李國偉 中央研究院數學研究所 中央研究院物理研究所第八屆高中生培育計畫 2012年4月7日

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1 李國偉 中央研究院數學研究所 中央研究院物理研究所第八屆高中生培育計畫 2012年4月7日
數學公設方法的演化 李國偉 中央研究院數學研究所 中央研究院物理研究所第八屆高中生培育計畫 2012年4月7日

2 在西方兩千五百多年的知識發展歷史中，尤其是近代科學興起的近三百餘年，有一種組織知識的方法產生巨大的影響，那就是今天報告的主題──公設法。
雖然現在書本裡的知識很少用嚴格的公設法來書寫，但是如果對公設法毫無認識，是難以深入理解西方科學的精髓。

3 公設法的起源

4 希臘文明分期 依照數學史的觀點分期： 古典期（classical period）： 公元前 600 年–公元前 300 年
亞力山大期或稱希臘化期（Alexandrian or Hellenistic period）： 公元前 200 年–公元 600 年

5 Greece and Its Colonies, 550 B.C.
Greece and Its Colonies, 550 B.C.

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7 公元前 700 年紙草文獻開始在希臘流通，帶來埃及的數學。
希臘數學的重要原始文獻，現在都已不存於世。反而不如巴比倫與埃及數學文獻更可徵信。 希臘數學知識保存於： 拜占庭抄本書（成書於希臘原著500–1500年後，並且經過編輯注疏。） 由希臘文翻為阿拉伯文的譯本，以及由阿拉伯文翻為拉丁文的譯本。（有可能並未忠實於原文，而且原文版本也有可能遭受竄改。）

8 愛奧尼亞學派： 創始人是泰勒斯（Thales，約公元前624–約公元前546） 首先引入了證明幾何命題的思想，從而把一些看似彼此不相干的幾何事實，串連成有系統的知識脈絡。 畢達哥拉斯學派（約公元前569–約公元前475）： 把抽象的「數」當做萬物的本質，因此研究數的目的不是為了實際應用，而是想揭露宇宙永恆的真理。

9 泰勒斯（c. 624BC – c. 546BC）

10 畢達格拉斯（c. 569 BC – c. 475 BC）

11 不可公度量的發現 根據亞里斯多德的記載，畢達哥拉斯學派以歸繆法（reductio ad absurdum）證明
與1不可公度，但這可能不是真相。 還有其他各種傳說，其中之一涉及正五邊形。Hippasus（公元前5世紀）發現正五邊形的邊長，不論單位長度怎麼選，對角線的長度都無法以整倍數度量。 畢達哥拉斯學派的信仰因不可公度量的發現，而遭遇致命性的打擊。

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13 輾轉相除法（Anthyphairesis）

14 正五邊形的邊與對角線不可公度 ABAD=ABAE=BE ADBE=AEAF=EF BEEF=EG-EF ‧‧‧ ‧‧‧

15 Zeno （公元前五世紀）的詭論 第一個詭論稱為二分 (dichotomy）：運動是不可能的，因為在完成運動的過程中，先得到達全程的中點。（當然在到達中點之前，先得走過一半的一半，……。） 第二個詭論稱為 Achilles 與烏龜：雖然 Achilles 是史詩《Iliad》中的英雄人物，但若要他與烏龜賽跑，只要烏龜先跑一段路，他就永遠追不上烏龜了，因為當他跑到原先烏龜所在的位置，烏龜已經又跑到他的前方。

16 第三個詭論稱為飛矢 (arrow) ：在任一時刻，飛矢總是佔據與其等長的空間，因此在那時刻飛矢總是不動的。因為在任一時刻總是不動，所以從頭到尾，飛矢總是不動的。
第四個詭論稱為競技場 (stadium) ：在競技場上有三列賽車 A、B、C，每車各有三節長。假定時間有最小的（不可分割的）單位，而在這單位時間內，A 車向左移動一節車廂，B 車不動，C 車向右移動一節車廂。如此一來，A 車與 C 車就相差了兩節車廂。那麼在這個過程中，當 A 車與 C 車移動到只相差一節車廂時所花的時間，應該是單位時間之半，但是這和單位時間不可分割的假設矛盾。

