建構反應題探究林玉鴦.

建構反應題探究林玉鴦

簡報大綱壹、建構反應題評量的目的貳、建構反應題的命題要求叁、建構反應題的命題架構肆、建構反應題的命題、審題與評閱流程
伍、建構反應題評閱標準陸、建構反應題命題實例柒、建構反應題的使用建議捌、結語

壹、建構反應題評量的目的 ※了解學生的解題思維及解題歷程。 ※了解學生真正的數學能力表現。 ※看見學生的多元解題思維、迷思概念，以及
數學概念須強化之處，進一步供教師參考。

貳、建構反應題的命題要求 ◆在命題內容方面：為顧及數學綱要的四大主題及不同概念內容，命題內容分佈在不同主題範疇。
◆在試題難度方面：為呼應數學學力檢測了解學生基本學習能力的宗旨，命題採中難度試題為主。 ◆在解題表達方面：命題不僅包括操作作圖說明之外，盡可能要學生寫出其解題的想法和做法。 ◆在試題類型方面：為了解學生綜合性的數學能力，試題類型著重概念性理解與應用性解題。

參、建構反應題的命題架構 96至101年度，數學基本能力檢測係以數學內容領域及數學能力作為命題架構，數學內容領域分為數與量、幾何、統計與機率、代數四個類別，數學能力包括：概念性了解(conceptual understanding)、程序性知識(procedural knowledge)及應用解題(application & problem solving)三類。這三種能力的界定參考自美國教育進展評量(NAEP)的方式。自102年起，數學基本能力檢測之數學認知向度參考TIMSS區分為：知識(Knowing)、應用(Applying)及推理(Reasoning)三種。

肆、建構反應題的命題、審題及評閱流程

伍、建構反應題的評閱標準建構反應題的評閱，採國際教育成就調查委員會
（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement）每四年一個週期所舉辦的數學和科學教育成就趨勢調查專案： Trends in International Mathematics and Science Study（簡稱TIMSS）相同的評閱方式，每一題的評閱均採 2分、1分及0分三種等第。 2分是指正確解題且能清楚說明。 1分是指正確解題但未完整說明或部分正確解題。 0分是指不正確解題或空白。另外每一級分會再以A、B、C、D……為標記來為學生的解題類型分類。

陸、建構反應題試題(一) ~表徵假分數的意義~
題目：一盒巧克力有4顆，請畫圖表示盒巧克力。評量目的：學生能 (1)掌握單位分數內容物超過1個的情境。 (2)能正確的表徵假分數的意義。評量結果：

陸、建構反應題試題(一) ~表徵假分數的意義評閱標準~

陸、建構反應題試題(一) ~表徵假分數的意義學生的解題類型~
~滿分(2分)的解題類型~

~部分答對(1分)的解題類型~ 想想看，為何只給1分？

~全錯(0分)的解題類型~ 想想看，這種解題類型的學生，有什麼迷思概念？

陸、建構反應題試題(一) ~表徵假分數的意義教學建議~
※教學時要著重分數概念的教學，讓學生瞭解分數中各個不同單位間的關係例如：「一盒月餅有4個，盒有多少個？」教師要透過圖示指導學生看到各個單位的意涵，像是「整體1 是一盒有4個」「盒是把一盒4個平分成二等分，每一等分有2個，並用圖示圈出來明顯表示。」而「盒是5個盒的合成」，透過圖示讓學生看到其間的關係，進而確切了解分數的意涵與分母、分子的意義。

陸、建構反應題試題(二) ~表徵分數之整數相除的意義~
題目：8個人平分3個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？』請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。評量目的：本試題主要評量學生是否能畫圖表示分數的平分概念，並正確計算出答案。評量結果：得分類型 1 2 合計 0A 0B 0C 0D 0X 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 2E 291 人數 14 13 34 9 52 22 11 23 33 29 6 百分比(%) 4.81 4.47 11.68 3.09 17.87 0.34 7.56 3.78 7.90 11.34 9.97 2.06 122 57 112 41.92 19.59 38.49

陸、建構反應題試題(二) ~表徵分數之整數相除的意義評閱標準~

陸、建構反應題試題(二) ~表徵分數之整數相除的意義學生的解題類型~

~全錯(0分)的解題類型~ 想想看，這種解題類型的學生，有什麼迷思概念？

陸、建構反應題試題(二) ~表徵分數之整數相除的意義教學建議~
1.在平日的除法問題教學中，增加操作活動，例如：具體物的分發、等分、…等，強化對除法問題情境的理解和『等分』、『一樣多』的意義，並累積操作解題經驗。 2.加強圖像表徵的學習，幫助學生透過圖像思考問題，並強調總量和『1』的概念，以本題為例，『3個』喜餅是被分的總量，題目要問『每個人可以分到幾個喜餅？』則是要以『1個』喜餅為單位，回答每個人分到的單位量。

陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較~
陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較~ 題目：「比比看，和哪一個分數比較大？」評量目的：本試題主要評量學生異分母分數比大小時使用的策略，並且能正確的把想法寫下來。評量結果：得分類型 1 2 小計 0A 0B 0C 0X 1A 1B 2A 2B 2C 2D 2E 295 人數 13 30 17 46 3 5 125 45 4 6 百分比(%) 4.41 10.17 5.76 15.59 1.02 1.69 42.37 15.25 1.36 2.03 0.34 106 8 181 35.93 2.71 61.36

陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較評閱標準~
陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較評閱標準~

陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較學生的解題類型~
陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較學生的解題類型~ ~滿分(2分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較學生的解題類型~ ~部分答對(1分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較學生的解題類型~ ~全錯(0分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較教學建議~
陸、建構反應題試題(三) ~異分母分數的大小比較教學建議~ 1.從使用文字說明的學生中答題表現得知，絕大部分都知道分母是等分切割數，切割越多，量越小；分子是真正具有的量，分子越大，表示取的量越多。唯必須加強指導上述概念是在相同基準量下及分割份數相同的情況下，則分子越大，該分數才會越大。如果是在兩個異分母分數的情況下，則不適於使用上述單一觀點（只看分子或分母）進行兩個分數的比較。 2.綜觀學生答題表現，使用計算方式的有7成，顯示學生熟悉使用通分進行兩個異分母分數的比較；使用分數量感做間接比較的學生僅有0.1成，相差懸殊。建議教學過程中，進行分數與0、、1的比較，培養學生分數量感，並給予學生使用間接比較的訓練，幫助學生發展高層次比較的能力。在分數的測驗中，偶而加入使用分數量感的題目，亦可強化學生分數量感。

陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量~
陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量~ 題目：陽明山國家公園管理處要在花鐘裡種花。右圖花鐘的塗色區域已經種了350朵花，請估計當花鐘全部種滿時，會有多少朵花？把你估算的方法寫下來。評量目的：本試題主要評量學生透過直觀圖示找出部分量與全部的關係，進而推估全部的數量。評量結果：

陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量評閱標準~
陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量評閱標準~

陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量學生的解題類型~
陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量學生的解題類型~ ~滿分(2分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量學生的解題類型~ ~部分答對(1分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量學生的解題類型~ ~全錯(0分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量教學建議~
陸、建構反應題試題(四) ~由部分量推估整體量教學建議~ ※加強應用解題的指導學生常常不清楚題目在問什麼而自行想像，從學生的解題表現上，發現學生對題意不清楚，因此建議教師在指導應用解題時， 1.先讓孩子確實讀題。 2.再分析題意，了解題目中的已知條件(各數字所代表的意義) 以及未知條件(題目要問什麼)。 3.最後再擬定解題策略。

陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算~
陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算~ 題目：「算算看，並把你的算法和答案寫下來。 16 ＋ 64 ÷ ( 24 － 8 × 2 ) × 2」評量目的：本試題主要在評量學生是否確實掌握四則混合計算的算則規約並正確計算出答案。評量結果：

陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算評閱標準~
陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算評閱標準~

陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算學生的解題類型~
陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算學生的解題類型~ ~滿分(2分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算學生的解題類型~
陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算學生的解題類型~ ~全錯(0分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算的教學建議~
陸、建構反應題試題(五) ~四則混合計算的教學建議~ 1.介紹「先乘除後加減」的意義時，要強調「先乘除」是「先乘或除」的意思，也就是當乘除混合時，依乘除的先後順序運算；加減亦同；並透過豐富的題型檢驗學生是否誤解該規約為「先乘後除，先加後減」。 2.除了課本上二步驟的四則混合計算題外，建議在練習中偶而加入一些三步驟、四步驟的四則混合計算題，以檢驗學生對四則混合計算規約的熟悉情形。 3.加強建立學生的等號對稱性意義，教師可安排相關活動讓學生理解「＝」代表兩邊數量一樣。

陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題~
陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題~ 題目：請你設計一個數學題目，這個題目可以用「15＋20×4」算出答案。把你設計的題目寫下來。評量目的：本試題主要是希望透過讓學生自己「擬題」的方式，來了解學生是否確實理解加、乘兩步驟的解題方法，也希望能藉此提升孩子的語文能力。評量結果：得分類型 1 2 小計 0A 0B 0C 0D 0X 1A 1B 1C 1X 2A 2B 人數 76 16 28 18 12 5 34 97 291 百分比(%) 0.69 26.12 5.50 9.62 6.19 4.12 0.34 1.72 11.68 33.33 140 20 131 48.11 6.87 45.02

陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題評閱標準~
陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題評閱標準~

陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題學生的解題類型~
陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題學生的解題類型~ ~滿分(2分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題學生的解題類型~ ~滿分(2分)的解題類型 ~

陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題學生的解題類型~ ~滿分(2分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題學生的解題類型~ ~部分答對(1分)的解題類型~ 想想看，為何只給1分？

陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題學生的解題類型~ ~全錯(0分)的解題類型~ 想想看，錯在哪裡？

陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題教學建議~
陸、建構反應題試題(六) ~兩步驟四則混合計算的擬題教學建議~ 1.四則混合計算的約定宜讓孩子熟練。 2.平日教學中或回家作業可以提供當天所敎的算式類型，讓孩子根據該算式自己設計一些題目，「擬題」不但可以提升孩子的語文能力，更可以訓練孩子的思考及想像力，且當孩子會依據算式設計出正確的題目時，就表示孩子確實理解也會算該算式了。 3.在敎應用題解題時，一定要讓孩子確實讀懂題目，指導孩子分析題意，了解題目中的已知條件有哪些及最後題目要問的是什麼，如此可以讓孩子知道一個完整的題目，要包含哪些要項，對於孩子「擬題」能力的提升將有幫助。 4.多提供一些非例行性的題目讓學生解題，訓練學生的思考、推理與解題的能力。

陸、建構反應題試題(七) ~四捨五入概數的取法~
題目：請從0、2、3、4、5、6、9這七個數字中，選出兩個數填入下面的空格裡，使得組成的五位數用四捨五入法取概數到千位，得到的答案是15000。請把所有可能的五位數寫出來。評量目的：本試題主要評量學生能用四捨五入法，對某數在指定位數取概數；並希望學生能將指定的數有規律的放入空格中。評量結果： 1 8 7 得分類型 1 2 合計 0A 0B 0C 0X 1A 1B 1C 2A 人數 6 9 55 66 29 3 31 92 291 百分比(%) 2.06 3.09 18.90 22.68 9.97 1.03 10.65 31.62 136 63 46.74 21.65

陸、建構反應題試題(七) ~四捨五入概數的取法評閱標準~

陸、建構反應題試題(七) ~四捨五入概數的取法學生的解題類型~

~全錯(0分)的解題類型~ 想想看，錯在哪裡？

陸、建構反應題試題(七) ~四捨五入概數的取法教學建議~
1.教學中，能以生活情境引起使用四捨五入法在指定位數取概數的需求，並提出逆向思考的情境，讓學生經驗由已知概數，反向推導原來的數可能是哪些。 2.教學中，希望能引導學生閱讀、理解並掌握題目的意思，因未能正確解讀題目，才能正確作答。

陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義~
陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義~ 題目：「請你使用畫圖的方式說明「0.2×6」的答案是多少？ (只計算而沒有畫圖說明不予給分)」評量目的：本試題主要評量學生是否能理解「0.2×6」所代表的意義是0.2的6倍，也就是0.2累加6次；而小數其實是整數十進位構造的延伸，因此5個0.2合起來是1，再加一個 0.2，所以答案是1.2。評量結果：

陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義評閱標準~
陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義評閱標準~

陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義學生的解題類型~
陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義學生的解題類型~ ~滿分(2分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義學生的解題類型~
陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義學生的解題類型~ ~全錯(0分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義教學建議~
陸、建構反應題試題(八) ~用圖式表徵純小數乘法的意義教學建議~ ※小數的記數系統其實是整數記數系統的延伸，因此在進行小數教學時，應如同整數的教學，開始時讓學童能透過以操作具體物(小白積木、數棒)，進行單位小數的點數活動，與多單位小數的合成與分解，並以具體表徵的形式 (如數線圖，分數板)進行位值間化聚的教學，理解小數的十進位構造。

陸、建構反應題試題(九) ~使用量角器實測與畫角~
題目：有一個三角形，小明把其中的一個角撕去後，結果如右圖。請問小明撕去的角是幾度？把你的做法寫下來。 (可以使用量角器來幫助妳做答) 評量目的：本試題主要在評量學生能否正確使用量角器並了解三角形內角和為180度。評量結果：

