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结构力学 STRUCTURE MECHANICS 天津城市建设学院力学教研室.

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1 结构力学 STRUCTURE MECHANICS 天津城市建设学院力学教研室

2 结构力学成绩评定方法 1、 “结构力学”为考试课程。期末考试成绩占75﹪,平时成绩占25﹪。 2、平时成绩由以下四部分组成:
(1)作业及平时测验占10﹪; (2)课堂笔记占5﹪; (3)回答问题占5﹪; (4)出勤、着装及遵守课堂记律等占5﹪。

3 第12章 结构矩阵分析 12-1 概 述 *课程建设背景(1987年:4机时) *结构矩阵分析方法 *结构矩阵分析基本思路 *从一个简单例题谈起 *《有限单元法结构计算器》简介 *矩阵力法与矩阵位移法简介

4 结构矩阵分析方法 进行力学分析的方法有很多种,归结起来可以分为两类,即解析法和数值法。
在传统结构力学中引进有限单元的基本概念,数学推导采用矩阵方法,实际计算采用电子计算机。有限元、矩阵代数、计算机三者结合,使力学学科发生了革命性的变化。 杆系结构的矩阵位移法是以杆件为单元,以结构的结点位移作为基本未知量,导入矩阵运算,用计算机求解的方法。 返 回

5 结构矩阵分析基本思路 简单概括为:“先分再合,拆了再搭”
将结构离散成有限的单元,进行单元分析——建立杆端力与杆端位移之间的关系(单元刚度方程)。 根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构,进行整体分析——建立结点力与结点位移之间的关系(结构刚度方程) 。 解算刚度方程,完成结构计算。 返 回

6 试用有限单元法计算图示结构(分析解题思路)
确定结点、划分单元、整理基本数据后,由程序完成计算。 返 回

7 矩阵力法与矩阵位移法简介 矩阵力法(柔度法): P F 结点力 结点位移 杆端力 杆端位移 (平衡条件) (几何条件) (物理条件)

8 矩阵位移法(刚度法): P F 结点力 结点位移 杆端力 杆端位移 (平衡条件) (几何条件) (物理条件)

9 结构的离散化 *单元划分举例 杆系结构 实体结构 *单元划分的原则 计算精度 计算机容量 4 6 5 3 P 7 2 1 8 q l q

10 杆件结构结点力与结点位移之间的关系(图)
单元分析 *杆件结构 杆端力与杆端位移之间的关系 o ` x y 整体分析 *杆件结构 杆件结构结点力与结点位移之间的关系(图)

11 整体分析的几个环节 1、将单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵 2、将单元结点荷载集合成整个结构的结点荷载 3、引入结构的位移边界条件 4、确定整个结构的平衡方程: 5、求解杆端力: 结点位移 杆端位移 杆端力

12 12-2 矩阵位移法的概念及连续梁的计算 一、矩阵位移法的解题思路 “先分再合,拆了再搭” 2 1 y x o 3 2 3 1

13 1、单元分析(物理条件) 单元1 1 单元2 2 写成矩阵形式 单元1 单元2

14 2、整体分析 2 3 1 位移条件 平衡条件

15 将位移方程代入物理方程后再代入平衡方程,可得:

16 将上方程组写成矩阵的形式 简写为: 称为“整个结构的刚度方程”。

17 二、用有限单元法分析连续梁应注意的问题 1、用直接刚度法组集刚度矩阵 单元刚度矩阵 1 2 2 3 整体刚度矩阵 2 3 1 2 3 1
结论:将单元刚度矩阵中的元素或子块,按其整体编码的下标, “对号入座、同号相加”组集整体刚度矩阵。

18 练习:试写出图示连续梁整体刚度矩阵。 2 1 3 4 整体刚度矩阵 1 2 3 4 单元刚度矩阵 解:

19 多跨连续梁刚度矩阵和刚度方程 2 1 3 n-2 n n-1

20 (2)支承条件的引入 “主1副零”法 原刚度方程:
2、支承条件的引入 (1)后处理法概念: 先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程,而后再引入支承条件修改刚度方程的方法。 1 2 3 (2)支承条件的引入 “主1副零”法 原刚度方程: 引入支承条件后 为便于编程,保持原矩阵行列不变

21 3、非结点荷载的处理 (a) 增加约束杆端固端弯矩为 (b) 整个结构的结点约束力矩 (c)
去掉附加约束:在各结点施加等效结点荷载Pe,其大小与约束力矩相同,但方向相反 叠加图(b)和图(c)两种情况,即得图(a)的原始情况

22 三、用有限单元法计算例12-1(P18) 1、确定结点、划分单元、建立坐标系; 2、求(等效)结点荷载矩阵: 3、求单元刚度矩阵: 4、求整体刚度矩阵: 5、建立整个结构的刚度方程: 6、引入支承条件,修改刚度方程: 7、解方程,求结点位移: 8、绘内力图。