17 古希臘對時空的看法有兩種，一種是：時間與空間可以一再分割下去，永遠沒有止境（「因此」運動是連續的）。另一說是：時間與空間都有最小的、不可分割的組成單位（「因此」運動是電影式的）。一般認為 Zeno 的原意是要向這兩種看法提出挑戰：頭兩個弔詭要說明無窮分割論是無法立足的，後兩個弔詭則要說明不可分割單位也是不能成立的。 採自曹亮吉的《阿草的葫蘆》

18 http://upload. wikimedia
Zeno of Elea shows Youths the Doors to Truth and False (Veritas et Falsitas). Fresco in the Library of El Escorial, Madrid

19 古希臘三大幾何難題 建構一個三角形，使其面積等於給定圓的面積。 建構一個正立方體的邊長，使其體積等於給定正立方體體積的二倍。 三等分任意角。
規定只准用圓規及沒有刻度的直尺來解決上述問題。 這些問題在19世紀之前，都沒能完美解決。

20 Eudoxus 學派 1、引入量（magnitude）的觀念，把「數」與「量」嚴格分開。
2、建立比例理論（theory of proportion）。 3、討論更多型態的不可公度量。 4、建立所謂窮盡法（method of exhaustion） 5、在明確的公設基礎上，以演繹法組織知識。 Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times,

21 亞里斯多德（384 BC–322 BC）

22 亞里斯多德學派 亞里斯多德（Aristotle ，公元前384年–公元前322年）
1、討論「定義」的重要性，提出「無定義詞」（undefined term）的必須性。也指出定義本身並不保證存在性，存在性必須以建構法達成。 2、區分axiom（或稱common notion）與postulate。（An axiom is a self-evident truth. A postulate is a geometrical fact so simple and obvious that its validity may be assumed.）

23 亞里斯多德學派 3、區分「潛無限」（potential infinity）與「實無限」（actual infinity）。
4、以科學的方式建立「邏輯學」。 矛盾律：一命題不可能同時為真又為假。 排中律：一命題必須或者為真或者為假。 5、強調「演繹法證明」是獲得數學真理的唯一基礎。

24 公設法的典範： 《幾何原本》

25 人們需要檢討哪些幾何命題的真確性是極端明顯而無庸置疑的，然後推導出其他看似複雜命題的真確性。這種思維方法漸次發展成公設方法，而在歐幾里得（公元前325年? –公元前265年?）手上集其大成，完成巨著《幾何原本》。

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27 歐幾里得 （約公元前300年活躍於亞歷山大城）

28 9世紀希臘文《幾何原本》

29 Campanus 1255年翻譯為拉丁文，1482 年在威尼斯出版的第一個印刷本。
《幾何原本》 Campanus 1255年翻譯為拉丁文，1482 年在威尼斯出版的第一個印刷本。

30 《幾何原本》 1570 年 Sir Henry Billingsley 最早的英文翻譯本

31 《幾何原本》共13卷，利瑪竇與徐光啟在1607年翻譯了前6卷。

32 http://www. thinkshanghainese
利瑪竇與徐光啟

33 http://www. thinkshanghainese
利瑪竇與徐光啟

34 歐幾里得《幾何原本》 全書共13卷，包括5條公設、5條公理、119條定義、465條命題。 第一卷：幾何基礎篇
23條定義、 5條公設、5條公理、48條命題。以後各卷沒有再加入公設與公理。 第二卷：幾何代數 以幾何方式研究代數公式，例如 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 。 第三卷：圓形 討論圓的性質。

35 歐幾里得《幾何原本》 第四卷：正多邊形 討論在圓內接或外切三角形的作圖法，以及三角形與正多邊形內切與外接圓的作圖法。 第五卷：比例論
依據 Eudoxus 理論編寫，當中比例的定義對後世數學影響深遠。 第六卷：相似圖形 討論相似三角形、相似圖形及其應用。

