«地学建模» 之 “随机时间序列分析模型”.

Presentation on theme: "«地学建模» 之 “随机时间序列分析模型”."— Presentation transcript:

1 «地学建模» 之 “随机时间序列分析模型”

2 §4 随机时间序列分析模型 1. 随机时间序列模型的基本类型 2. 随机时间序列分析模型的识别 3. 时间序列模型常用定阶准则
4. 随机时间序列分析模型的参数估计 5. 季节自回归滑动平均（ARIMA）模型 6. 时间序列建模分析

3 1 基本类型 1.1 自回归（AR）模型 1.2 滑动平均（MA）模型 1.3 自回归滑动平均（ARMA）模型

4 1.1 自回归（AR）模型 若时间序列值xt可表示为它的先前值xt-1和一白噪声的线性函数，则称此模型为自回归模型，相应的序列xt称为自回归序列，称 为p－阶（p-Order）自回归模型，简称AR(p)模型。 at是一个误差或白噪声序列，并假定它相互独立，且服从均值为零，方差为 的正态分布。 此处 是自回归参数或权参数。

5 at与at的先前值xt-i无关，且满足：

6 引入后移算子B，使得 借助后移算子，则AR（p）模型可化为 ， 此式即为 移项整理即为： 　　　　　　　　　记 则模型可写为

7 1.2 滑动平均（MA）模型 若序列值 是现在和过去的误差或白噪声的线性组合，即 q－阶滑动平均序列，简记为MA(q)模型。
　　此模型称为滑动平均模型，相应的序列称为 q－阶滑动平均序列，简记为MA(q)模型。 为滑动平均参数。

8 同样使用后移算子，则该模型可写为： 记： 则：

9 1.3 自回归滑动平均（ARMA）模型 1.3.1 ARMA模型的概念 若序列值 是现在和过去的误差或白噪声以及 先前序列值的线性组合，即
　　该模型称为自回归滑动平均模型（ARMA(p,q)模型）p,q分别为自回归与滑动平均的阶数。　　 相应的参数 分别称为自回归参数和滑动平均参数。

10 若使用后移算子B，该模型可简记为： AR模型和MA模型是ARMA模型的特例。

11 自回归模型平稳性条件 对AR（1）模型： 若序列是平稳的，则有 ，有：

12 自回归模型平稳性条件 若使 的根全在单位圆外，则称 满足p阶平稳自回归模型，即AR(p) 。 其系数向量

13 滑动平均模型的可逆性条件 　　此即为MA（1）模型的逆转形式。若|θ1|<1，表明序列历史值对当前值的影响，随时间的推移越来越小，否则过去对现在的影响越来越大，则不合理。

14 滑动平均模型的可逆性条件 的根全在单位圆外，则称 满足q阶平稳滑动平均模型。 其系数向量 所构成的集合，称为MA(q)模型的可逆域。

15 ARMA(p,q)模型的平稳与可逆条件 即分别满足平稳性和可逆性条件，且 和 无公共因子，则称
若 的根全在单位圆外，

16 1.3.2 ARMA模型的传递与逆转形式 传递形式指将序列 的当前值表示为当前 的线性组合 白噪声 与过去白噪声 MA模型本身即为传递形式；
的当前值和过去值的 传递形式指将序列 的当前值表示为当前 MA模型本身即为传递形式； AR模型即为逆转形式。 　　逆转形式是以序列 线性组合来表示当前误差 与过去白噪声 的线性组合 白噪声

17 1.3.2 ARMA模型的传递与逆转形式 对于ARMA(p,q)模型 ，若 存在，则其传递形式为： 若 有意义，则其逆转形式为：

18 2. 随机时间序列分析模型的识别 2.1自相关函数和偏自相关函数 2.2 模型识别 2.1.1 AR(p)的自相关函数
　2.1.2 MA(q)的自相关函数 　2.1.3 ARMA(p,q)的自相关函数 　2.1.4 ARMA(p,q)偏自相关函数 2.2 模型识别 　2.2.1 AR(p)模型的识别 　2.2.2 MA(q)模型的识别

19 2.1自相关函数和偏自相关函数 模型识别是进行参数估计的前提; 主要任务:
　　模型识别是进行参数估计的前提; 主要任务: 找出ARMA(p,q)、AR(p)、MA(q)模型的具体特征，从而利用这些特征去识别具体的时间序列模型。 识别方法: 计算时间序列样本的自相关函数和偏自相关函数，对照各类模型相应函数的具体特征进行，其中以模型定阶最为重要。