23 12-3 局部坐标系中的单元分析 一、一般单元 2' 1' 1 2 E,A,I,l F5 F4 F6 F2 F1 F3 x y

24 写成矩阵的形式,分析各元素的物理意义: 进一步: 单元刚度矩阵的特点: (1)为对称矩阵; (2)为奇异矩阵; (3)具有分快性质。

25 二、梁单元 2' 1' 1 2 E,A,I,l F4 F3 F2 F1 x y

26 写成矩阵的形式,分析各元素的物理意义: 进一步: 梁单元刚度矩阵的特点: (1)梁单元刚度矩阵可由一般单元刚度矩阵划掉第1、4行和第1、4列得到; (2)为对称矩阵;为奇异矩阵;具有分快性质。

27 三、轴力(桁架)单元 e x δ1 F1 F2 δ2 写成矩阵的形式:

28 为了便于坐标变换,轴力单元一般采用如下形式:
F2 F4 y e x δ1 F1 F3 δ2 写成矩阵的形式: 轴力单元刚度矩阵的特点: (1)梁单元刚度矩阵可由一般单元刚度矩阵划掉第2、3、5、6行和第2、3、5、6列得到; (2)为对称矩阵;为奇异矩阵;具有分快性质。

29 12.4 单元刚度矩阵的坐标变换 一、整体坐标系与局部坐标系 1、两种坐标系建立的必要性 连续梁不必进行坐标变换,桁架、刚架必须进行坐标变换。 2、整体坐标系 各个单元共同参考的坐标系(结构坐标系)。 3、局部坐标系: 专属某一个单元的坐标系。(单元坐标系)。

30 二、桁架单元的坐标变换 F1 F2 y x o F3 F4 由图可确定如下关系式:

31 将以上方程组写成矩阵的形式: 进一步: 正交矩阵的特点: (1)任一行或任一列元素的平方和等于1; (2)不同行或列对应元素乘积之和等于零。
称为“轴力单元坐标变换矩阵”,该矩阵为正交矩阵。 正交矩阵的特点: (1)任一行或任一列元素的平方和等于1; (2)不同行或列对应元素乘积之和等于零。

32 同理,可用整体坐标系下的杆端位移表示局部坐标系下的杆端位移:
即:

33 三、刚架单元的坐标变换 x F1 F2 y o F4 F5 F6 F3 由图可确定如下关系式:

34 将以上方程组写成矩阵的形式: 进一步: 称为“刚架单元坐标变换矩阵”,该矩阵为正交矩阵。

35 1、整体坐标系下的单元刚度方程(引导学生推导)
四、整体坐标系下的单元刚度矩阵 1、整体坐标系下的单元刚度方程(引导学生推导) 两种坐标系下的杆端力关系: 两种坐标系下的杆端位移关系: 局部坐标系下的单元刚度方程: 将式(1)、(2)代入式(3)并整理,得: 令: 则:

36 2、整体坐标系下桁架单元刚度矩阵(由学生推导)

37 3、整体坐标系下刚架单元刚度矩阵: 由上式可求出整体坐标系下刚架单元刚度矩阵,如第25页式(12-47)、式(12-48)所示。

38 12-5 结点、单元及未知位移分量编码 一、一般杆件结构的后处理法的概念
12-5 结点、单元及未知位移分量编码 一、一般杆件结构的后处理法的概念 先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程,而后再引入支承条件修改刚度方程,进而求解结点未知位移的方法。 1、一个具体的例子 o 1 2 3 4 x y `

39 整个结构的刚度方程: 引入支承条件: ,将上述方程变为两组: 用该方程组求“自由结点位移” 当“自由结点位移”求出后,用该方程组求支座反力。

40 2、一般杆件结构的后处理法 自由结点位移 支座结点位移 自由结点力 支座结点力 刚度方程: 于是: 当无支座移动时:

41 二、先处理法 1、定义:首先考虑支承情况,仅对未知的自由结点位移分量编码,直接建立“修正的整体刚度方程”的方法。 2、有关先处理法的基本概念
(1)位移分量编码 a)仅对未知的独立位移分量编码 b)支座处位移分量为零时,则位移分量编码为零。 1 2 3 x y 1 2 3 x y

42 表1 支座结点未知位移分量信息 支座名称 简 图 未知位移分量编码 (u、v、) 结点编码 固定支座 0,0,0 1 饺支座 0,0,1
表1 支座结点未知位移分量信息 支座名称 简 图 未知位移分量编码 (u、v、) 结点编码 固定支座 0,0,0 1 饺支座 0,0,1 1 滚轴支座 1 1,0,2 1 2 0,1,2 1 滑动支座 1 1,0,0 1 2 0,1,0 1 自由端 1,2,3 1