陸、建構反應題試題(九) ~使用量角器實測與畫角評閱標準~

陸、建構反應題試題(九) ~使用量角器實測與畫角學生的解題類型~
~全對(2分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(九) ~使用量角器實測與畫角的教學建議~
1.在角度及量角器的實際測量教學過程中，希望能讓學生親自操作，以加深其印象。 2.本題題型十分生活化，希望教師平時可多搜集有別於評量卷上的紙筆測驗題，多設計具體可操作的題目，增進學生的學習興趣。

陸、建構反應題試題(十) ~公噸、公斤的化聚與估測~
題目：一隻非洲象重4.8公噸，牠大約是多少個六年級學生合起來的重量？你是怎麼估算的？把你的想法與做法寫下來。評量目的：學生能(1)能理解公噸與公斤之間的關係並加以換算。 (2)具有重量的量感並進行重量的估算。評閱結果：得分 1 2 合計 0A 0B 0C 0X 1A 1B 2A 295 人數 27 49 3 36 16 13 151 百分比(%) 9.15 16.61 1.02 12.20 5.42 4.41 51.19 115 29 38.98 9.83

陸、建構反應題試題(十) ~公噸、公斤的化聚與估測的評閱標準~

陸、建構反應題試題(十) ~公噸、公斤的化聚與估測學生的解題類型~
~滿分 (2分)的解題類型~

~部分答對(1分)的解題類型~ 想想看，哪裡有問題？

~全錯(0分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(十) ~公噸、公斤的化聚與估測的教學建議~
1.培養估計的能力：希望老師能適當安排一些估計的學習活動，讓學生從中探討估計的方法，以獲得估計的能力。例如：估計一部電梯的載重量、一輛小型貨車的載重量、一個禮堂可以容納的學生人數……等，教學重點在於讓學生判斷估計的合理性。 2.培養學生單位換算的能力：希望老師教學時應重視概念的教學，如4.8公噸換算成幾公斤時，宜說成「4.8公噸是4個1公噸和0.8個1公噸，也就是4個1000公斤和0.8個1000公斤，合起來是4800公斤」，不能僅在計算層次的教學，如「1公噸＝1000公斤，4.8公噸＝1000 4.8＝4800公斤」。 3.培養學生的量感：讓學生透過測量實物重量的活動，讓學生獲得量感。例如：一個水壺的水大約重1公斤、1個蘋果的重量大約300公克等。

陸、建構反應題試題(十一) ~圖示表徵平行四邊形面積的算法~
題目：「請畫圖說明，如何利用長方形面積公式，得知「平行四邊形面積＝底×高」評量目的：本試題主要評量學生是否能應用長方形面積公式來理解平行四邊形的面積公式。評量結果：

陸、建構反應題試題(十一) ~圖示表徵平行四邊形面積的算法評閱標準~
陸、建構反應題試題(十一) ~圖示表徵平行四邊形面積的算法評閱標準~

陸、建構反應題試題(十一) ~圖示表徵平行四邊形面積的算法學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十一) ~圖示表徵平行四邊形面積的算法教學建議~
1.建議教師教學有關幾何公式的由來時，不僅要作圖輔助說明，也要安排讓學生能夠親自動手實際操作以確實了解公式由來的活動，透過實際操作，學生必定印象更深刻。 2.發現學生誤以為平行四邊形推成長方形後面積不變，建議老師教學時，可以讓孩子親自操作，並引導觀察當平行四邊形推成長方形時，高如何改變，進而理解「因高產生改變，面積也隨之改變」的道理。

陸、建構反應題試題(十二) ~將正方形分割成指定的長方形~
題目：有一塊邊長5公尺的正方形塑膠布，最多可以剪出幾個長3公尺、寬2公尺的長方形塑膠布呢？把你的剪法畫在下圖中。評量目的：本試題主要在評量學生是否能透過長方形旋轉的概念，將大正方形分割成小長方形。驗證學生是否有長方形的「長」是指橫向位置及「寬」是指縱向位置的固著想法。

陸、建構反應題試題(十二) ~將正方形分割成指定的長方形~
評閱標準：評量結果：

陸、建構反應題試題(十二) ~將正方形分割成指定的長方形學生的解題類型~

~部分答對(1分)的解題類型~

陸、建構反應題試題(十二) ~將正方形分割成指定的長方形教學建議~
1.增加學生切割圖形的經驗和培養學生作圖的能力：除了教導學生辨認及描述長方形外，教學中應透過切割、畫圖的方式，使學生能透過操作、描繪出指定長方形，讓學生更加了解長方形之屬性及構成要素。 2.建立學生心像的運作：本題沒有實物可供學生操作，學生只能憑藉心中所運作出的剪裁方式，畫在答案紙上，因此在教學上可以透過實物操作，讓學生了解形體旋轉後的全等變換關係，進而建立心像的運作，不需藉由實物操作也可藉由抽象思考來解題。