20 2.1.1 AR(p)的自相关函数 AR（p）模型的自协方差函数为： 有自相关函数： （3.48） 平稳时间序列自相关函数为偶函数
　　平稳时间序列自相关函数为偶函数 有自相关函数： （3.49） 　　AR(p)序列自相关函数是非截尾序列，称为拖尾序列。自相关函数拖尾是AR(p)序列的一个特征。

21 当 时，运用相关函数的对称性， 可得到方程组： 此方程组被称为Yule Walker方程组。若已知模型参数 ，可求 ，然后递推求得所有的 ；反之，若已知 ，运用上述方程组可 以及 。 通过下式计算： （3.51） 求模型参数 （3.50）

22 2.1.2 MA(q)的自相关函数 MA(q)模型的自协方差函数为： （3.52） （3.53） 有自相关函数： （3.54）

23 当k>q时， 与 因此，当k>q时， 根据自相关函数从某点开始是否始终为零来判断 MA(q)模型的阶。 不相关， 这种现象称为截尾。 是MA(q)的一个特征。

24 2.1.3 ARMA(p,q)的自相关函数 　　ARMA(p,q)的自相关函数，可认为是AR(p)和MA(q)模型自相关函数的复合。当p=0时，具有截尾性质；当q=0时，具有拖尾性质；当p、q均不为0时，具有拖尾性质。

25 ARMA(p,q)的自协方差函数 （3.55） 因此，当 时， 则有 （3.57） 其中： （3.56）

26 ARMA(p,q)的自相关函数： （3.58） 可见ARMA(p,q)的自相关函数 有如下性质，当 时，仅依赖于模型参数 以及 。即 后，
满足差分方程 也可写成： （3.59）

27 2.1.4 ARMA(p,q)偏自相关函数 偏自相关函数是ARMA(p,q)模型的另一统计特征， 中
　根据AR(p) 模型的拖尾性质，可根据方差最小原则来求取偏自相关系数： AR(p)主要特征是k>p时， 即 是对已知序列 （3.60） 间相关关系的度量。 在p以后截尾。 　对于ARMA(p,q)与MA(q)模型，可以证明它们的偏自相关函数具拖尾性质。 的计算可通过求解Yule Walker方程组获得。

28 2.2 模型识别 2.2.1 AR(p)模型的识别 若 的偏自相关函数 在p步以后截尾，即k>p时， ，而且其自相关函数 是拖尾的，
　　　　　　　　仅具有理论意义，由于样本的随机 性，样本的偏自相关函数是理论偏自相关函数的估计 值，偏自相关函数可能会在零上下波动。 则此序列是AR(p)序列。

29 2.2.2 MA(q)模型的识别 若随机序列的自相关函数截尾，且q步之后偏自相关函数是拖尾的，则此序列是MA(q)序列。同样
仅具有理论意义，实际样本的自相关函数也会在零上下波动。 　若随机序列的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则此序列是ARMA(p,q)序列。

30 总 结 当自相关函数按指数曲线衰减而趋于0时，表明是AR模型，且其阶数取决于显著不等于0的偏自相关函数的数目；
总　结 　　当自相关函数按指数曲线衰减而趋于0时，表明是AR模型，且其阶数取决于显著不等于0的偏自相关函数的数目； 　　如果偏自相关函数按指数曲线衰减而趋于0时，表明是MA模型，其阶数决定于统计上显著的自相关函数的数目； 　　当自相关函数和偏自相关函数均按指数曲线衰减而趋于0时，其模型是混合的ARMA模型。

31 随机时间序列模型的基本性质 AR(P) MA(q) ARMA(p,q) 模型方程 平稳条件 的根全在单位圆外 平稳 的根全在单位圆外
　　　的根全在单位圆外 平稳 　　　　的根全在单位圆外 可逆条件 可逆 传递形式 逆转形式 自相关函数 拖尾 截尾 偏自相关函数

32 5. 季节自回归滑动平均（ARIMA）模型 由于地学序列往往表现出随时间变化的趋势性，并可能存在季节性和方差的不稳定性。因此非平稳序列的平稳化，对于时间序列的统计分析和预测具有重要意义。 5.1 非平稳序列的平稳化方法 5.2 季节模型

