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嘉義縣立溪口國民中學 資訊融入教學講義 數學領域 單元名稱：勾股定理 講授：蕭善今老師
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畢達哥拉斯(Pythagotas,約西元前580-約前500)
古希臘哲學家,數學家,天文學家,生於Samos島,早年就學於古希臘前期的大師Thales門下,其後曾遊學埃及,甚至還可能到過巴比倫。西元前532年左右,他為了擺脫Samos的殘暴統治而移居義大利半島南端的海港Crotona,並在那裏組織了一個宗教,科學,哲學三位一體的學園,聚集貴族及富家子弟三百多人於一堂。除了治學外,他們還參與政治,最後被敵對的政治勢力驅逐出境。Crotona 的學園雖散了,但學生們卻流散到各地的學術中心,代代相傳,使畢氏學派歷兩百多年而不衰。
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畢氏學派教學全靠口傳,而且把學子們的見解發現全都歸功於開山祖畢氏一人。畢氏學派很重視數學,企圖用數學來解釋一切。他們認為[數]只是整數及其比;宣稱[數]是宇宙萬物的根本,萬物因[數]的關係才產生了秩序;因此特別重視[數]的理論研究,包括奇數與偶數、質數與合數的大量命題,完全數(等於其全部真因數之和的數,如:6=1+2+3)與親和數(一對互為對方真因數之和的數);形數(各種規則點陣所對應的數);勾股數(可以用公式：x=u2-v2,y=2uv,z=u2+v2來表示的一組數,其中u、v是任意整數);各種比例與平均。他們也發現並證明了大量幾何定理。
![畢氏學派教學全靠口傳,而且把學子們的見解發現全都歸功於開山祖畢氏一人。畢氏學派很重視數學,企圖用數學來解釋一切。他們認為[數]只是整數及其比;宣稱[數]是宇宙萬物的根本,萬物因[數]的關係才產生了秩序;因此特別重視[數]的理論研究,包括奇數與偶數、質數與合數的大量命題,完全數(等於其全部真因數之和的數,如:6=1+2+3)與親和數(一對互為對方真因數之和的數);形數(各種規則點陣所對應的數);勾股數(可以用公式：x=u2-v2,y=2uv,z=u2+v2來表示的一組數,其中u、v是任意整數);各種比例與平均。他們也發現並證明了大量幾何定理。](http://slidesplayer.com/slide/11229052/60/images/3/%E7%95%A2%E6%B0%8F%E5%AD%B8%E6%B4%BE%E6%95%99%E5%AD%B8%E5%85%A8%E9%9D%A0%E5%8F%A3%E5%82%B3%2C%E8%80%8C%E4%B8%94%E6%8A%8A%E5%AD%B8%E5%AD%90%E5%80%91%E7%9A%84%E8%A6%8B%E8%A7%A3%E7%99%BC%E7%8F%BE%E5%85%A8%E9%83%BD%E6%AD%B8%E5%8A%9F%E6%96%BC%E9%96%8B%E5%B1%B1%E7%A5%96%E7%95%A2%E6%B0%8F%E4%B8%80%E4%BA%BA%E3%80%82%E7%95%A2%E6%B0%8F%E5%AD%B8%E6%B4%BE%E5%BE%88%E9%87%8D%E8%A6%96%E6%95%B8%E5%AD%B8%2C%E4%BC%81%E5%9C%96%E7%94%A8%E6%95%B8%E5%AD%B8%E4%BE%86%E8%A7%A3%E9%87%8B%E4%B8%80%E5%88%87%E3%80%82%E4%BB%96%E5%80%91%E8%AA%8D%E7%82%BA%5B%E6%95%B8%5D%E5%8F%AA%E6%98%AF%E6%95%B4%E6%95%B8%E5%8F%8A%E5%85%B6%E6%AF%94%3B%E5%AE%A3%E7%A8%B1%5B%E6%95%B8%5D%E6%98%AF%E5%AE%87%E5%AE%99%E8%90%AC%E7%89%A9%E7%9A%84%E6%A0%B9%E6%9C%AC%2C%E8%90%AC%E7%89%A9%E5%9B%A0%5B%E6%95%B8%5D%E7%9A%84%E9%97%9C%E4%BF%82%E6%89%8D%E7%94%A2%E7%94%9F%E4%BA%86%E7%A7%A9%E5%BA%8F%3B%E5%9B%A0%E6%AD%A4%E7%89%B9%E5%88%A5%E9%87%8D%E8%A6%96%5B%E6%95%B8%5D%E7%9A%84%E7%90%86%E8%AB%96%E7%A0%94%E7%A9%B6%2C%E5%8C%85%E6%8B%AC%E5%A5%87%E6%95%B8%E8%88%87%E5%81%B6%E6%95%B8%E3%80%81%E8%B3%AA%E6%95%B8%E8%88%87%E5%90%88%E6%95%B8%E7%9A%84%E5%A4%A7%E9%87%8F%E5%91%BD%E9%A1%8C%2C%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B8%28%E7%AD%89%E6%96%BC%E5%85%B6%E5%85%A8%E9%83%A8%E7%9C%9F%E5%9B%A0%E6%95%B8%E4%B9%8B%E5%92%8C%E7%9A%84%E6%95%B8%2C%E5%A6%82%3A6%3D1%2B2%2B3%29%E8%88%87%E8%A6%AA%E5%92%8C%E6%95%B8%28%E4%B8%80%E5%B0%8D%E4%BA%92%E7%82%BA%E5%B0%8D%E6%96%B9%E7%9C%9F%E5%9B%A0%E6%95%B8%E4%B9%8B%E5%92%8C%E7%9A%84%E6%95%B8%29%3B%E5%BD%A2%E6%95%B8%28%E5%90%84%E7%A8%AE%E8%A6%8F%E5%89%87%E9%BB%9E%E9%99%A3%E6%89%80%E5%B0%8D%E6%87%89%E7%9A%84%E6%95%B8%29%3B%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B8%28%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E7%94%A8%E5%85.jpg "畢氏學派教學全靠口傳,而且把學子們的見解發現全都歸功於開山祖畢氏一人。