36 歐幾里得《幾何原本》 第七、八、九卷：數論 討論最大公因數、偶數、奇數、質數、完全數等性質。 第十卷：不可公度量
共有115條命題，是最冗長、最富爭議性，但也最精彩的一章。 第十一、十二卷：立體幾何 探討立體幾何中的命題，並證明只存有五種正多面體。

37 歐幾里得《幾何原本》 定義 1. 點是沒有部分的。 2. 線只有長度而沒有寬度。 3. 一線的兩端是點。
4. 直線是它上面的點一樣地平放著的線。 5. 面只有長度與寬度。 6. 面的邊緣是線。

38 歐幾里得《幾何原本》 定義 23. 平行線是在同平面內的直線，向兩個方向無限延長，在不論哪個方向它們都不相交。

39 歐幾里得《幾何原本》的公設 1. 由任意一點到任意一點可作直線。 2. 一條有限直線可以繼續延長。
3. 以任一點為圓心及任意的距離可以畫圓。 4. 凡直角都相等。 5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角，則這二直線經無限延後在這一側相交。 藍紀正、朱恩寬譯：歐幾里得《幾何原本》，九章出版社，1992年。

40 歐幾里得《幾何原本》 （Sir Thomas Heath 的英譯本） Postulates
5. That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

41 利瑪竇與徐光啟的譯文

42 歐幾里得《幾何原本》 公理 1. 等於同量的量彼此相等。 2. 等量加等量，其和仍相等。 3. 等量減等量，其差仍相等。
4. 彼此能重合的物體是全等的。 5. 整體大於部分。

43 歐幾里得《幾何原本》 一個證明的範例 【命題10】 二等分已知有限直線。 設 AB 是已知有限直線，那麼，要求二等分有限直線 AB。
歐幾里得《幾何原本》 一個證明的範例 【命題10】 二等分已知有限直線。 設 AB 是已知有限直線，那麼，要求二等分有限直線 AB。 設在 AB 上作一個等邊三角形 ABC。 （I. 1） 且設直線 CD 二等分角 ACB。 （I. 9） 則可證線段 AB 被點 D 二等分。

44 歐幾里得《幾何原本》 一個證明的範例 事實上，由於 AC 等於 CB，且 CD 公用；兩邊 AC、CD 分別等於兩邊 BC、CD；且角 ACD 等於角 BCD。 所以，底 AD 等於底 BD。 （I. 4） 從而，將已知有限線段 AB 二等分於點 D 。 C A B D 44

45 使用公設法的名著

46 公設法的後繼名著 阿基米德 (c. 287 BC – c. 212 BC)
On the Equilibrium of Planes (two volumes) The first book is in 15 propositions with 7 postulates, while the second book is in 10 propositions. The Law of the Lever: “Magnitudes are in equilibrium at distances reciprocally proportional to their weights.” Archimedes uses this to calculate the areas and centers of gravity of various geometric figures including triangles, parallelograms and parabolas.

47 "Give me a place to stand on, and I will move the Earth."
"Give me a place to stand on, and I will move the Earth."

48 牛頓 (1642–1726)

49 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)
1723 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)

50 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)

51 物質的量是物質的度量，可由其密度和體積共同求出。
牛頓《自然哲學之數學原理》 定義1 物質的量是物質的度量，可由其密度和體積共同求出。 定義2 運動的量是運動的度量，可由速度和物質的量共同求出。 王克迪譯：自然哲學之數學原理，大塊文化，2005，23頁。 51

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55 第一章 初量與終量的比值方法，由此可以證明下述命題
第一卷 物體的運動 第一章 初量與終量的比值方法，由此可以證明下述命題 引理1 量以及量的比值，在任何有限時間範圍內連續地向著相等接近，而且在該時間終了前相互趨近，其差小於任意給定值，則最終必然相等。 王克迪譯：自然哲學之數學原理，大塊文化，2005，47頁。 55