陸、建構反應題試題(十二) ~將正方形分割成指定的長方形教學建議~
3.強化數學內部形、量關係的連結：本題雖然是屬於形體切割的內容，但是學生可以利用計算面積來驗證是否切割出最多個長方形，因此在教學上，可以讓學生透過不同方式解題，充分使用數學內容間的關係思考，強化學生幾何與量間的連結。 4.增強學生讀題的能力：本題要求學生找出「最多可以剪出幾個長3公尺、寬2公尺的長方形塑膠布」，有20.56％的學生只畫出1個長方形，這些學生或許沒有看到題目的要求，在教學中，也可以出「窮盡答案」的題目，刺激學生思考。

陸、建構反應題試題(十三) ~容積與體積的應用~
題目：在一個邊長12公分的正方形紙張的四個角，分別剪下一個正方形後，將它摺成一個無蓋的長方體(如下圖) 。想想看，是不是剪下的正方形越大，容積就會越大？請把理由寫出來。評量目的：本試題主要在評量容積的概念，雖是二維平面的紙張，學童要能透過想像，計算出無蓋的長方體容積。

陸、建構反應題試題(十三) ~容積與體積的應用評閱標準~

陸、建構反應題試題(十三) ~容積與體積的應用評閱結果~

陸、建構反應題試題(十三) ~容積與體積的應用學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十三) ~將容積與體積的應用學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十三) ~容積與體積的應用教學建議~
1.讓學生透過幾何的操作，增強其心像。從學童的解題類型，我們得知學童無法想像剪下正方形邊長後的長方體圖形，因此，建議教師在教學上宜讓壆童多操作，學童才易有圖形的心像，才能想像各種形體。等各個形體形成，也要讓學童找出各個形體的長、寬、高，才能正確算出形體的體積和容積。 2.教學上宜多探討算式的意義。如果教學上能多探討算式的意義，學童可透過反思，修改自己的算式，因此，不僅要學童寫出算式，更要學童檢視整個算式的意義，促進學童後設認知的能力，讓學童能監控自己的學習。

陸、建構反應題試題(十四) ~找出內縮圖形的規律~
題目：「下列圖形的排列有一定的規則，圖5有幾個黑色三角形？幾個白色三角形？把你的想法或做法寫下來。圖圖圖圖4 圖5 評量目的：本試題主要評量學生能否覺察數形的規律，並能將自己的想法或做法描述清楚。評量結果：？得分類型 1 2 合計 0A 0B 0C 0X 1A 1B 1C 2A 2B 2C 2D 人數 13 84 8 9 80 15 64 6 5 300 百分比(%) 4.33 28.00 2.67 3.00 0.33 26.67 5.00 21.33 2.00 1.67 114 96 90 38.00 32.00 30.00

陸、建構反應題試題(十四) ~找出內縮圖形的規律評閱標準~

陸、建構反應題試題(十四) ~找出內縮圖形的規律學生的解題類型~

~全對(2分)的解題類型 ~

陸、建構反應題試題(十四) ~找出內縮圖形的規律學生的解題類型~ ~部分答對(1分)的解題類型~ 想想看，為何只給1分？

陸、建構反應題試題(十四) ~找出內縮圖形的規律學生的解題類型~ ~全錯(0分)的解題類型~ 想想看，錯在哪裡？

陸、建構反應題試題(十四) ~找出內縮圖形的規律教學建議~
陸、建構反應題試題(十四) ~找出內縮圖形的規律教學建議~ 1.提供多樣化的題型，讓學生從事探索活動，以激發學生推理思考的能力。 2.尊重多元的解題想法和表徵方式，多做不同解法的觀摩、討論及比較異同，培養學生從不同角度觀察和思考的能力。

陸、建構反應題試題(十五) ~畫出線對稱圖形的對稱點~
題目：「以下面的ㄅㄆ線為對稱軸，畫出A點的對稱點。評量目的：本試題主要在透過「由線外一點畫出此直線的對稱點」的作圖，來評量學生是否能理解線對稱的意義與其性質。評量結果：全對(2分)占30.85％部分答對(1分)占5.76％全錯(0分)占63.69％ㄅㄆ A˙