畢氏學派很重視數學,企圖用數學來解釋一切。他們認為[數]只是整數及其比;宣稱[數]是宇宙萬物的根本,萬物因[數]的關係才產生了秩序;因此特別重視[數]的理論研究,包括奇數與偶數、質數與合數的大量命題,完全數(等於其全部真因數之和的數,如:6=1+2+3)與親和數(一對互為對方真因數之和的數);形數(各種規則點陣所對應的數);勾股數(可以用公式：x=u2-v2,y=2uv,z=u2+v2來表示的一組數,其中u、v是任意整數);各種比例與平均。他們也發現並證明了大量幾何定理。")
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畢氏學派最突出的是證明了勾股定理,由此引出了單位正方形的對角線長到底是不是[數]的爭論,引發他們對[數]哲學的崩潰和第一次數學危機,影響極為深遠;由勾股定理導致不可通約量的發現是這個學派的重大貢獻。〈註〉1.勾股定理即商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理。 2.在中國《周脾算經》(約成書於西元前一世紀)及《九章算術》(約成書於西元一世紀)等書籍早已使用這個定理。 3.據說,畢氏的弟子希帕薩斯發現正方形邊長與其對角線長卻不可公度。因為不論分割多小,都沒有一個量可以均勻地分割正方形的邊長和對角線長。畢氏的信徒們對希帕薩斯發現的無理數而引起的所有混亂大為惱怒,傳說他們把希帕斯帶到地中海深處投海。
![畢氏學派最突出的是證明了勾股定理,由此引出了單位正方形的對角線長到底是不是[數]的爭論,引發他們對[數]哲學的崩潰和第一次數學危機,影響極為深遠;由勾股定理導致不可通約量的發現是這個學派的重大貢獻。〈註〉1.勾股定理即商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理。 2.在中國《周脾算經》(約成書於西元前一世紀)及《九章算術》(約成書於西元一世紀)等書籍早已使用這個定理。 3.據說,畢氏的弟子希帕薩斯發現正方形邊長與其對角線長卻不可公度。因為不論分割多小,都沒有一個量可以均勻地分割正方形的邊長和對角線長。畢氏的信徒們對希帕薩斯發現的無理數而引起的所有混亂大為惱怒,傳說他們把希帕斯帶到地中海深處投海。](http://slidesplayer.com/slide/11229052/60/images/4/%E7%95%A2%E6%B0%8F%E5%AD%B8%E6%B4%BE%E6%9C%80%E7%AA%81%E5%87%BA%E7%9A%84%E6%98%AF%E8%AD%89%E6%98%8E%E4%BA%86%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%2C%E7%94%B1%E6%AD%A4%E5%BC%95%E5%87%BA%E4%BA%86%E5%96%AE%E4%BD%8D%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%B0%8D%E8%A7%92%E7%B7%9A%E9%95%B7%E5%88%B0%E5%BA%95%E6%98%AF%E4%B8%8D%E6%98%AF%5B%E6%95%B8%5D%E7%9A%84%E7%88%AD%E8%AB%96%2C%E5%BC%95%E7%99%BC%E4%BB%96%E5%80%91%E5%B0%8D%5B%E6%95%B8%5D%E5%93%B2%E5%AD%B8%E7%9A%84%E5%B4%A9%E6%BD%B0%E5%92%8C%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%AC%A1%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%8D%B1%E6%A9%9F%2C%E5%BD%B1%E9%9F%BF%E6%A5%B5%E7%82%BA%E6%B7%B1%E9%81%A0%3B%E7%94%B1%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%B0%8E%E8%87%B4%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E9%80%9A%E7%B4%84%E9%87%8F%E7%9A%84%E7%99%BC%E7%8F%BE%E6%98%AF%E9%80%99%E5%80%8B%E5%AD%B8%E6%B4%BE%E7%9A%84%E9%87%8D%E5%A4%A7%E8%B2%A2%E7%8D%BB%E3%80%82%E3%80%88%E8%A8%BB%E3%80%891.%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%8D%B3%E5%95%86%E9%AB%98%E5%AE%9A%E7%90%86%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E8%A5%BF%E6%96%B9%E7%A8%B1%E7%82%BA%E7%95%A2%E9%81%94%E5%93%A5%E6%8B%89%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%80%82+2.