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57 做環繞運動的物體，其指向力的不動中心的半徑所掠過的面積位於同一不動的平面上，而且正比於畫出該面積所用的時間。
第二章 向心力的確定 命題1 定理1 做環繞運動的物體，其指向力的不動中心的半徑所掠過的面積位於同一不動的平面上，而且正比於畫出該面積所用的時間。 王克迪譯：自然哲學之數學原理，大塊文化，2005，57頁。 57

58 Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

59 http://quod. lib. umich. edu/cgi/t/text/pageviewer-idx

60 http://quod. lib. umich. edu/cgi/t/text/pageviewer-idx

61 Benedict de Spinoza (1632–1677)

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65 美國獨立宣言（1776） We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights, that among these are Life, Liberty and the pursuit of Happiness. 我等之見解為，下述真理不證自明：凡人生而平等，秉造物者之賜，擁諸無可轉讓之權利，包含生命權、自由權、與追尋幸福之權。

66 非歐幾何的衍生

67 對於歐幾里得公設系統的反省 以下參考《胡作玄：第三次數學危機》 許多哲學家，把歐幾里得幾何學擺在絕對幾何學的地位。十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖形性質的正確理想化。特別是康德認為關於空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。 既然是完美的，大家希望公理、公設簡單明白、直截了當。其他的公理和公設都滿足了上面的這個條件，唯獨平行公設不夠簡明，像是一條定理。

68 對於歐幾里得公設系統的反省 在《幾何原本》中，證明前28個命題並沒有用到第五公設，這很自然引起人們考慮：這條公設是否可由其他的公理和公設推出，也就是說，平行公設可能是多餘的。之後的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是經過仔細檢查發現：所有的證明都使用了一些其他的假設，而這些假設又可以從平行公設推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設等價的命題罷了。

69 對於歐幾里得公設系統的反省 到了十八世紀，有人開始想用反證法來證明，即假設平行公設不成立，企圖由此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線在無窮遠點處相交，而在交點處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來，這些結論不合情理，因此不可能真實。但是這些推論的含義不清楚，也很難說是導出矛盾，所以不能說由此證明了平行公設。

70 對於歐幾里得公設系統的反省 從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。
首先，要能從二千年來證明平行公設的失敗過程中看出這個證明是辦不到的事，並且這種不可能性是可以加以證實的；其次，要選取與平行公設相矛盾的其他公設，也能建立邏輯上沒有矛盾的幾何。這主要是Lobachevsky的開創性工作。

71 Immanuel Kant (1724–1804)

72 Nikolai I. Lobachevsky (1792–1856)

73 János Bolyai (1802–1860)

74 對於歐幾里得公設系統的反省 要認識到歐幾里得幾何不一定是物質空間的幾何學，歐幾里得幾何學只是許多可能的幾何學中的一種。而幾何學要從由直覺、經驗來檢驗的空間科學要變成一門純粹數學，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。這個過程是漫長的，其中最主要的一步是Lobachevsky和Bolyai分別獨立地創立非歐幾何學，尤其是它們所考慮的無矛盾性是歷史上的獨創。後人把非歐幾何的無矛盾性隱含地變成歐氏幾何無矛盾性的問題。 胡作玄：第三次數學危機

75 對於歐幾里得公設系統的反省 因為當時大家都承認歐幾里得幾何學沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。這種解釋叫做非歐幾何學的歐氏模型。 對於Lobachevsky幾何學，最著名的歐氏模型有義大利數學家Beltrami於1869年提出的常負曲率曲面模型；德國數學家Klein於1871年提出的射影平面模型和Poincaré在1882年提出的用自守函數解釋的單位圓內部模型。

76 對於歐幾里得公設系統的反省 從十九世紀六十年代末到八十年代初，大部分數學家接受了非歐幾何學。儘管有的人還堅持歐幾里得幾何學的獨特性，但是許多人明確指出非歐幾何學和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。 非歐幾何學的創建對數學的震動很大。數學家開始關心幾何學的基礎問題，從十九世紀八十年代起，幾何學的公理化成為大家關注的目標，並由此產生了Hilbert的新公理化運動。