陸、建構反應題試題(十五) ~畫出線對稱圖形的對稱點評閱標準~

陸、建構反應題試題(十五) ~畫出線對稱圖形的對稱點學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十五) ~畫出線對稱圖形的對稱點教學建議~
1.加強指導學生瞭解線對稱的意義與其性質：建議教師教學時應安排多樣的對稱軸擺放位置，讓學生充分理解線對稱圖形與對稱軸的關係，並讓學生理解線對稱圖形上的兩個對稱點的連線與對稱軸的關係，進而讓學生有實際應用此一性質找到線對稱圖形對稱點的作圖經驗。 2.釐清幾何的定義與作圖：從學生的作答情形中，可發現學生混淆了「平行、垂直、畫對稱點」等概念，建議教師在教學時，將所有的幾何作圖歸納統整，讓學生的概念能加以澄清與整理。 3.透過操作活動增進概念理解：從檢測結果發現，學生在畫對稱點時，常以自己的意思作圖，而無法符合畫對稱點的操作型定義，顯示學生一知半解，因此，建議教師在教學時，宜統整符合一個幾何定義的條件，說明其操作型定義，透過豐富的「操作活動」讓學生的概念穩固。

陸、建構反應題試題(十六) ~將分數或小數標示在數線上~
題目：(1)在下面的數線上標示A、B兩點的位置，使A點在 1.25的位置，B點在的位置。 (2)你是怎麼精確標示出A、B這兩點的位置呢？把你的想法或做法寫下來。評量目的：學生是否能將分數與小數作正確的互換，並能正確的標記在數線上。評量結果： 1 2 3 4 得分類型 1 2 合計 0A 0B 0C 0D 0E 0F 0X 1A 1B 1X 2A 2B 2C 2D 人數 8 9 15 21 12 84 29 3 4 78 13 18 300 百分比(%) 2.67 5 7 0.67 28 9.67 1.33 26 4.33 6 151 36 113 50.33 12.00 37.67

陸、建構反應題試題(十六) ~將分數或小數標示在數線上評閱標準~

陸、建構反應題試題(十六) ~將分數或小數標示在數線學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十六) ~將分數或小數標示在數線上學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十六) ~將分數或小數標示在數線學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十六) ~將分數或小數標示在數線上學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十六) ~將分數或小數標示在數線上教學建議~
1.平日多提供一些非例行性的題目讓學生解題，訓練學生的思考、推理與解題的能力。 2.著重小數概念的教學，讓學生確實理解小數的意義。知道0.1是將 1份平分成10小份裡面的1小份，0.01是將1份平分成100小份裡面的1小份，0.25是將1份平分成100小份裡面的25小份， 1.25＝1＋0.25，1.25是125個0.01……。 3.著重分數概念的教學，讓學生確實理解分數的意涵與分母、分子的意義，特別要提醒學生：分數一定是建立在「平分」的基礎上 4.讓學生熟練分數與小數的互換。 5.讓學生了解數線上的一個單位長並非一定是1公分。 6.平常要求學生把為什麼這樣做的原因說出來或寫出來，藉此一方面可以訓練學生的語文表達能力，一方面也可以了解學生的解題策略及想法，提供老師補救教學的參考。

陸、建構反應題試題(十七) ~百分率的打折問題~
題目：評量目的：本試題主要在評量學生是否理解折扣的意義，並解決生活中的折扣問題。評量結果：

陸、建構反應題試題(十七) ~百分率的打折問題評閱標準~

陸、建構反應題試題(十七) ~百分率的打折問題學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十七) ~百分率的打折問題教學建議~
從學生答題表現受中文字句影響，因此我們提出以下的建議： 1.釐清與比較語意的不同教學不僅止於教學生會解題，更需要教學童數學的連結，如這一題是生活的連結，教師宜促進學童探討生活中「總共買10瓶飲料」與「每買2瓶，第二瓶打六折」與「每買2瓶都打六折」、「第二瓶打六折」與「每瓶都打六折」的區別，使學童在比較中了解語意，區分每種用法與解題。 2.注重數學解題能力的培養許多學童在解數學問題時，都急於用「＋、－、×、÷」寫出數學算式，只停留在會用數學算式解題，但不是具備數學解題能力，因此建議教師在進行數學教學時培養學生解題能力，如時常提醒學童注意「題目的已知條件有哪些」、「題目裡的數字是代表什麼」及「題目要問的是什麼」。

陸、建構反應題試題(十八) ~大數的除法~
題目：評量目的：本試題主要在評量學童是否能使用「被除數與除數同時轉換另一種單位」的算法，簡化一些大數字的除法問題，並能理解直式計算的過程，商及餘數的意義。

