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第三章 概率
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第三章 3.3 随机数的含义与应用 3.3.2 随机数的含义与应用
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课前自主预习 1 课堂典例讲练 2 思想方法技巧 4 易错疑难辨析 3 课后强化作业 5
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课前自主预习
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如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算半圆面积，并估计π值．
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1．随机数 随机数就是____________________产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的______一样． 2．产生随机数的方法 (1)用函数型计算器产生随机数的方法 每次按________________键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是________． 在一定范围内随机 机会 相同的
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(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生的随机数的方法)
①Scilab中用________函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数． ②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换__________________得到． rand( ) rand( )*(b－a)＋a
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1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需进行的变换为( )
A．a＝a1＋8 B．a＝a1*8＋2 C．a＝a1*8-2 D.a＝a1*6 [答案] C [解析] 将[0,1]内的随机数转化为[a，b]内的随机数需进行的变换为a＝a1*(b-a)+ a.
![1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需进行的变换为( )](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/8/1%EF%BC%8E%E5%B0%86%5B0%2C1%5D%E5%86%85%E7%9A%84%E5%9D%87%E5%8C%80%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E8%BD%AC%E5%8C%96%E4%B8%BA%5B%EF%BC%8D2%2C6%5D%E5%86%85%E7%9A%84%E5%9D%87%E5%8C%80%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%EF%BC%8C%E9%9C%80%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E7%9A%84%E5%8F%98%E6%8D%A2%E4%B8%BA%28+%29.jpg "A．a＝a1＋8 B．a＝a1*8＋2. C．a＝a1*8-2 D.a＝a1*6. [答案] C. [解析] 将[0,1]内的随机数转化为[a，b]内的随机数需进行的变换为a＝a1*(b-a)+ a.")
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2．天气预报说，在接下去的一个星期里，每天涨潮的概率均为20%，这个星期里恰好有2天涨潮的概率是( )
A．20% B．30% C．40% D．50% [答案] A [解析] 通过设计模拟实验的方法来解决这个问题．利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为是一周，所以每7个随机数作为一组，例如产生20组随机数：
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3．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于( )
A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数 C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法 [答案] B [解析] 用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高，故选B.
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4．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的概率．
[解析] 一级品和二级品的数量不相等，所以抽取时得到一级品还是二级品的可能性不同，但是每支笔被取到的可能性相等，我们可以用1～10内的整数随机数x表示抽取圆珠笔．用1～7内的整数随机数x表示一级品，用8～10内的整数随机数x表示二级品．
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设事件A＝“取得一级品” (1)用计算器的随机函数RANDI(1,10)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取得一级品，用8,9,10表示取得二级品； (2)统计试验总次数N及其中出现1～7之间的数的次数N1； (3)计算频率fn(A)＝N1/N即为事件A的概率的近似值．