77 Eugenio Beltrami (1835–1900)

78 Felix Klein (1849–1925)

79 Henri Poincaré (1854–1912)

80 從微積分的演化中 產生數學基礎的危機

81 建立實數的邏輯基礎 古希臘的Eudoxus引入量的觀念來考慮連續變動的東西，並完全依據幾何來嚴格處理連續量。這造成數與量的長期脫離。古希臘的數學中除了整數之外，並沒有無理數的概念，連有理數的運算也沒有，可是卻有量的比例。 希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴格的逼近步驟，這就是所謂“窮盡法”。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難證的定理。

82 建立實數的邏輯基礎 到了十六、十七世紀，除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外，還產生了許多新問題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。經過許多人多年的努力，終於在十七世紀晚期，形成了微積分這門學科，這也就是數學分析的開端。 牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在於：1、把各種問題的解法統一成一種方法，微分法和積分法；2、有明確的計算微分法的步驟；3、微分法和積分法互為逆運算。

83 建立實數的邏輯基礎 以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt 當Δt 趨向于零時的值。Δt 是零、是很小的量，還是什麼東西，這個無窮小量究竟是不是零。這引起了極大的爭論。十八世紀的數學家成功地用微積分解決了許多實際問題，因此有些人就對這些基礎問題的討論不感興趣。如d'Alembert就說，現在是“把房子蓋得更高些，而不是把基礎打得更加牢固”。但也因此，微積分的基礎問題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是Berkeley主教在1734年的攻擊。

84 建立實數的邏輯基礎 十八世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的、強調形式的計算，而不管基礎的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導數、微分、積分等概念不清楚；對無窮大的概念也不清楚；發散級數求和的任意性；符號使用的不嚴格性；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及可否展成冪級數等等。 一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注於微積分的嚴格基礎。

85 建立實數的邏輯基礎 Bolzano給出了連續性的正確定義。Cauchy在1821年的《代數分析教程》中從定義變數開始，認識到函數不一定要有解析運算式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變數，並定義了導數和積分；Abel指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；Dirichlet給出了函數的現代定義。在這些數學工作的基礎上，Weierstraß消除了其中不確切的地方，給出現在通用的ε-δ的極限、連續定義，並把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上。

86 建立實數的邏輯基礎 Weierstraß給出一個處處不可微的連續函數的例子。這個發現以及後來許多病態函數的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。由此，使數學更深入地探討數學分析的基礎——實數論的問題。這不僅導致Cantor集合論的誕生，並且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實數論的無矛盾性問題，從而使數學分析終於建立在實數理論的嚴格基礎之上了。

87 Jean-Baptiste d'Alembert (1717–1783)

88 George Berkeley (1685–1753),

89 Bernard Bolzano (1781–1848)

90 Augustin Cauchy (1789–1857)

91 Niels Henrik Abel (1802–1829)

92 Lejeune Dirichlet (1805–1859)

93 Karl Weierstrass (1815–1897)

94 數學基礎的危機 這次危機是由於在Cantor的一般集合理論的邊緣發現詭論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論已經成了數學的基礎，因此集合論中詭論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。     1897年，Burali-Forti揭示了集合論的第一個詭論；兩年後，Cantor發現了很相似的詭論，它們涉及到集合論中的結果。1902年，Russell發現了一個詭論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。

95 數學基礎的危機 令R 是「所有自己不屬於自己的集合所構成的集合。」也就是說 A 是 R 的元素若且唯若 A 不是 A 的元素： R = { A | A  A } 羅素詭論： R  R  R  R

96 數學基礎的危機 集合論中詭論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。自從發現它們之後，人們發表了大量關於這個課題的文章，並且為解決它們作過大量的嘗試。就數學而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公設化的基礎上，限制並排除所知道的矛盾。     第一次這樣的嘗試是Zermelo於1908年做出的，以後還有多人進行了加工。但是，此方式曾受到批評，因為它只是避開了某些詭論，而未能說明這些詭論；此外，它不能保證將來不出現別種詭論。