43 (2)单元两端结点号数组(二维数组) 1 2 3 x y 1 2 3 x y

44 (3)结点位移分量的位移号数组 1 2 3 x y 1 2 3 x y

45 (4)单元定位数组(单元始端及末端的位移号组成的向量)
1 2 3 x y 1 2 3 x y

46 (4)练习:试确定图示结构坐标系,并对结点、单元、位移分量进行编码,同时写出第三单元结点号数组、第三结点位移编码、第三单元定位数组(考虑轴向变形、略去轴向变形两种情况)。
1 2 3 x y 4 5 6 y 1 2 3 x 4 5 6 考虑轴向变形 略去轴向变形

47 12-6 平面杆件结构的整体刚度矩阵 在“先处理法”中,整个结构的刚度方程为: 1 2 3 x y

48 1 2 3 1 2 3 x y 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6

49 1 2 3 x y 1 2 3 4 5 6 7

50 12.7 非结点荷载处理 一、非结点荷载的处理(连续梁) 1 2 3 q p q p 1 2 3 1 2 3 等效结点荷载计算:

51 二、综合结点荷载定义 三、等效结点荷载的确定 1、单元等效结点荷载

52 2、整个结构的等效结点荷载 将单元等效结点荷载按“单元定位编码”累加到整个结构的等效结点荷载中去: 四、综合结点荷载的确定 将直接作用在结点上的荷载与整个结构的等效结点荷载相加,可得综合结点荷载: 综合结点荷载作用下的支座反力、杆端位移即为原结构的支座反力、杆端位移;而综合结点荷载作用下的杆端力与固端力相加为原结构的杆端力。

53 例题: 求图示结构综合结点荷载。 解: 2 x y 1 1 2 3 4 2 3 4 5

54 4、结构等效结点荷载 5、直接作用在结点上的荷载 6、综合结点荷载 1 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 2 3 4 5 4、结构等效结点荷载 1 2 3 4 5 5、直接作用在结点上的荷载 1 2 3 4 5 6、综合结点荷载 1 2 3 4 5

55 练习: 求图示结构综合结点荷载。 2 x y 1 3 1 2 3 4 5 6

56 12.8 平面杆件结构分析举例 一、解题步骤 (1)整理原始数据,确定结点、划分单元、建立坐标系并对单元、结点、及结点位移分量进行编号。
12.8 平面杆件结构分析举例 一、解题步骤 (1)整理原始数据,确定结点、划分单元、建立坐标系并对单元、结点、及结点位移分量进行编号。 (2)计算局部坐标系中单元刚度矩阵。 (3)计算整体坐标系中单元刚度矩阵。 (4)建立整个结构的刚度矩阵。 (5)求综合结点荷载。 (6)建立整个结构的刚度方程,进而求解自由结点位移。 (7)根据问题要求,求支座反力及绘内力图等。

57 二、平面杆件结构分析举例(P34、p38)

58 12.9 连续梁及平面刚架静力分析源程序 一、连续梁静力分析源程序 (一)程序编制说明 (二)计算模型及计算方法
连续梁及平面刚架静力分析源程序 一、连续梁静力分析源程序 (一)程序编制说明 1、本程序用来计算连续梁在荷载作用下的转角及结点弯矩。 2、非结点荷载作用下的固端弯矩由手算完成。 3、采用“后处理法”:先建立[K],后引入支承条件。 4、采用“高斯顺序序消取法”解刚度方程。 (二)计算模型及计算方法 1、计算模型 2 1 3 n-1 n

59 2、计算方法 (1)结点荷载 (2)整体刚度矩阵的组集

60

61 (3)支承条件的引入 (4)高斯消去法解线性方程组

62 (4)高斯消去法解线性方程组 向前消元 (1) 第一轮消元:利用式(1)中的第一个方程消去其余方程中的x1 (2) 式中:

63 (2) 第二轮消元:利用式(2)中的第二个方程消去其余方程中的x2 (3) 式中: …………………………………..

64 经(n-1)轮消元后,方程组变为 (4) 整个消元过程可表示为: (5)

65 向后叠代 经(n-1)轮消元后,方程组变为 由式(4)的最后一个方程可以得到Xn :
将Xn 代入式(4)的(n-1)方程可以得到Xn-1 :

66 将Xn 、Xn-1代入式(4)的(n-2)方程可以得到Xn-2:
依次类推,由第i个方程可以得到Xi : 整个回代过程可表示为: (6)

67 (5)计算单元的杆端力

68 二、 连续梁的框图与程序 (一)程序标识符的说明(p42) (二)框图 (三)连续梁静力分析源程序 (FORTRAN) 开始
(1)输入原始数据 (三)连续梁静力分析源程序 (FORTRAN) (2)形成结点荷载列阵 (3)形成整体刚度矩阵 (4)引入支承条件 (5)解方程并打印位移 (6)计算并打印杆端力 结束


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