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Lecture 12 因素分析
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因素分析的作用 資料的縮減或簡化：根據變項間的相互關係，將資料「縮減」或「簡化」成較少的「因素」或「成分」但仍能解釋變項間的相互關係。 …
變數1 變數2 變數3 因素甲 因素乙 因素丙 … 變數P
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因素分析的應用 探索性 驗證性 作為測量的工具
探討一套變項間有哪些共同因素，例如：某一數學成就測驗共有四個分測驗，若將每一分測驗的分數視為一變項，想探討這些分測驗係測量哪些共同因素（心理特質）？ 驗證性 依據因素分析所得知共同因素，來驗證當初對變項的建構所做的假設是否正確（在心理測驗的編製上稱為「建構效度」）。例如：編製態度量表時，依據理論，態度包含認知、情意及行為三個層面，欲透過因素分析驗證態度量表各試題（變項）間是否出現這三個共同因素。 作為測量的工具 計算成分分數，當作新變數，作為往後分析之用
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探索性因素分析的實例 字彙測驗 倒背數字測驗 數學推理測驗 語文 數 語文流暢測驗 故事推理測驗 四則運算測驗
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驗證性因素分析的實例 試題 認知 試題 認知 試題 試題 情意 情意 試題 試題 試題 行為 行為 試題 試題
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探索性因素分析進行的步驟 編製測驗 施測並計分 製作相關係數矩陣
抽取共同因素並計算各題在各因素上之組型負荷量（pattern loading） 進行轉軸並計算各題在各因素上之結構負荷量（structure loading）
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驗證性因素分析進行的步驟 確定測驗應包含的因素 根據因素分別命題 施測並計分 製作相關係數矩陣
抽取共同因素並計算各題在各因素上之組型負荷量（pattern loading） 進行轉軸並計算各題在各因素上之結構負荷量（structure loading） 檢驗所得的因素是否與理論假設相同
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因素分析的類別 Defined Factors 主要成分法 因素抽取的方式 主軸法 Inferred Factors Rao法 Alpha法
Image法
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Defined Factors 將因素定義為全然是原來資料的數學轉換
Zj=aj1F1+aj2F2+aj3F3+…+ajnFn（F為因素，彼此互為正交） 針對第一主要成分（F1）而言： Y1=a11X1+a12X2+a13X3+…+a1pXp（X為變數）
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Inferred Factors 對於因素的建構及因素的變異來源有推論上的假定
Zj=aj1F1+aj2F2+aj3F3+…+ajmFm+djUj 共同性 獨特性 （J=1..n, m<n）
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因素分析的類別 斜交轉軸 oblique 轉軸的方式 Varimax 正交轉軸 Quartimax Equimax
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因素的轉軸 未轉軸前 轉軸後 因素1 因素2 變數A 變數B 變數C 變數D 變數E .75 .69 .80 .85 .76 .63 .57
.49 -.42 .14 .18 .94 .92 .95 .90 .09 .07
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因素的轉軸 因素2 A B C 因素1 D E
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因素分析前之資料檢視 相關係數矩陣 相關係數不能過低或過高（＞.85）
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因素分析前之資料檢視 淨相關矩陣（Partial Correlations Controlling all other Variables）
淨相關均應低
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因素分析前之資料檢視 抽樣適合性指數（Kaiser's Measure of Sampling Adequacy） MSA 意含 .90以上
.80以上 .70以上 .60以上 .50以上 .50以下 極佳 頗好 中度 不好不壞 貧弱 無法接受
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進行因素分析 共同性（communality，h2）的最初估計值 意義 推估法 各變項與其他變項所共有的共同特質
主要成分法（principal component analysis）：將共同性定為1 主軸法：以其他變項來預測該變項的決定係數（複相關的平方）
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進行因素分析 初步共同因素抽取的結果 特徵值（Eigenvalue）：愈大代表此一因素愈重要
解釋百分比（Proportion）：此一因素能解釋全部變異的百分比
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進行因素分析 坡度圖（Scree Plot）：用以決定應取幾個共同因素較適切
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進行因素分析 以遞代法（Iteration）推估共同性
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進行因素分析 以遞代法（Iteration）推估共同性
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以推估出之共同性抽取因素 縮減相關矩陣（Reduced Correlation Matrix）：將原相關矩陣之對角線以推估出之共同性代入後之矩陣
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以推估出之共同性抽取因素 各共同因素之特徵值及解釋百分比
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以推估出之共同性抽取因素 縮減相關矩陣（Reduced Correlation Matrix）：將原相關矩陣之對角線以推估出之共同性代入後之矩陣
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以推估出之共同性抽取因素 組型負荷量（pattern loading）矩陣 根據Kaiser的標準，保留特徵值大於1的共同因素
計算各變項在各因素上的負荷量，亦即組型負荷量（未轉軸前的負荷量）
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因素分析後之檢驗 殘差相關矩陣（Residual Correlations With Uniqueness on the Diagonal）
對角線為各變項之獨特性 獨特性＝1－ 共同性 其餘為殘差相關 殘差相關＝原有相關－共同因素能解釋兩變項之相關 共同因素能解釋兩變項之相關＝兩變項在各因素組型負荷量相乘積之和 殘差均方之根號（Root Mean Square Off-diagonal Residuals） 淨相關矩陣（Partial Correlations Controlling Factors）
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進行轉軸 組型負荷量圖（未轉軸前之負荷圖）
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進行轉軸 組型負荷量圖（未轉軸前之負荷圖）
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進行轉軸 正交轉換矩陣
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進行轉軸 結構負荷量（structure loading）矩陣－轉軸後之因素負荷量矩陣 將未轉軸之因素負荷量矩陣乘以正交轉換矩陣可得之
相關數值的意義 因素負荷量：各變項與各因素的相關，愈大者代表該變項與該因素愈有關係 共同性：各因素負荷量平方和（解釋力） h2=f12+f22+f32+…+fn2 特徵值：所有變項在某一因素之負荷量之和 轉軸後之因素負荷量圖
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進行轉軸 組型負荷量圖（未轉軸前之負荷圖）
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