 9-14: matrix14.m B = 91 67 67 67 91 67 67 67 91 在「 * 」，「 / 」及「 ^ 」之前加上一個句點， MATLAB 將會執行 矩陣內「元素對元素」（ Element-by-element ） 的運算 A = magic(3); B = A^2 A = [12; 45]; B = [2; 3]; C = A.*B% 注意「 * 」前面的句點 D = A./B% 注意「 / 」前面的句點 E = A.^2% 注意「 ^ 」前面的句點

13 轉置和「共軛轉置」矩陣 複數矩陣 z ，其「共軛轉置」矩陣（ Conjugate Transpose ） 可 表示成矩陣 z' 範例 9-16: conjTranspose01.m w = 1.0000-1.0000i 3.0000 2.0000 1.0000-2.0000i 想得到任何矩陣 z 的轉置（ Transpose ），則可表示成矩陣 z. ' 範例 9-17: transpose01.m w = 1.0000+1.0000i 3.0000 2.0000 1.0000+2.0000i 若 z 為實數，則 z' 和 z.' 的結果是一樣的 i = sqrt(-1);% 單位虛數 z = [1+i, 2; 3, 1+2i]; w = z'% 共軛轉置（注意 z 後面的單引號） i = sqrt(-1);% 單位虛數 z = [1+i, 2; 3, 1+2i]; w = z.'% 單純轉置（注意 z 後面的句點及單引號）

14 向量的 L p -norm 一個向量 a 的 L p -norm 可以定義為 p=1  taxicab distance, or Manhattan distance p=2  Euclidean Length (length of a) P=inf  max. distance 欲求一向量的 p-norm ，可使用 norm 指令 norm(x,p) 範例 9-18: normVector01.m a = [3 4]; x = norm(a, 1) % x = 7 y = norm(a, 2) % y = 5 z = norm(a, inf) % z = 4 Quiz!

15 Quiz for L p -norm Prove On a 2D space, plot the trajectory of

16 矩陣的 L p -norm 一個矩陣 A 的 L p -norm 可以定義如下： norm 指令亦可用於計算矩陣的 L p -norm 範例 9-19: normMatrix01.m MATLAB 有相當完整的數學函數, 三角函數還有 計算向量元素統計量的函數 ( 課本 9-15~9-17 ) A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; norm(A, 2) % ans = 16.8481

17 Sort 指令 sort 指令可對向量元素進行排序（ Sorting ） 範例 9-20: sort01.m sorted = 1 3 4 5 8 index = 4 1 5 2 3 sorted 是排序後的向量， index 則是每個排序後的元素 在原向量 x 的位置，因此 x(index) 即等於 sorted 向量。 如何使用 sort 指令加上前例中的 sorted 及 index 來求 得原先的向量 x ？ x = [3 5 8 1 4]; [sorted, index] = sort(x)% 對矩陣 x 的元素進行排序 Exerrcise!

18 矩陣的最大元素 找出一矩陣最大元素的位置 範例 9-21: max01.m colMax = 23 24 25 21 22 colMaxIndex = 2 1 5 4 3 colMax 代表每一直行的最大值， colMaxIndex 則是每一直行出現最大值的位置 求得 x 的最大元素的位置 範例 9-22: max02.m Max value = x(5, 3) = 25 x 的最大元素即是 maxValue ，發生位置為 [colMaxIndex(maxIndex), maxIndex] = [5, 3] 若只要找出一矩陣 x 的最大值，可輸入 max(max(x)) 或是 max(x( ： )) x = magic(5); [colMax, colMaxIndex] = max(x) x = magic(5); [colMax, colMaxIndex] = max(x); [maxValue, maxIndex] = max(colMax); fprintf('Max value = x(%d, %d) = %d\n', colMaxIndex(maxIndex), maxIndex, maxValue);

19 9-4 矩陣的內部資料型態 一般矩陣的內部資料型態都是 double （雙精準浮點 數），但在 MATLAB 5.3 版之後，也支援不同長度的 整數與浮點數資料態 指令說明 uint8 轉換成不帶正負號、 8 位元的整數，其值域為 [0,255] uint16 轉換成不帶正負號 、 16 位元的整數，其值域為 [0,65535] uint32 轉換成不帶正負號 、 32 位元的整數，其值域為 [0,2^32-1] int8 轉換成帶正負號 、 8 位元的整數，其值域為 [-128,127] int16 轉換成帶正負號、 16 位元的整數，其值域為 [-32768,32767] int32 轉換成帶正負號、 32 位元的整數，其值域為 [-2^31,2^31-1] single 轉換成 single （單精準浮點數），佔用 32 位元（ 4 bytes ） double 轉換成 double （雙精準浮點數），佔用 64 位元（ 8 bytes ） char 轉換成字元或字串，每個字元佔用（ 16 位元）（ 2 bytes ）

20 不同資料的儲存 我們要節省記憶體空間，可以依矩陣元素值的範圍，選用不同的 資料來儲存 範例 9-23: datatype01.m Name Size Bytes Class x16 10x10 200 uint16 array x32 10x10 400 uint32 array x8 10x10 100 uint8 array x_double 10x10 800 double array x_single 10x10 400 single array Grand total is 500 elements using 1900 bytes uint8 來儲存變數所佔的空間只有 double 的八分之一 ! clear all% 清除所有工作空間的變數 x_double = magic(10); x_single = single(x_double); x32 = uint32(x_double); x16 = uint16(x_double); x8 = uint8(x_double); whos

21 資料儲存的注意事項 整數資料型態的範圍有限，若超過此範圍，則超出部分將會被 「裁掉」 >> uint8(300)% uint8 的最大值為 255 ans = 255 >> int8(-500)% int8 的最小值為 -128 ans = -128 整數資料型態可以比較大小，亦可直接進行數學運算，但必須注 意其資料型態的自動轉換： >> uint8(20)== 20% 可比較大小 ans = 1 >> z=uint8(magic(3)) >> z*2.5 (Please try it by yourself to get the conversion rule!) 若要進行精準的數學運算，需先用 double 指令將整數型態之變 數轉成雙倍精準浮點數

22 Interesting Demos by Cleve Under “cleve” folder of this chapter… eigshow.m svdshow.m vorodrag.m vshow.m