97 數學基礎的危機 另一種方式既能解釋又能排除已知詭論。如果仔細地檢查就會發現：每一個詭論都涉及一個集合S和S的一個成員M(即M是靠S定義的)。這樣的一個定義被稱作是非斷言的（non-predicative。因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的己知詭論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個嚴重的責難，即包括非斷言定義的那幾部分數學是數學家很不願丟棄的，例如定理「每一個具有上界的實數非空集合有最小上界(上確界)」。

98 數學基礎的危機 從1900年到1930年左右，數學基礎的危機使許多數學家捲入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數學的根本，因此必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論。以Russell為代表的邏緝主義（Logicism）、以Brouwer為代表的直覺主義（Intuitionism）、以Hilbert為代表的形式主義（Formalism）三大數學哲學學派應運而生。

99 羅素（B. Russell）是邏輯主義的主要倡導者，其基本觀點認為全部數學都可以化歸為邏輯，也就是認為能以邏輯的概念和法則為基礎去開展出全部數學。
以布勞維爾（L. E. J. Brouwer）為主要代表的直觀主義，則認為數學的最終基礎在於人的直覺（原始數學直覺），只有“直覺上可構造的”數學才是可靠的。我們應當以“可構造性”為標準，對已有的數學進行徹底的審查和改造。 以希爾伯特（D. Hilbert）為代表的形式主義，則認為我們可以把數學看成是純粹的符號系統，並通過（有限性的）元數學的（metamathematical）研究來證明這種系統的可靠性，也即證明系統的相容性和完備性。

100 Cesare Burali-Forti (1861–1931)

101 Georg Cantor (1845–1918)

102 Bertrand Russell (1872–1970)

103 L. E. J. Brouwer (1881–1966)

104 David Hilbert (1862–1943)

105 一個與直覺衝突的例子： 巴拿赫–塔斯基定理 及其與選擇公設的關係

106 Stefan Banach Alfred Tarski (1892–1945) (1902–1983)

107 劃分（partition） 所謂集合 S 的劃分 { S1, S2, , Sn }，就是從 S 裡拿出兩兩不相交的子集合 S1, S2, , Sn ，使得 S  S1  S2    Sn (Wapner) a top down look at the Banach-Tarski paradox

108 分段全等 對於空間裡給定的兩個集合 C 與 D ，假如能把 C 劃分成有限塊，然後再用剛體運動把這些塊重組成為 D，則我們稱 C 與 D 是分段全等，並且記作 C  D。 (Wapner) a top down look at the Banach-Tarski paradox

109 球體 令 B = { (x,y,z) : x2 + y2 + z2  1 }，稱 B 是（以原點為心的）單位球體。

110 巴拿赫–塔斯基定理（1924） 一個單位球體 B 可以劃分成兩個不相交的集合 B = B1  B2，使得 B  B1 且 B  B2 。 (Chenevert) the Banach-Tarski paradox 1947年R. M. Robinson證明單位球體只需劃分成五塊（其中一塊只是一個點），便足以重組成兩個單位球。

111 （誇張的比喻）綠豆變太陽 (Wapner) a top down look at the Banach-Tarski paradox

112 巴拿赫–塔斯基定理的推廣 任何三維空間裡的集合 A 與 B，只要它們足夠小到可以裝進一個球裡（也許那個球極端巨大），又足夠大到可以包容住一個球（也許那個球極端渺小），那就可以把 A 劃分成有限個子集合，重新組裝成集合 B。

113 巴拿赫–塔斯基定理為何不是詭論？ 如果把單位球的體積當做1，分成有限子集合之後，各個子集合的體積加總仍然等於1，重新組裝時不會改變體積，但最終產生兩個單位球的總體積卻是2，難道不是矛盾嗎？

114 巴拿赫–塔斯基定理為何不是詭論？ 巴拿赫與塔斯基在證明的過程裡，必須訴諸選擇公設（axiom of choice）來保證一些奇形怪狀集合的存在性，但是體積的概念對它們並不適用，它們也就是所謂的不可測度集合。因此前面把各個子集合的體積加總，是根本沒有意義的步驟，所以也無法導出矛盾。

115 現有巴拿赫–塔斯基定理的證明都需要用到選擇公設（Axiom of Choice）

116 選擇公設 A B C a, b, c, ...