33 5.1.1 消除趋势 确定性趋势（线性和非线性）: 方程拟合，原序列值与拟合趋势值相减 非确定性趋势: 差分法消除 设原序列为 称
为序列的一阶差分。 为序列的二阶差分。 称 为序列的d阶差分 相应地， 其中 为差分算子。

34 序列的差分可消除序列的趋势，一般地，一阶差分可消除线性趋势，二阶差分可消除二次曲线趋势。如对
则有：

35 非农业人口的差分表 年份 非农人口xt xt+1 一阶差分yt(1) yt+1(1) 二阶差分yt(2) yt+1(2) 三阶差分yt(3)
1985 101.02 102.19 1.17 4.31 3.14 0.27 -2.87 1986 106.5 4.58 -2.38 -2.65 1987 111.08 2.2 0.49 2.87 1988 113.28 2.69 -0.64 -1.13 1989 115.97 2.05 -0.08 0.56 1990 118.02 1.97 1.27 1.35 1991 119.99 3.24 5.9 4.63 1992 123.23 9.14 -5.56 -11.46 1993 132.37 3.58 -0.71 4.85 1994 135.95 1.49 1995 138.82 4.36 -1.03 -2.52 1996 143.18 3.33 1.7 2.73 1997 146.51 5.03 2.9 1.2 1998 151.54 7.93 1999 159.47 2000 Mean 3.897 0.483 -0.018

36 5.1.2 消除季节（周期）影响 通过定义周期差分，可以消除季节或其它周期性变化的影响。设周期（季节）长度为T，则周期差分定义为：
同样地，二阶周期差分定义为： 分别适用于分季资料和分月资料。

37 一个d阶多项式和一个周期为T的周期项组成.
即为平稳时间序列。 因此如果一个非平稳时间序列 的趋势项由 则可经过d阶差分处理和周期差分处理后，形成新的序列

38 5.1.3 消除不平稳方差 对于不平稳方差通常采用变量代换的办法消除，若序列方差与序列发展水平成比例，则对原序列进行对数变换，变换结果修正过度，则又可采用平方根变换加以消除。

39 5.2 季节模型

40

41 5.2.2 ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)模型

42 如对于ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12模型，有： （3.85） 此为ARIMA(1,0,1)(1,0,1)12模型具体形式

43 6. 时间序列建模分析 6.1 时间序列建模的基本步骤 相比于其它预测方法，随机时间序列预测方法有其独特的优势，主要表现在：
①该方法预测只考虑预测序列本身历史数据反映和包容的信息，实际上是对预测指标历史数量变动规律的进行了整体概括，预测结果可信度高。 ②该预测方法适用于指标数量不大，但预测频度较高的短期预测。

44 基本步骤： ①数据获取，建立时间序列； ②原始序列预处理，主要包括异常点的辨别，趋势分析和突变点的分析；使其满足平稳性、正态性、零均值性； ③模型识别，简单序列可用前述的趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。 对于平稳时间序列，可用ARMA类模型拟合。 对于非平稳时间序列则转化为平稳时间序列，再用适当模型去拟合这个差分序列。

45 　Box-Jenkins时间序列建模的基本方法。
　第一阶段初步选择适当的模型。 　第二阶段包括根据资料对该模型进行判断，如不恰当则返回第一阶段，选择另一模型进行试验。 　第三阶段，基于该模型进行预测。

46 6.2 实例分析 　　以表3.1中的上海市1995～1999各月的GDP资料进行分析。

47 6.2.1 消除长期趋势

48 将原始序列减去长期趋势，可获得新序列。

49 6.2.2 自相关函数和偏自相关函数 　　新序列分别计算自相关函数和偏自相关函数（图3.5和图3.6），显示均表现出拖尾性质（呈指数衰减），同时在滞后12，24和36个月时显示出较高的峰值。 　　采用季节性模型ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)12。

50 图3.5　新序列的自相关函数

51 图3.6　新序列的偏自相关函数

52 6.2.3 参数估计 确定ARIMA（4,0,1）(1,0,0)12为最佳模型，相应的参数见表3.6。 φ1 .101629 .169057
参数值 渐近 标准差 95% 置信度下界 φ1 φ2 φ3 φ4 θ1 Φ1 3.83E-14

53 模型形式为： 将参数代入即得： （3.88） 整理可得： 　此即：

54 第40至60个月的拟合结果相关系数（r）达0.935