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等比数列前 n 项和 等比数列前 n 项和 数列. 国际象棋的棋盘上共有 8 行 8 列, 构成 64 个 格子. 国际象棋起源于古代印度, 关于国际象 棋有这样一个传说 ……传说 问题引入 :

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1 等比数列前 n 项和 等比数列前 n 项和 数列

2 国际象棋的棋盘上共有 8 行 8 列, 构成 64 个 格子. 国际象棋起源于古代印度, 关于国际象 棋有这样一个传说 ……传说 问题引入 :

3 相传,古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者 —— 宰相西萨 · 班 · 达依尔。于是,这位宰相跪在国王 面前说: 陛下,请您在这张棋盘的第一 个小格内,赏给我一粒麦子; 在第二个小格内给两粒,第三 格内给四粒,照这样下去,每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊,把这样摆满棋盘上所 有 64 格的麦粒,都赏给您的仆 人吧! 数学小故事

4 国王说: “ 简单!来人, 快办。 ” 然而, 过几天, 手下急匆匆跑 来, 不好啦, 不好啦 ! 你猜怎么了 ? 第 1 格: 第 2 格: 第 4 格: 第 3 格: 第 63 格: 第 64 格: 1 2 ……

5 问题 1 :你知道西萨要多少粒小麦吗? 问题 2 :你能求出上式的结果吗?你将使 用什么样的方法? 问题探究

6 由于每个格子里的麦粒数都是前一 个格子里的麦粒数的 2 倍, 且共有 64 个格 子, 各个格子里的麦粒数依次是 于是西萨要求的麦粒总数就是 问题探究

7 法 1 :观察类比 S 1 =1 = S 2 =1+2=3 = S 3 =1+2+2 2 =7 = S 4 =1+2+2 2 +2 3 =15 = 依此类推, S 64 =2 64 - 1

8 法 2: 错位相减法 这实际上是求 1 为首项, 2 为公比的等比数列的前 64 项的和。 = 18,446,744,073,709,551,615 这位宰相所要求的,竟是全世界在两千年内所产的小 麦的总和!这么多小麦沿地球表面可铺 3 厘米厚,能从 地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全 世界一年粮食产量的 459 倍,古印度国王显然无法满足 西萨的要求。 ?

9 法 1 :类比归纳 S 1 =a 1 S 2 =a 1 +a 2 =a 1 +a 1 q=a 1 (1+q) S 3 =a 1 +a 2 +a 3 =a 1 +a 1 q+a 1 q 2 =a 1 (1+q+q 2 ) …… S n =a 1 +a 2 +…+a n =a 1 (1+q+q 2 +…+q n-1 ) 当 q≠1 时, 当 q=1 时, S n =na 1

10 一般地,设有等比数列: 它的前 n 项和是: (1) 的两边乘以 q 由定义 (1)-(2) 整理 错位相减法

11 等比数列的前 n 项和公式 练习:根据下列各题中的条件,求相应的等比数列的前 n 项和。 (1) 和 各已知三个可求第四个。 注意选择适 当的公式, 简化运算。

12 例 1 : (1) 已知等比数列 中, 求 。 (2) 求等比数列 的前 10 项的和。 解题思路 : (1) 小题中直接用公式 (2) 小题先求出公比 q, 再用公式求

13 例 2 、某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨,如果平均每年的产量比上 一年增加 10% ,那么从第 1 年起,约几年可以使总产量达到 30 万吨?(保留到个位, ) 分析:由题意,每年产量比上一年增加的百分率相同,所以从 第 1 年起,每年的产量组成一个等比数列,总产量则为等比数列 的前 n 项和。 解:设每年的产量组成一个等比数列,其中 答:约 5 年内可以使总产量达到 30 万吨。 两边取对数,得 ……

14 课堂检测 : 3 .等比数列 { a n } 的公比 q = , a 8 =1 ,求它的前 8 项和 S 8 。 1. 在正项等比数列 { a n } 中,若 S 2 =7, S 6 =91, 则 S 4 的值为( ) ( A ) 28 ( B ) 32 ( C ) 35 ( D ) 49 2 .一个等比数列共有 3 n 项,其前 n 项之积为 A ,次 n 项之积为 B ,末 n 项之积为 C , 则一定有( ) ( A ) A + B = C ( B ) A + C =2 B ( C ) AB = C ( D ) AC = B 2 4 .等比数列 {a n } 中, a 1 = 2 , S 3 =26, 则 q = 5 . 1 - 2 + 4 + … + ( - 2) n-1 =

15 小 结 本节课你学习 到了新知道识, 要努力哦! 错位相减 2. 一个方法: 3. 一个数学思想: 分类讨论 1. 一个公式:

16 作业 : 习题 1—3 A 组 10 , B 组 2 作 业作 业


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