陸、建構反應題試題(十八) ~大數的除法評閱標準~
評閱標準：

陸、建構反應題試題(十八) ~大數的除法評量結果~

陸、建構反應題試題(十八) ~大數的除法學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十八) ~大數的除法教學建議~
1.在進行「位值概念」的教學時，要讓學生能理解相同的數，用不同的記數單位，所表示的意義也不一樣。例如「200200」這個數，若以「一」為記數單位，是「200200」個「一」，若以「十」為記數單位，是「20020」個「十」；若是以「百」為記數單位，是「2002」個「一百」。 2.在進行以「除法直式解決大數的除法問題」的教學時，要讓學生能充分理解在計算前，可以「先刪除被除數和除數數字末相同個數的0」的過程，是在進行「被除數與除數同時轉換另一種單位」也就是學童要能理解「200200÷400」，可以將算式改寫成「2002÷5」，是因為將被除數與除數由原來以「一」為記數單位，轉化為以「一百」為記數的單位。

3.在解題過程中，要不斷的與學童溝通和討論以下的問題： (1)單位的轉換:學童要能說出被除數與除數所轉換的單位(以「一百」為記數單位)。 (2)簡化問題後，新問題中各數的意義:「200200÷400」改寫成「2002÷4」後，「2002」所代表的意義是「2002」個「一百」，「4」個「一百」。 (3)新問題的結果(商數和餘數)在原問題中的意義: 「2002÷4=500…2」，餘數「2」所代表的意涵是「2個」「一百」。

4.將單純數字的計算題轉換成情境中解題：若將本題「200200÷400」的計算問題，改寫為「花片工廠將每100個花片裝一袋，4袋裝一箱，昨天生產200200個花片可以裝成多少箱，還剩下多少個?」的情境問題時，學童較能理解將「200200÷400」改寫為「2002÷4」的意義是「2002袋花片，每4袋裝一箱」，此時記數的單位就不是「一個」花片，而是一袋(100 個)花片，計算的結果商「500」，所代表的意義是「500箱」，餘數「2」是「2袋」，而不是2個花片。

陸、建構反應題試題(十九) ~基本三角形的性質~
題目：有一個長方形（如下圖），請將長方形分割成3個三角形，其中至少有一個是等腰三角形。把做法畫在下圖中，並標示出哪一個是等腰三角形。評量目的：本試題主要在評量學童是否知道三角形有3條邊，且能將長方形分割成3個三角形，並知道等腰三角形為兩腰等長(兩底角一樣)的三角形，且能在作圖時，使其中一個三角形符合該性質。

陸、建構反應題試題(十九) ~基本三角形的性質評閱標準~

陸、建構反應題試題(十九) ~基本三角形的性質評閱結果~

陸、建構反應題試題(十九) ~基本三角形的性質學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(十九) ~基本三角形的性質教學建議~
1.在「等腰三角形」教學的過程中，須讓學生完全了解等腰三角形的簡單性質~兩腰等長(兩底角一樣大)，除了讓學童實際測量等腰三角形的兩腰長度和兩底角的大小，確認兩腰等長、兩底角相同以外，建議讓學童嘗試畫出等腰三角形，以訓練學童作圖能力。 2.建議教師向學童澄清下面三種三角形的異同，以免學童概念混淆 (1)等腰三角形~必須具有兩個等長的腰(即有兩個一樣大的底角) (2)直角三角形~三角形的三個角中必須有一個是直角。 (3)等腰直角三角形~具有兩個等長的腰且又有一個角是直角。

陸、建構反應題試題(十九) ~基本三角形的性質教學建議~
3.本題作圖須達成「將長方形分成3個三角形、3個三角形的其中一個必須是等腰三角形」等二個條件。而有超過2成以上的學生，無法同時符合這二個條件。建議教師在平時的教學中，除了概念的澄清之外，可讓學生做類似本題題目的教學，以提升學童的作圖能力。

陸、建構反應題試題(二十) ~長方形和正方形面積公式的應用~
題目：把一個正方形農地分割成甲、乙、丙、丁四個長方形。甲的面積是6平方公尺，乙的面積是21平方公尺，並量出乙的一邊長是7公尺，如圖。求丙、丁的面積分別是多少平方公尺？把你的想法或做法寫在答案卡上。評量目的：能應用正方形與長方形的周長與面積公式解題。