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课堂典例讲练
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用随机数进行排序 [解析] S1 n＝1； S2 用int(rand( )*6)＋1产生一个[1,6]内的整数随机数x表示学生的座号； S3 执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1； S4 如果n≤6，则重复执行S3，否则执行S5； S5 按座号的大小排列，程序结束．
![用随机数进行排序 [解析] S1 n＝1； S2 用int(rand( )*6)＋1产生一个[1,6]内的整数随机数x表示学生的座号； S3 执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1；](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/15/%E7%94%A8%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E6%8E%92%E5%BA%8F+%5B%E8%A7%A3%E6%9E%90%5D+S1+n%EF%BC%9D1%EF%BC%9B+S2+%E7%94%A8int%28rand%28+%29%2A6%29%EF%BC%8B1%E4%BA%A7%E7%94%9F%E4%B8%80%E4%B8%AA%5B1%2C6%5D%E5%86%85%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0x%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%AD%A6%E7%94%9F%E7%9A%84%E5%BA%A7%E5%8F%B7%EF%BC%9B+S3+%E6%89%A7%E8%A1%8CS2%EF%BC%8C%E5%86%8D%E4%BA%A7%E7%94%9F%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%BA%A7%E5%8F%B7%EF%BC%8C%E6%AD%A4%E5%BA%A7%E5%8F%B7%E4%B8%8E%E4%BB%A5%E5%89%8D%E4%BA%A7%E7%94%9F%E7%9A%84%E5%BA%A7%E5%8F%B7%E9%87%8D%E5%A4%8D%EF%BC%8C%E5%86%8D%E6%89%A7%E8%A1%8CS2%EF%BC%9B%E5%90%A6%E5%88%99n%EF%BC%9Dn%EF%BC%8B1%EF%BC%9B.jpg "S4 如果n≤6，则重复执行S3，否则执行S5； S5 按座号的大小排列，程序结束．")
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[点评] 此题的排序方法是给每人一个座号，当人数很多时(如安排考场)，我们可以用同样的方法给每名学生一个座号(即考号)，然后按照考号排成一列，分配到考场中去．
![[点评] 此题的排序方法是给每人一个座号，当人数很多时(如安排考场)，我们可以用同样的方法给每名学生一个座号(即考号)，然后按照考号排成一列，分配到考场中去．](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/16/%5B%E7%82%B9%E8%AF%84%5D+%E6%AD%A4%E9%A2%98%E7%9A%84%E6%8E%92%E5%BA%8F%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%98%AF%E7%BB%99%E6%AF%8F%E4%BA%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%BA%A7%E5%8F%B7%EF%BC%8C%E5%BD%93%E4%BA%BA%E6%95%B0%E5%BE%88%E5%A4%9A%E6%97%B6%28%E5%A6%82%E5%AE%89%E6%8E%92%E8%80%83%E5%9C%BA%29%EF%BC%8C%E6%88%91%E4%BB%AC%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E7%94%A8%E5%90%8C%E6%A0%B7%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95%E7%BB%99%E6%AF%8F%E5%90%8D%E5%AD%A6%E7%94%9F%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%BA%A7%E5%8F%B7%28%E5%8D%B3%E8%80%83%E5%8F%B7%29%EF%BC%8C%E7%84%B6%E5%90%8E%E6%8C%89%E7%85%A7%E8%80%83%E5%8F%B7%E6%8E%92%E6%88%90%E4%B8%80%E5%88%97%EF%BC%8C%E5%88%86%E9%85%8D%E5%88%B0%E8%80%83%E5%9C%BA%E4%B8%AD%E5%8E%BB%EF%BC%8E.jpg "[点评] 此题的排序方法是给每人一个座号，当人数很多时(如安排考场)，我们可以用同样的方法给每名学生一个座号(即考号)，然后按照考号排成一列，分配到考场中去．")
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某校高二全年级共有20个班1200名学生，期末考试时应如何把学生随机地分配到40个考场中去．
[解析] S1 n＝1； S2 用int(rand()*1200)＋1产生一个[1,1200]内的整数随机数x表示学生的座号；
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S3 执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1；
S4 如果n≤1200，则重复执行S3，否则执行S5； S5 按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束.