%E5%9C%A8%E4%B8%AD%E5%9C%8B%E3%80%8A%E5%91%A8%E8%84%BE%E7%AE%97%E7%B6%93%E3%80%8B%28%E7%B4%84%E6%88%90%E6%9B%B8%E6%96%BC%E8%A5%BF%E5%85%83%E5%89%8D%E4%B8%80%E4%B8%96%E7%B4%80%29%E5%8F%8A%E3%80%8A%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%80%8B%28%E7%B4%84%E6%88%90%E6%9B%B8%E6%96%BC%E8%A5%BF%E5%85%83%E4%B8%80%E4%B8%96%E7%B4%80%29%E7%AD%89%E6%9B%B8%E7%B1%8D%E6%97%A9%E5%B7%B2%E4%BD%BF%E7%94%A8%E9%80%99%E5%80%8B%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%80%82+3.%E6%93%9A%E8%AA%AA%2C%E7%95%A2%E6%B0%8F%E7%9A%84%E5%BC%9F%E5%AD%90%E5%B8%8C%E5%B8%95%E8%96%A9%E6%96%AF%E7%99%BC%E7%8F%BE%E6.jpg "畢氏學派最突出的是證明了勾股定理,由此引出了單位正方形的對角線長到底是不是[數]的爭論,引發他們對[數]哲學的崩潰和第一次數學危機,影響極為深遠;由勾股定理導致不可通約量的發現是這個學派的重大貢獻。〈註〉1.勾股定理即商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理。 2.在中國《周脾算經》(約成書於西元前一世紀)及《九章算術》(約成書於西元一世紀)等書籍早已使用這個定理。 3.據說,畢氏的弟子希帕薩斯發現正方形邊長與其對角線長卻不可公度。因為不論分割多小,都沒有一個量可以均勻地分割正方形的邊長和對角線長。畢氏的信徒們對希帕薩斯發現的無理數而引起的所有混亂大為惱怒,傳說他們把希帕斯帶到地中海深處投海。")
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勾股定理(約西元前1120) 在我國,這個定理的敘述最早見於《周髀算經 》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期）,書中有一段商高（約前1120）答周公問中有「勾廣三,股脩四,經隅五」的話,意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5。書中還記載了陳子（前716）答榮方問:「若求邪至日者,以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,並而開方除之、得邪至日」,古漢語中邪作斜解,因此這一句話明確陳述了勾股定理的內容。至三國的趙爽（約3世紀）,在他的數學文獻《勾股圓方圖》中（作為《周髀算經》的注文,而被保留於該書之中）。
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運用弦圖,巧妙的證明了勾股定理,如圖2。他把三角形塗成紅色,其面積叫「朱實」,中間正方形塗成黃色叫 做「中黃實」,也叫「差實」。他寫道:「按弦圖,又可勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差相乘為中黃實,加差實,亦稱弦實」。若用現在的符號,分別用a、b、c記勾、股、弦之長,趙爽所述即是2ab+(b-a)2=c2
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1.商高定理：任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。在下列直角三角形中，列出a、b、c；x、y、z之間的關係式
x2+z2=y2
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2.已知下列各直角三角形的兩股，求斜邊的長度
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3.已知下列各直角三角形的一股和斜邊,求另一股的長度
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4.已知直角三角形的兩個邊的長度，求另一邊的長度
(1)兩股為8、9 ,則斜邊為多少? (2)兩股為2、 ，則斜邊為多少? = 4
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4.已知直角三角形的兩個邊的長度， 求另一邊的長度
(3)一股為3、斜邊為8,則另一股為多少? (4) 一股為5、斜邊為9,則另一股為多少?
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5.已知長方形的長寬，求對角線長 (1) (1) = 5 = 25
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6.如下圖， =4， =3， =5， =3； 求 , , 的長 = 5 = 4 所以 = 5 – 4=1 所以
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應用勾股定理導出直角座標平面上的兩點距離公式
課外補充： 應用勾股定理導出直角座標平面上的兩點距離公式 已知直角座標平面上 A(x1,y1) ,B(x2,y2)兩 點,求AB長 y B(x2,y2) 過A點作直線平行x軸 y2-y1 過B點作直線平行y軸 x2-x1 C(x2,y1) A(x1,y1) 兩線交於C(x2,y1) 則AC=x2-x1, BC=y2-y1, x O(0,0) 利用商高定理: AB=
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