陸、建構反應題試題(二十) ~長方形和正方形面積公式的應用評閱標準與答對率~

陸、建構反應題試題(二十) ~長方形和正方形面積公式的應用學生的解題類型~

陸、建構反應題試題(二十) ~長方形和正方形面積公式的應用教學建議~
1.加強量與圖形間的關聯：本題要請學生算出面積，屬於面積量的內容，但是學生必須透過圖形的推理，才能得到丙、丁的邊長，順利求得面積，因此建議教學上，可以讓學生透過圖形的推導，讓學生了解面積公式的意義，充分使用數學內容間的關係思考，強化學生幾何與量間的連結。 2.培養學生讀題的能力：老師宜教導學生如何從本題的情境中，擷取出與數學有關的訊息，並加以分類，幾何訊息有：全部是一個正方形、甲乙丙丁是長方形；量的訊息有：甲的面積、乙的面積、乙的一邊長7公分。並將文字所給的訊息整合到圖形中，透過圖形的具象化，讓學生更了解題意，充分利用題目所給的訊息，才能順利解題。

3.增加學生對公式的雙向推導能力：本題不是直接給邊長求面積，而是要學生從面積求邊長的逆向思考，所以學生必須靈活應用正方形及長方形的公式，建議教學中，除了增加這方面的推導能力培養外，也要求學生畫出圖形，更能鞏固學生這方面的能力。 4.強化學生圖形邊長關係的能力：本題運用的圖形邊長關係有：正方形四邊等長、長方形相對應邊等長，而且四個長方形間有共用邊的關係，建議教學中，老師可以透過複雜的圖形，強化學生邊長間關係的推理能力。

5.穩固面積及周長公式的理解：從學生解題紀錄中，發現有誤用周長公式求面積的情形，建議面積教學中，讓學生透過1平方公分小正方形方塊鋪滿的實際操作，引導學生利用乘法公式來算出有幾個小正方形方塊，再歸納出方形的面積公式。而周長教學中，實際讓學生用尺量出各邊的長度後相加，再透過將邊長連加簡化邊長的4倍，引導出正方形周長公式；透過結合律，引導出長方形周長公式 (長+寬)2。透過實際的操作及公式的引導，讓學生更能分辨周長與面積公式。

柒、建構反應題的使用建議一、可提供參考之處
1.建構反應題的命題著重以非例行性問題，參考檢測試題的命題題型，可協助老師創新命題的題型，並檢測學生的反應能力。 2.建構反應題可提供必要之圖示或表格，讓學生更加瞭解題意。 3.建構反應題重視學生的解題思維，尊重多元解題策略和紀錄。 4.建構反應題允許學生使用多樣、合理的數學表徵，輔助溝通，並透過溝通討論的方式，與學生共同澄清概念。 5.建構反應題強化數學領域內部的垂直化連結和外部的水平化連結。 6.從學生解題結果瞭解學童的概念發展，洞悉迷思概念之所在，做為研擬教學設計之參考。 7.從學生解題結果分析學生的錯誤類型及迷思概念，藉以進行補救教學，促進概念澄清。 8.建構反應題可與閱讀教學融合，提昇學生閱讀數學題目、掌握題意、發表想法的能力。 9.建構反應題可幫助教師了解數學的關鍵概念：如畫統計圖要注意哪些部份(名稱、刻度、原點、省略符號…)。

柒、建構反應題的使用建議二、在教學上的使用
(一)做為評量工具 1.可用來檢驗學生概念的理解程度。 2.可用來檢驗學生程序性知識的步驟正確性及應用解題的數學思維。 3.於一般課堂教學實施後，檢驗學生是否存有迷思概念，瞭解學生的學習成效。 4.進行概念統整時，檢驗學生是否釐清應有的概念，瞭解其概念發展層次。

(二)做為上課討論的素材 1.培養對非例行性問題的閱讀理解能力。 2.學習多元的解題策略。 3.比較各種解題表徵的差異。 4.訓練數學的口語溝通能力。 5.強化運用符號表徵的能力。 6.加強對數字、圖像、運算等樣式（pattern）的覺察能力 7.加強對圖表的報讀、解讀能力。

(三)做為課後練習 1.加強使用工具的能力。 2.加強製作圖表的能力。 3.學習用圖像表徵對數與計算教材的理解。 4.作為學生學習後補充教學教材，可以個別解題後、發表、共同討論。 5.期末考後、寒暑假前，不指定範圍，用來訓練學生解非例行性題目的能力。

捌、結語 ※建構反應題是屬於比較活的題目。 ※藉由學生的解題情形能真實地呈現學生的學習內涵，更能透過其解題方式，了解該生數學概念理解的情形、應用解題的能力、解題思考歷程、推理能力與數學表徵能力。 ※建構反應題從學生的解題歷程可以知道學生的迷思概念，以做為實施補救教學的參考依據。 ※希望老師們平日的數學作業或考卷，可以出一些比較活的題目(不只一種做法)，培養學生的思考與邏輯推理能力。

謝謝聆聽祝教學愉快

建構反應題探究林玉鴦.

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