117 選擇公設 令 M 是某些非空集合構成的集合，則存在一個選擇函數 f : M → ∪{ A: A ∈ M } 使得對於所有 A ∈ M，都滿足
f (A) ∈ A 。

118 無窮集合帶來困擾（羅素舉的例子） 從無窮雙鞋裡每雙選一隻鞋不需要選擇公設，選右腳那隻就好。 從無窮雙襪子裡每雙選一隻襪子就需要選擇公設了。
(Benbabcock) the axiom of choice and the Banach-Tarski paradox (slides) 從無窮雙襪子裡每雙選一隻襪子就需要選擇公設了。

119 選擇公設的效用 許多基礎性的數學定理的證明須用到它，例如： 每個向量空間都有基底。 非空集合的卡氏積為非空的。
對與任何集合 A 與 B 而言，下列三種可能性之一必然成立：|A| > |B|、|B| > |A|、 |A| = |B|。（|A| 表示 A 的基數。）

120 選擇公設（顯然嗎？） 選擇公設保證了不可測度集合的存在。 選擇公設也推導出巴拿赫–塔斯基定理這種跟直覺很不相合的結果。

121 Zermelo - Fraenkel 的集合論
用公設法重建集合論： Zermelo - Fraenkel 的集合論

122 Ernst Zermelo (1871–1953)

123 Adolf Fraenkel (1891–1965)

124 選擇公設與ZF集合論的關係 葛德爾（1940）證明：
Zermelo - Fraenkel 公設化集合論的 8 條公設，再加上選擇公設，不會導出矛盾。 124

125 Kurt Gödel (1906–1978)

126 選擇公設與ZF集合論的關係 柯亨（1963）證明：
Zermelo-Fraenkel 公設化集合論的 8 條公設，再加上選擇公設的否定命題，也不會導出矛盾。 126

127 Paul J. Cohen (1934–2007)

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129 希爾伯特第一問題 結合葛德爾與柯亨的結果，可知選擇公設獨立於ZF公設化集合論。

130 數學空間  物理空間 數學空間可以無窮細分，使得不可測度集合成為可能。
物理空間因為基本粒子種類有限，所以不可能無窮細分，也就不會有不可測度集合，因而作不出巴拿赫–塔斯基定理的分割。

131 由實質公設系統 轉向 形式公設系統

132 形式語言 語法 語意 形式證明系統 邏輯公設 推論規則 定理（不能任何命題都是定理）

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135 形式化的公設理論 理論 ＝ 形式證明系統 ＋界定目標物件的公設 理論  模型 （provable  true）

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137 不完備定理：任何不矛盾的形式系統，只要它包含了基本的算術，就會有一個真的命題，在此系統裡既無法證明，也無法否證。
葛德爾 完備定理：一階邏輯系統是完備的。 不完備定理：任何不矛盾的形式系統，只要它包含了基本的算術，就會有一個真的命題，在此系統裡既無法證明，也無法否證。 137

138 形式化數學

139 在有電腦之前的時代，形式化數學最突出的成果是
Whitehead & Russell, Principia Mathematica (1910–1913) 現代形式化數學表現在 機械化數學系統 互動式定理證明系統

140 Alfred N. Whitehead (1861–1947)

141 Principia Mathematica
Whitehead and Russell, Principia Mathematica

142 Principia Mathematica
Whitehead and Russell, Principia Mathematica

143 電腦作的形式證明 王浩 （1921–1995） Hales, formal proofs, Notices of the AMS, Volume 55, Number 11, 2008, 1370 – 1380.

144 王浩（1921–1995）

145 王浩（1921–1995）

146 電腦作的形式證明 Hales, formal proofs, Notices of the AMS, Volume 55, Number 11, 2008, 1370 – 1380. Formalizing Mathematics: 中國科學院數學機械化重點實驗室：

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148 謝謝聽講