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用随机模拟方法估计古典概型的概率操作步骤及方法
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[点评] 如果改为投掷三枚(四枚)骰子，则可以把3个(4个)随机数作为一组，统计总组数与满足条件的组数即可．如求投掷三枚时两枚6点一枚1点的概率时只要统计两个6一个1的组数即可．
![[点评] 如果改为投掷三枚(四枚)骰子，则可以把3个(4个)随机数作为一组，统计总组数与满足条件的组数即可．如求投掷三枚时两枚6点一枚1点的概率时只要统计两个6一个1的组数即可．](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/20/%5B%E7%82%B9%E8%AF%84%5D+%E5%A6%82%E6%9E%9C%E6%94%B9%E4%B8%BA%E6%8A%95%E6%8E%B7%E4%B8%89%E6%9E%9A%28%E5%9B%9B%E6%9E%9A%29%E9%AA%B0%E5%AD%90%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E6%8A%8A3%E4%B8%AA%284%E4%B8%AA%29%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E4%BD%9C%E4%B8%BA%E4%B8%80%E7%BB%84%EF%BC%8C%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%80%BB%E7%BB%84%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E7%9A%84%E7%BB%84%E6%95%B0%E5%8D%B3%E5%8F%AF%EF%BC%8E%E5%A6%82%E6%B1%82%E6%8A%95%E6%8E%B7%E4%B8%89%E6%9E%9A%E6%97%B6%E4%B8%A4%E6%9E%9A6%E7%82%B9%E4%B8%80%E6%9E%9A1%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%A6%82%E7%8E%87%E6%97%B6%E5%8F%AA%E8%A6%81%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E4%B8%A4%E4%B8%AA6%E4%B8%80%E4%B8%AA1%E7%9A%84%E7%BB%84%E6%95%B0%E5%8D%B3%E5%8F%AF%EF%BC%8E.jpg "[点评] 如果改为投掷三枚(四枚)骰子，则可以把3个(4个)随机数作为一组，统计总组数与满足条件的组数即可．如求投掷三枚时两枚6点一枚1点的概率时只要统计两个6一个1的组数即可．")
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一个口袋中有大小相等的5个白球和3个黑球，从中有放回地取出一球，共取两次，求取出的球都是白球的概率．
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用随机模拟方法估算几何概型的概率 [解析] 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,6]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,6]上的均匀随机数，其中取得[2,4]内的随机数就表示剪得两段长都不小于2m.这样取得的[2,4]内的随机数个数与[0,6]内个数之比就是事件A发生的频率．
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[点评] 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．解法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
![[点评] 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．解法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/24/%5B%E7%82%B9%E8%AF%84%5D+%E7%94%A8%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E6%A8%A1%E6%8B%9F%E7%9A%84%E5%85%B3%E9%94%AE%E6%98%AF%E6%8A%8A%E5%AE%9E%E9%99%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E4%B8%AD%E4%BA%8B%E4%BB%B6A%E5%8F%8A%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%BA%8B%E4%BB%B6%E6%80%BB%E4%BD%93%E5%AF%B9%E5%BA%94%E7%9A%84%E5%8C%BA%E5%9F%9F%E8%BD%AC%E5%8C%96%E4%B8%BA%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E7%9A%84%E8%8C%83%E5%9B%B4%EF%BC%8E%E8%A7%A3%E6%B3%95%E4%BA%8C%E7%94%A8%E8%BD%AC%E7%9B%98%E4%BA%A7%E7%94%9F%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%EF%BC%8C%E8%BF%99%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%B3%95%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E4%BA%B2%E8%87%AA%E5%8A%A8%E6%89%8B%E6%93%8D%E4%BD%9C%EF%BC%8C%E4%BD%86%E8%B4%B9%E6%97%B6%E8%B4%B9%E5%8A%9B%EF%BC%8C%E8%AF%95%E9%AA%8C%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E8%83%BD%E5%BE%88%E5%A4%A7%EF%BC%9B%E8%A7%A3%E6%B3%951%E7%94%A8%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E4%BA%A7%E7%94%9F%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E4%BA%A7%E7%94%9F%E5%A4%A7%E9%87%8F%E7%9A%84%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%EF%BC%8C%E5%8F%88%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E8%87%AA%E5%8A%A8%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E8%AF%95%E9%AA%8C%E7%9A%84%E7%BB%93%E6%9E%9C%EF%BC%8C%E5%90%8C%E6%97%B6%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%9C%A8%E7%9F%AD%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%86%85%E5%A4%9A%E6%AC%A1%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%AF%95%E9%AA%8C%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%AF%B9%E8%AF%95%E9%AA%8C%E7%BB%93%E6%9E%9C%E7%9A%84%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%80%A7%E5%92%8C%E8%A7%84%E5%BE%8B%E6%80%A7%E6%9C%89%E6%9B%B4%E6%B7%B1%E5%88%BB%E7%9A%84%E8%AE%A4%E8%AF%86%EF%BC%8E.jpg "[点评] 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．解法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．")
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如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？ (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多 少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？
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[解析] 以圆心为原点，平行于正方形边的直线为坐标轴建立直角坐标系，则大、中、小圆的方程依次为x2＋y2＝36，x2＋y2＝16，x2＋y2＝4，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以用两个随机数一组来表示点的坐标，确定点的位置． 记事件A＝{投中大圆内}， 事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}， 事件C＝{投中大圆之外}．
![[解析] 以圆心为原点，平行于正方形边的直线为坐标轴建立直角坐标系，则大、中、小圆的方程依次为x2＋y2＝36，x2＋y2＝16，x2＋y2＝4，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以用两个随机数一组来表示点的坐标，确定点的位置．](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/26/%5B%E8%A7%A3%E6%9E%90%5D+%E4%BB%A5%E5%9C%86%E5%BF%83%E4%B8%BA%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8E%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E8%BE%B9%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%BD%B4%E5%BB%BA%E7%AB%8B%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%A4%A7%E3%80%81%E4%B8%AD%E3%80%81%E5%B0%8F%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%BE%9D%E6%AC%A1%E4%B8%BAx2%EF%BC%8By2%EF%BC%9D36%EF%BC%8Cx2%EF%BC%8By2%EF%BC%9D16%EF%BC%8Cx2%EF%BC%8By2%EF%BC%9D4%EF%BC%8C%E8%A6%81%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E5%86%85%E7%9A%84%E7%82%B9%E5%BF%85%E9%A1%BB%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%9D%90%E6%A0%87%EF%BC%8C%E6%88%91%E4%BB%AC%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E7%94%A8%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E4%B8%80%E7%BB%84%E6%9D%A5%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%EF%BC%8C%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E7%82%B9%E7%9A%84%E4%BD%8D%E7%BD%AE%EF%BC%8E.jpg "记事件A＝{投中大圆内}， 事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}， 事件C＝{投中大圆之外}．")
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易错疑难辨析
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[错解] C
![[错解] C](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/29/%5B%E9%94%99%E8%A7%A3%5D+C.jpg "[错解] C")
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[辨析] 处理解随机数的意义时，数据统计错误，从而导致错选C.
![[辨析] 处理解随机数的意义时，数据统计错误，从而导致错选C.](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/30/%5B%E8%BE%A8%E6%9E%90%5D+%E5%A4%84%E7%90%86%E8%A7%A3%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%84%8F%E4%B9%89%E6%97%B6%EF%BC%8C%E6%95%B0%E6%8D%AE%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E9%94%99%E8%AF%AF%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E8%80%8C%E5%AF%BC%E8%87%B4%E9%94%99%E9%80%89C..jpg "[辨析] 处理解随机数的意义时，数据统计错误，从而导致错选C.")
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思想方法技巧
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[分析] 由条件可知取得[2,4]内的随机数个数与[0,6]内的随机数个数之比就是事件A发生的频率．
[解析] 记事件A＝{灯与两端的距离都不小于2 m}． (1)利用计算器或计算机产生一组0～1之间的均匀随机数，a1＝rand()； (2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．
![[分析] 由条件可知取得[2,4]内的随机数个数与[0,6]内的随机数个数之比就是事件A发生的频率．](http://slidesplayer.com/slide/11239004/60/images/32/%5B%E5%88%86%E6%9E%90%5D+%E7%94%B1%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E5%8F%AF%E7%9F%A5%E5%8F%96%E5%BE%97%5B2%2C4%5D%E5%86%85%E7%9A%84%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E4%B8%AA%E6%95%B0%E4%B8%8E%5B0%2C6%5D%E5%86%85%E7%9A%84%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%95%B0%E4%B8%AA%E6%95%B0%E4%B9%8B%E6%AF%94%E5%B0%B1%E6%98%AF%E4%BA%8B%E4%BB%B6A%E5%8F%91%E7%94%9F%E7%9A%84%E9%A2%91%E7%8E%87%EF%BC%8E.jpg "[解析] 记事件A＝{灯与两端的距离都不小于2 m}． (1)利用计算器或计算机产生一组0～1之间的均匀随机数，a1＝rand()； (2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．")
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